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第4章

指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂学习目标1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质；2.根据具体实例,了解指数幂的拓展过程；3.掌握幂的运算性质；4.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.22=4(-2)2=42,-2叫4的平方根.2叫8的立方根.23=8回顾旧知知识探究思考1:４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考3:一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？思考2:-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？

思考4:推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义.

例：16的4次方根_______32的5次方根_______-32的5次方根_______23=8(-2)3=-8(-2)5=-3227=1288的3次方根是2.-8的3次方根是-2.-32的5次方根是-2.128的7次方根是2.奇次方根1.正数的奇次方根是一个正数,2.负数的奇次方根是一个负数.72=49(-7)2=4949的2次方根是7，-7.81的4次方根是3，-3.26=64(-2)6=6464的6次方根是2，-2.34=81(-3)4=81偶次方根

2.负数的偶次方根没有意义1.正数的偶次方根有两个且互为相反数想一想:

哪个数的平方为负数？哪个数的偶次方为负数？正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零.(1)奇次方根有以下性质：(2)偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零.n次方根的性质根指数

被开方数根式根式的性质一：

根式的性质二：

(1)(2)(3)(4)【1】求下列各式的值.【解】(1)(2)

(3)(4)

根据n次方根的定义和运算，我们知道

也就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.分数指数幂的意义【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为

分数指数幂的形式呢？把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把写成下列形式：

我们希望整数指数幂的运算性质，如：，对分数指数幂同样适用.

由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：

于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.

我们规定，

例如，

我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.

整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用性质:(1)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);为什么指数幂的运算法则要求a>0?例

(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

(2)已知x6=2019,则x=

.

【注意】

根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数

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