2023八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质第2课时角平分线的性质定理及其逆定理的综合应用上课课件新版湘教版

角平分线性质定理及其逆定理的综合应用湘教版·八年级数学下册①情境导入PS区公路铁路一个S区有一个贸易市场，在公路与铁路所成角的平分线上有一点P，要从P点建两条路，一条到公路上，一条到铁路上.（1）怎样修建路最短？（2）这两条路修好后，有什么关系？EF解：（1）如图；（2）PE=PF；新课引入如图1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢?解：可以添加条件MN=ME(或MN=MF).∵ME⊥CD，MN⊥CA，∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.同理可得AM是∠CAB的平分线.如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，

PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.新课引入例2解：∵AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB∴BE+PF>PB.【教材P25】探究新知如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗?ABC图1-31P因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角(例如∠A

与∠B)的平分线，其交点P即为所求作的点.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.探究新知如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗?ABC图1-31MPDFE∵BM是∠ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理，PD=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.由此得到：巩固练习1.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，求证:（1）∠ECD=∠EDC；

（2）

OC=OD.证明：（1）∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=ED.∴∠ECD=∠EDC.（2）在Rt△ECO和Rt△EDO中，∵EC=ED，OE为公共边，

∴Rt△ECO≌Rt△EDO(HL).∴OC=OD.[选自教材P25练习第1题]巩固练习2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证:AB=AD+BE.证明：过点C作CF⊥AB于点F.又AC是∠BAD的平分线，CD⊥AD，∴CF=CD.在Rt△CFA和Rt△CDA中，∵CF=CD，

AC为公共边，∴Rt△CFA≌Rt△CDA(HL).∴AF=AD.同理可得FB=BE.AB=AF+FB=AD+BE.F[选自教材P25练习第2题]巩固练习3.如图，已知BD平分∠ABC，BA=BC，点P在BD上，作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M，N.求证:PM=PN.证明：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.又BA=BC，BD为公共边，∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.又PM⊥AD，PN⊥CD，∴

PM=PN.[选自教材P26习题1.4A组第3题]巩固练习4.如图，求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等.P解：作法如图.[选自教材P26习题1.4B组第4题]巩固练习5.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F，试问点F在∠A的平分线上吗?(提示:过F点分别向BD，

BC，

CE作垂线)解：过点F作FH⊥AD于H，FG⊥B