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核心母题一全等在几何探究题中的应用10/28/2023【核心母题】如图①，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF＝FM；(2)如图②，连接AC交DE于G，交DF于H，探究AG，GH，HC的数量关系，并证明你的结论．10/28/202310/28/2023【重要考点】

正方形性质、全等三角形的判定与性质．【考查方向】

江西每年在几何探究压轴题中，均应用全等三角形知识进行考查，其中手拉手模型、倍长中线法均有考查，且涉及旋转、平移、折叠等图形变换．分值为9～12分.2018年首次考查菱形与动点问题，借助手拉手(也可以说是半角模型)进行考查．10/28/2023【命题形式】

以特殊三角形、特殊四边形为背景，借助动点、图形变化等考查学生分析问题、解决问题的综合能力，是几何压轴题考查的重要形式．10/28/2023【母题剖析】

(1)要证EF＝FM，只需证明△DEF≌△DMF，而DF是公共边，DE＝DM，从而只需证∠EDF＝∠MDF即可；(2)由(1)的证明可知，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCP，再证明∠HCP＝90°，GH＝HP，CP＝AG即可．10/28/2023【母题详解】

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵△CDM是由△AED旋转90°得到的，∴∠EDM＝90°，∠DCM＝∠A＝90°，CM＝AE.∴F、C、M在一条直线上．∵∠EDM＝90°＝∠ADC，10/28/2023∴∠FDM＝∠FDC＋∠MDC＝∠FDC＋∠ADE＝∠ADC－∠EDF＝45°，∴∠EDF＝∠MDF，∵DE＝DM，DF＝DF，∴△EDF≌△MDF，∴EF＝FM.10/28/2023(2)GH2＝AG2＋HC2；证明：将△ADG绕点D逆时针旋转90°，使得点A与点C重合，得到△DCP，由(1)可知△DGH≌△DPH，CP＝AG，∠DCP＝∠DAG＝45°，∴HP＝GH，10/28/2023∵∠DCP＝45°，∴∠HCP＝∠HCD＋∠DCP＝90°，∴HP2＝HC2＋CP2，∴HG2＝AG2＋CH2.10/28/2023【思想方法】全等作为解决几何探究问题的重要方法之一，在解决问题时，证明线段、角度相等或者通过判定线段、角度相等解决图形相关计算问题有着重要作用．这类问题在解题时，常需要注意借助题设中的条件，找到全等三角形，注意数学结合思想的运用．10/28/2023【母题多变】变化1：旋转中的全等10/28/2

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