2021年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（文科）（一卷）（3月份）（附答案详解）

2021年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（文科）

（一卷）（3月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={x|%2—5x+6W0},B~（x\y=log2（x-2）},则4nB=（）

A.（2,6）B.（2,6]C.（2,3]D.[2,3]

2.设“，6表示两条不同的直线，£表示平面，则下列命题正确的是（）

A.若a〃口，a//b,则b〃/?B.若。〃0,b//p,则a〃b

C.若£1_1_0,alb,则b〃£口.若（11£,a//b,则8_L/?

3.已知某圆柱的正视图是边长为4的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.167TB.207rC.24兀D.40TT

4.已知复数Zi=l+i,Z2=f^a为虚数单位），则复数Z2的模为（）

A.1B.V2C.V3D.4

5.某三棱锥的三视图如图所示（单位：cm）,则该三棱

锥最长的棱长和体积分别为（）i

正视图侧视图

A.a!

B.阴

_7F视图

C.V6,|

D.历*

D

6.等比数列5}的各项均为实数，其前〃项和为无，已知$3=14,56=中，则=（）

A.2B.\C.4D.

24

7.已知/⑶=sin（a）x+</?）+cosQx+<p},a>>0,\（p\<^,/（x）是奇函数，直线y=

-近与函数/（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为（贝女）

A./⑶在（0由上单调递减B./⑶在邑当上单调递减

十oO

C./（X）在（0,9上单调递增D./。）在谭,1）上单调递增

4oo

8.已知正实数小b,。满足2a+b=l,abc4-1=2c,则c的最大值为（）

A.B.|C.£D.2

9.若函数/（%）=/在区间口句上的值域为也t+l]（teR）,则b-a（）

A.有最大值，但无最小值B.既有最大值，也有最小值

C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值

10.下列函数图象中，不可能是函数/0）=%4.005%（。64|例式2）的图象的是（）

11.已知向量五满足|中=3,设X={?|国=2巨一曲，丫={刃刃=：国,<礼少〉

=pxex）,若记ex,n&Y,则I记一记I的最大值为（）

A.西一1B,V5+1C.2V5-3D.2V5+3

12.已知直线/：y=x+2,若椭圆C：捺+y2=>1）的点到直线/的距离的最大

值与最小值之和为2a，则椭圆C的离心率范围是（）

A.（0净B.（当,1）C.（0净D.俘,1]

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知a=Iog3108,3b=I，则a+b=.

14.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为2,则输出

的左值为.

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15.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a",c,。为边8c上的一点，若c=6,

b=3V2>sinZ-BAD——>cos/.BAC——>则4。=.

44

16.已知双曲线C：捻一3=1(。>°，匕>°)，&，F2分别是双曲线C的左、右焦点,

尸为右支上一点(yp*0),在线段Pa上取“APF/z的周长中点”M,满足|MP|+

\PF2\=IMF/+\F^F2\,同理可在线段P4上也取“△PF*?的周长中点”^若公

PMN的面积最大值为1,则6=.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.正项数列8工的前n项和5n满足2店=an+l.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

2O

(2)设“=；■『，数列｛%｝的前“项和为B"，求证：Bn<|.

an,an+23

18.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面A8C£＞是直角梯形，

AD//BC,^ABC=/.DAB=90°,BC=2AB=2AD=

2,平面PC。，平面ABCD.

B

(1)证明：BD1平面尸CO；

(2)若PD=PC=&，求三棱锥B-ACP的体积.

19.学校为方便学生联系家长，在教学楼楼下设了一个公共电话亭，学生依次排队打电

话.假设学生打电话所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生打电话所

需的时间统计结果如表：

打电话所

需的时间/12345

分

频率0.20.40.250.10.05

从第一个学生开始打电话时计时.

(1)估计第四个学生恰好等待5分钟开始打电话的概率：

(2)y表示至第3分钟末已打完电话的学生人数，求y的分布列及数学期望.

20.已知抛物线C：y2=4x,A为抛物线C上第一象限内的一点，且在直线x=2的右

侧，已知点以2,0),点B(-2,0).连接BA交抛物线C于点D

(1)若前=：用，求A点的坐标；

(2)设的中点为N,且|MN|N]4D|,求A/IOM面积的最大值.

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21.已知函数/(%)=QX•伍x(其中QH0,aG/?),5(x)=­.

(1)若存在实数a使得/(%)<m亘成立，求a的取值范围；

(2)当a<凯寸，讨论函数y=/(x)-g(x)的零点个数.

22.已知直线J巨丸片a«为参数)，圆］；;然：(。为参数)

(1)当a=*时，求Ci与。2的交点坐标；

(2)过坐标原点。作G的垂线，垂足为4,P为OA的中点，当a变化时，求P点轨

迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

23.已知a,b,c是正数，且满足a+b+c=3,求证:

(l)a2+b2+c2>3>ab+be+ac；

(2)^+-+->3.

、'bca

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答案和解析

1.【答案】C

2

【解析】解：根据题意，集合4={x\x-5x4-6<0}=[2,3],B=(x\y=log2(x-2)}=

(2,+oo),

则anB=(2,3]；

故选：C.

根据题意，求出集合A、B,由集合交集的定义计算可得答案.

本题考查集合交集的计算，关键是理解集合交集的定义.

2.【答案】D

【解析】解：对于A,若a〃0,a〃b,则或bu/?,故A错误；

对于B,若a〃0,b///3,则a〃。或“，人相交，或a,6异面，故B错误；

对于C,若a1£,aLb,贝防〃夕或bu0,故C错误；

对于。，若…,a//b,由线面垂直的性质定理可得bl小故。正确.

故选：

由线面平行的性质和线面的位置关系，可判断4由线面平行的性质和线线的位置关系,

可判断8；由线面垂直的性质和线面的位置关系，可判断C：由线面垂直的性质定理,

可判断。.

本题考查线线和线面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查推理能力，属

于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：因为圆柱的正视图是边长为4的正方形，

所以圆柱的底面半径r=2,高九=4,

故该圆柱的表面积为S=2nrh+2nr2-24兀.

故选：C.

利用正视图，得到圆柱的底面半径以及圆柱的高，然后利用全面积公式求解即可.

本题考查了三视图的应用，圆柱的表面积的求解，圆柱的侧面积公式的应用，考查了逻

辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：1••Zi=1+i,

_Zj+i_l+2i_(l+2i)(2+i)_5i_.

，

"22==T7=(2-i)(2+0=T=l

22

\z2\=Vo+I=1-

故选：A.

根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解.

本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属

于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面为等边三角形的三

棱锥体.

如图所示：

所以：BD—2,BC-DC-V22+1-V5>AD=AB=V5+1=V6，AC=1.

%-sc。=|x|x2x2xl=|.

故选：C.

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的棱长和体积.

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的棱长的求法，三

棱锥的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

6.【答案】B

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【解析】解：根据题意，设等比数列｛an｝的公比为4，

若S3=14,S6=筝则qH1,

ai(l_q6)$

则有白端=逐=1+/=|，解可得q/

i-q

7__

又由S3=14,即S3=Q1+。2+。3=-^1=14,解可得%=8,

则。5=a"=8乂2=

故选：B,

根据题意，设等比数列｛%｝的公比为q，由等比数列的前〃项和公式可得自=1+q3=：

解可得q的值，又由S3=%+。2+。3==14,解可得的的值，由等比数列的通项

公式计算可得答案.

本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的通项公式，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解："/(X)=sin(wx+8)+cos(cox+9)=V2sin(cox++7).>0,\(p\<7,

4N

f(%)是奇函数，

：・+(p+三=kn,k£Z,・••(P=—%/(%)=\[2sina)x-

直线y=—或，—鱼为/(%)得最小值，

直线y=-2与函数/(%)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为詈=pA3=

4,

故/(%)=y/2sin4x-

在(0中上，4x6(0,7r),函数/(%)=&s勿以没有单调性，故A、C错误；

在G，9上，4xe(py),函数/(%)=岳讥4x单调递减，故8正确、力错误，

故选:B.

由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出函数的解析式，从而得出结论.

本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意得b=l-2访0<a<|,

代入到abc4-1=2c得(1—2a)ac+1=2c,

1181a

整理得c=赤石=2(加犷+卷《6,即a=；时，C取得最大值自

故选：C.

先由已知整理出c,然后结合二次函数的性质可求.

本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题.

9.【答案】A

2

【解析】解：由题意知a<b当ab<0时，t=0,则b?<i,a<1,即b<1,a>-1,

所以0Vb—Q42,则b—a有最大值；

当ab>0时，不妨设OvaVb,则62-。2=1,所以人一。二」工，显然b-Q有最大值

a+b

无最小值，

故选：A.

根据二次函数的对称轴与“，人的位置关系，可知对访进行分类讨论，进而确定函数在

[a,句上取得的值域，进而确定b-a的范围.

本题考查了二次函数的综合问题以及不等式的性质，根据单调性求区间上的最值，二次

函数在轴定区间动状态下的最值求法，但是难度不大.

io.【答案】c

【解析】解：,••aGZ,|a|W2,二a的可能取值为-2,-1,0,1,2,

(1)当a=-2,0,2时，函数f(x)为偶函数，可能与选项B对应；

(2)当。=一1,1时，函数/(x)为奇函数，可能与选项A、C和。对应；

若a=l,则/(x)=x•cosx,定义域为R,可能与选项A对应，

若a=-l,则/(x)=/cosx,定义域为｛x|xHO),对应着选项C和£>,

而当0<x<]时，/(x)>0,与选项C不符.

故选：C.

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a的可能取值为—2,-1,0,1,2,再根据函数的奇偶性，将a的取值分成。=-2,0,

2和a=-l,1两种情况，然后考虑函数的定义域或特殊点处的函数值即可作出选择.

本题考查函数图象的识别，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面

着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

11.【答案】D

【解析】解：由题意，不妨设方=(3,0),x=OA=(xpyD

因为I幻=2反一五I，所以I引2=4|三-矶2,

所以好+yf=4Kxi_3)2],整理得Q]-4)2+比=4,

则做与,％)在以M(4,0)为圆心，半径巳=2的圆上，

设歹=OB=(x2,y2)>

因为(三厅>=],所以K1=X62+=0，

又I歹1=4国,则靖+秃=：(好+及),

所以可喊1二字'喊1:2舞,

将:螳2,代入(/一4)2+资=4,得好+(y2+2)2=1,

则8(孙乃)在以N(0,-2)为圆心,半径-=1的圆上,

因为沆6X,n&Y,所以|沆一元|=|布-而|=|瓦？|

则可得|而\max=\MN\=q+七=2b+3，

\BA\maX=\MN\+ri+r2=2V5+3

同理，若代入另外一组解，由于对称性，可得最大值也为2通+3,

所以|沆-利的最大

值为2有+3.

故选：D.

设出向量五的坐标，

得出x和y的轨迹为

圆，两圆心距离加上

两圆的半径，即为

I访-利的最大值.

本题考查向量的有关计算，圆的标准方程以及两圆上点的最值问题，解题的关键是利用

向量的坐标运算，解得两圆的圆心和半径，属中档题.

12.【答案】A

(y=x+2

22

【解析】解：联立|立+2_］可得(1+a)%+4a2%+3a2=0,

IQ2)

因为直线/与椭圆C相离或相切，所以△=16a4-12a2(1+a2)<0,

1<a2<3设椭圆上任意一点P(acosJ,sin。)，则点到直线/的距离d=叵竺等幽=

|Va2+lsin(0+a)+2|

”的最小值、最大值分别为：上誓，区萼，

x/2V2

满足最大值与最小值之和为2企，

1<a2<3,

e=EI=6le(0净.

故选：A.

fy=%+2

联立炉1利用△=16d—12Q2(I+Q2)WO,求得。的范围，再验证是否符合题

Q+y=i

意，从而利用e=J1-人=J1一P求解.

本题考查了直线与椭圆位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于中档题.

13.【答案】4

【解析】解：a=log3108,b=log3^,

4

3

・•・Q+b=/O53(108x-)=log381=4.

故答案为:4.

可求出b=log3^,然后进行对数的运算即可求出a+b的值.

本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.

14.【答案】2

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【解析】解：模拟程序的运行，可得

a=2,/c=0,b=2

i

a="?

不满足条件a=b,执行循环体，k=l,a=—|

不满足条件a=b,执行循环体，fc=2,a=2

满足条件。=心退出循环，输出左的值为2.

故答案为：2.

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟

程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的

结论，是基础题.

15.【答案】4

【解析】解：由余弦定理知：a=加+c2-2bccos1cBAC=

J18+36-2x3^x6Xy=6=c>

所以△48c是等腰三角形，即NB4C=4C,

设CO=%,则8。=6—x,AD=y,

在44DC中，由余弦定理可知：4。2=AC2+CD2-2AC•DC.coszC,即y2=18+%2一

2x3A/2X%X^=X2—3X+18①，

因为cosz_BAC=—,

4

所以sinz_B4C=-金小!/=|l--=—,

\84

所以有sinB=sin(7r—24BAC)=sin2z.BAC=2sinZ.BAC-cosZ-BAC=2x岸又当=

77

--,

4

因此有sinB=smLBAD=—，

4

在AADB中，由正弦弦定理可知：BD=AD,可得y=6-x,可得x=6-y②，

把②代入①得,y2=(6-y)2-3(6-y)+18,解得y=4,即4。=4.

故答案为：4

根据余弦定理可以求出a的值，可以判断出△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性

质，结合余弦定理、正弦定理、同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即

可.

本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系式，二倍角的正弦公式在解

三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

16.【答案】V2

【解析】解：由题意作出图形,

设双曲线的焦距为2c,

因为|MP|+|P刍|=|MFI|+|F/2|,

|NP|+|PFi|=|NF2|+|&F2|,

所以|MP|-|NP|=|PF/-\PF2\=2a,\MFr\=\NF2\,

所以|MP|+|NP|=I&F2I=2c,

所以|MP|=a+c,\NP\=c-a,

所以当NMPN=90。时，APMN的面积取最大值，

所以(SAPMN)min=1-\MP\-\NP\=.(c2—a2)=”2=1,

所以b=V2,

故答案为：V2.

由题意结合双曲线的定义可得|MP|=a+c,\NP\=c-a,进而可得；•(c2-a2)=1,

即可解得答案.

本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题.

2

17.(答案］⑴解:由2^^=an+1,得4sH=(an+I)…①

2

•••当n>2时，4Sn_i=(an-i+I)…②

①一②得4a；,=W+2an—an-i—2an^,

第14页，共22页

即(@n+an-l)(an-an-l_2)=0,

,・,正项数列｛即｝,.・.a九+a71T>0,・,.Qn-an-i-ZuO,

—an-l=2,

由4sl=(%+1)2可得的=1,

・•.数列｛Qn｝是以1为首项、2为公差的等差数列，

・•・Q九=1+2(几—1)=2几—1；

22111

(2)证明：%—an.an+2—(2n-l)(2n+3)—2Qn-l2n+3)'

nI,"1,11,11,,11,11.

n2v537592n-32n+l2n-l2n+3

=­1/(4-----1--------1-、)<一2

2k32n+l2n+3y3*

【解析】(1)用4S“-4s时［可解决此问题；

(2)用裂项法可解决此问题.

本题考查等差等比数列通项公式、裂项法求和，考查数学运算能力及推理能力，属于中

档题.

18.【答案】(1)证明：因为四棱锥P-4BC。的底面ABCD是直角梯形，AD//BC,/.ABC=

Z.DAB=90°,

BC=2AB=2AD=2,所以BD=\/AB2+AD2=V2.DC=V2,

可得：BD2+CD2=BC2,所以B。J.DC,又因为平面PCO_L平面A8C£),

且平面PCDC平面力BCD=CD,乂BDu平面ABCD,

所以BDJL平面PCD.

(2)解：因为PO=PC=&,取CQ的中点。，连接尸。，

则由(1)知DC=&，则APDC为等边三角形，所以P。ICO,

又因为平面PCD_L平面ABCD,POu平面PCD,且平面PCDn平面力BCD=CD,

所以P。，平面BC£>,PO=V2x^=^,

22

所以Vg-ACP=^P-ABC=.SAABC.P。=]X]X1X2X，=，•

【解析】(1)根据勾股定理可计算BD,CD的长，易证明8D2+CD2=BC2,可得BD1DC,

再利用面面垂直的性质定理即可求证；

(2)由(1)结合已知条件可判断APOC为等边三角形，取C。的中点O,连接产。，易证明

POJL平面BCD,利用％-ACP=KP-ABC=三SAABC,P0即可求解.

本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，儿何体的体积的求法，考查空间想象能力，

转化思想以及计算能力，是中档题.

19.【答案】解：(1)设X表示学生打电话所需的时间，用频率估计概率，得X的分布列

如下：

X12345

P0.20.40.250.10.05

A表示事件“第四个学生恰好等待5分钟开始打电话”，则事件A对应两种情形，

①前三位同学打电话所花时间为1分钟，1分钟，3分钟(不计顺序)，

②前三位同学打电话所花时间为1分钟，2分钟，2分钟(不计顺序)，

P(A)=玛X(0.2)2x0.25+废x(0.4)2X0.2=0.126.

二估计第四个学生恰好等待5分钟开始打电话的概率为0.126.

(2)由题意可得，丫所有可能的取值为0,1,2,3,

r=0对应第一个学生打电话所需的时间超过3分钟，

•••P(y=0)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.05=0.15,

y=i对应三种情形，

①第一个学生打电话所学的时间为1分钟且第二个学生打电话所需的时间超过2分钟,

②第一个学生打电话所学的时间为2分钟且第二个学生打电话所需的时间超过1分钟,

③第一个学生打电话所需的时间为3分钟，

P(Y=1)=0.2x(1-0.2-0.4)+0.4x(1-0.2)+0.25=0.65,

Y=2,对应两种情形，

①前两个学生打电话所需的时间都为1分钟，且第三个学生打电话所学的时间超过1

分钟，

②前两个学生打电话所所需的时间为1分钟和2分钟(不计顺序)，

P(Y=2)=0.2x0.2x(1-0.2)+©0.2x0.4=0.192,

第16页，共22页

y=3,对应前三个学生打电话所需的时间都为1分钟,

•••P（y=3）=0.23=0.008,

故可得y的分布列：

Y0123

P0.150.650.1920.008

E(Y)=0x0.15+1x0.65+2x0.192+3x0.008=1.058.

【解析】（1）设X表示学生打电话所需的时间，用频率估计概率，得X的分布列，A表

示事件“第四个学生恰好等待5分钟开始打电话”，则事件A对应两种情形，分别计算

概率，并求和，即可求解.

（2）由题意可得，丫所有可能的取值为o,1,2,3,分别求出对应的概率，即可得丫的

分布列，并结合期望公式，即可求解.

本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式,属于基础题.

20.【答案】解：⑴由题意设点做已26,

由于A为抛物线C上第一象限内一点，

所以t>0,

因为点A在直线x=2的右侧，可得t?>2,BPt>V2.

直线BA的方程为y=品Q+2）,

解得％='上y—2,

it'

代入必=4%,

得y2+8=0,

由韦达定理可得为）•%=8,

所以为5=2t=P

因为前=3瓦?，可得y。=一％）），

所以;=g（2t-：）,解得t=历，

所以A点坐标为（6,2通）.

⑵由⑴知点。婚,》，

因为A。的中点为N,且IMNIN^MDI，

则乙4MD<90°,

所以两•而20-

因为质？=«2_2,2t),丽=©-2,5，

从而《2—2)住—2)+2t-^>0,

化简可得14—8/+4S0,

解得4-2V3<C2<4+2料，

由于t>a，解得&<t<1+V3,

SAADM=SMBM-SABDM=1x4x2t-|x4x^=4t-®=4(t-y),

令/⑷=t-p则f(t)在(夜,1+㈣上单调递增,

所以f©max=/(I+b)=1+b一隔=2,

所以，△4MD的面积的最大值为8.

【解析】(1)由题意设点4(t2,2t),t>0,由于点A在直线x=2的右侧，可得t>企,

写出直线8A的方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得知•%=8,解得

如，由前=之方，可得=之小一如)，解得。即可得出答案.

(2)由(1)知点。(看,》，由于AD的中点为N,且|MN|2：|4D|,则拓？.而20，进而

解得，的范围，利用函数的单调性，解得S“DM=4(，-令的最大值.

本题考查向量与圆锥曲线的关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为/Q)=ax)x,a二0,

要使得/(%)<9在(0,+8)上恒成立，

所以Q<0,

由/'(%)=a(lnx+1),

由/'(%)=Q("不+1)>0,解得0V%<%

由/'(%)=a(lnx+1)<0,解得%>p

所以=/(》=一%

所以―2<

ee

所以一1<a<0,

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所以。的取值范围为(一LO).

(2)①当a<0时，当％W(0,1)时,/(%)>0,g(x)<0,

所以V=f(%)-9(%)恒大于零，

当％=1时，y-/(%)-g(x)=0,

令力(乃=/(%)-g(%)，

所以Q<0时，令九(X)在(0,+8)只有1个零点，

②当a>0时,令九。)=/(%)-g(x)，

则九(x)=axlnx—14----(%>0),

"(x)=a(Znx+1)-品，h\x)=三+看,

因为x＞0,

所以》'(x)＞0恒成立，

所以/i'(x)在(0,+8)上单调递增，

因为h(l)=0,当/i'(l)=0,即a=：时，

/i'(x)在(0,1)上恒小于零，在(1,+8)上恒大于零，

即八0)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以h(x)＞九(1)=0,y=h(x)在(0,+8)只有1个零点,

若0＜a＜］时，九'(l)=a-；＜0,

由于"(%)在(0,+8)上单调递增,

所以h'(x)在(0,1］上恒小于零，八。)在(0刀上单调递减,

因为九(1)=0,

所以h(x)在(0,1］上有唯一零点1,

21O

又因为九'(1)=。一之＜0,〃0-1)=2-一一>0,

(eS-1+l)2

所以存在x°e(l,e/i)，使得八'Qo)=0,

由于》(%)在(0,+8)上单调递增，/iz(l)=a-1<0,Zi'Qo)=0,

所以h(x)在(1,&)上单调递减，在(如+8)上单调递增，XoC(l,eh)，

所以九(&)<九(1)=0,

11112

又0<a<；,.>1，%(ea)=ea—1+-p—>0,

2ea+i

所以%o<ea»

结合九。)在Qo,+8)单调递增，九(%)在(1,+8)上有唯一零点,

又无⑴=0,

所以0<a时，八(无)在(0,+8)上有唯一零点，

又因为％(1)=0,

所以0<a<：时，h(x)在(0,+8)上有2个零点，

综上所述，当a<0或a=£时，/i(x)在(0,+8)只有1个零点,

当0<a<：时，九(乃在(0,+8)上有2个零点.

【解析】(1)要使得f(x)<:在(0,+8)上恒成立,推出a<0,求导得f'(x)=a(/nx+1),

令((X)>0,广(X)<0,解得/(X)的单调性，进而可得/(x)max，只需即

可解得4的取值范围.

(2)分两种情况：①当a<0时，②当a>0时，h(x)=f(x)-g(x)的单调性，最值，零

点个数，即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题.

x=2-I——t

22.【答案】解：⑴当a屋7时r，直线％]2,，是参数，

尹

消去参数t,得直线G的普通方程为x-by-2=0，

圆二篝(。为参数)，

消去参数0,得圆C