2021中考数学 一轮巩固练习：二次函数的图象及其性质

2021中考数学一轮巩固练习：二次函数的图象

及其性质

一、选择题

1.若二次函数法+5配方后为旷=。-2）2+匕则b,左的值分别为（）

A.0,5B.0,1C.-4,5D.-4,1

2.（2020•襄阳）二次函数丁=加+法+。的图象如图所示，下列结论：①“cVO；

②3a+c=0；③4ac—从＜0；④当尤＞一1时，y随着x的增大而减小.其中正确

的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.（2019•青岛）已知反比例函数丫=一的图象如图所示，则二次函数y=ax2-2x和

X

一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是

4.（2020.枣庄）如图，已知抛物线的对称轴为直线x=l.给出

下列结论：

①ac〈O；②匕2—4ac＞0；③2a—Z?=0；@a—h+c=O.

其中，正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.若抛物线y=f—2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1

个单位,再沿铅直方向向上平移3个单位,则原抛物线图象的解析式应变为()

A.^=(X-2)2+3B.y=(x-2)2+5

C.^=x2—1D.y=f+4

6.(2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a,我们称a为

这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点xl、x2,且

xl<l<x2,则c的取值范围是

A.cv-3B.c<-2

1

C.c<—D.c<l

4

7.(2020.随州)如图所示，已知二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴交于A(-l,

0),B(3,0)两点，与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,则下列结论：①2〃+。=0；

②2c<38；③当AABC是等腰三角形时，。的值有2个；④当4BCD是直角三角

形时，a=-丝.其中正确的有()

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.二次函数y=ax2+bx+c(a/J)的图象如图所示，有下列结论：©b2>4ac；②abc<0；③2a

+b—c>0；④a+b+c<0.其中正确的是()

A.①©B.②④C.②③D.①②③④

二、填空题

9.将抛物线y=3(x+l)2-2向上平移1个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线

的解析式是.

10.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=52—4x+3相同，顶点坐标为(-2,

1),则该抛物线的函数解析式为.

11.(2019•荆州)二次函数y=-2x1-4x+5的最大值是.

12.抛物线尸笈+3)2—2是由抛物线产52先向(填“左”或“右”)平移

个单位长度，再向(填“上”或"下”)平移个单位长度得

到的.

13.顶点坐标是(2,0),且与抛物线y=-3f的形状、开口方向都相同的抛物线

的解析式为.

14.抛物线y=3d—8x+4与x轴的两个交点坐标分别为.

—(X＞0)

15.已知函数y=/八’的图象如图所示，若直线＞=》+机与该图象

—X(烂0)

恰有三个不同的交点，则机的取值范围为.

16.在平面直角坐标系中，抛物线＞=/如图所示.已知点A的坐标为(1,1),过

点A作AAi〃x轴交抛物线于点Ai,过点4作4凶2〃04交抛物线于点A2,过点

A2作AM3〃X轴交抛物线于点A3,过点4作A3A4〃。4交抛物线于点A4……依

次进行下去，则点A20I9的坐标为.

三,解答题

17.已知二次函数y=%—2x—1.

(1)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

(2)通过列表、描点、连线，在图中画出该函数的图象;

(3)求该二次函数图象与坐标轴的交点坐标.

18.把抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图5—ZT

—4所示的二次函数的图象.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)在平移后的抛物线上存在一点M,使AABM的面积为20,请直接写出点M的坐标.

19.在平面直角坐标系中，设二次函数yi=(x+a)(x—a—1),其中存0.

(1)若函数6的图象经过点(1,-2),求函数y的表达式；

(2)若一次函数y2=or+b的图象与yi的图象经过x轴上同一点，探究实数a,b

满足的关系式；

(3)已知点P(xo,/n)和。(1,〃)在函数yi的图象上.若m<n,求xo的取值范围.

20.某班“数学兴趣小组”对函数y=_?-2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程

如下，请补充完整.

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

55

X•••-3-2-10123・・・

~22

55

...3m-10-103・・・

y44

其中，m=；

⑵根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的

一部分，请画出该函数图象的另一部分；

⑶观察函数图象，写出两条函数的性质；

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程X2~2\X\=0有

个实数根；

②方程f一2|x|=2有个实数根；

③关于x的方程/一2园=。有4个实数根时，a的取值范围是.

21.如图，长方形0ABe的。4边在x轴的正半轴上，。。在y轴的正半轴上，抛

物线丁=加+法经过点8(1,4)和点E(3,0)两点.

⑴求.物线的解析式；

(2)若点。在线段OC上，且3O_L£>E,8O=OE求。点的坐标；

(3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M,使得△8OM的周长为最小，并

求周长的最小值及此时点M的坐标.

22.如图，已知抛物线y=；d+bx+c（仄c是常数，且cVO）与x轴交于A、B

两点（点A在点3的左侧），与y轴的负半轴交于点。，点A的坐标为（一1,0）.

（1）b=，点8的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连结BC,过点A作直线AE//3C,与抛物线交于点E.点。是x轴上一点，

坐标为（2,0）,当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC.设

△PBC的面积为S.

①求S的取值范围；

②若△P8C的面积S为正整数，则这样的△PBC共有个.

2021中考数学一轮巩固练习：二次函数的图象

及其性质.答案

一、选择题

1.【答案】D【解析】由y=（x—2/+Z知此二次函数的顶点坐标为（2,G）,对称

轴为x=2,由+bx+5知其对称轴为x=一得一?=2,所以〃=—4；于

是可以得到函数的解析式是y=/—4x+5,把（2,攵）代入其中即得k=1.

2.【答案】B

【解析】（1）由抛物线开口向上且与y轴的负半轴相交，得a>0,c<0,从而

acVO,于是①正确；（2）由抛物线的对称轴为尤=1,得一二=1，于是匕=一

2a

2a.由抛物线过点（一1,0）,得a—b+c=0,于是a—（—2a）+c=0,即3a+c

=0,从而②正确；（3）由抛物线与x轴有两个不同的交点，得从一4公>0,从

而4成一从<0,于是③正确；（4）由图可知，当一1〈忘1时，y随着x的增大而

减小，当x>l时，y随着x的增大而增大，于是④错误.综上，结论正确的有3

个，故选B.

3.【答案】C

（解析］二.当x=0时，y=ax2-2x=0,即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；

•.•反比例函数y=型的图象在第一、三象限，

X

ab>0,艮a、b同号,

当a<0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=：<0,对称轴在y轴左边，故D错误；

当a>0时，b>0,直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；

C正确.

故选C.

4.【答案】C【解析】根据抛物线与系数a,b,c的关系特征判断各结论正确与否.

•抛物线开口向下，，aV0,•.•抛物线交于y轴的正半轴，.，acV0,

故①正确；

•.•抛物线与x轴有两个交点，.•22—4ac>0,故②正确；

_±=1

•••抛物线的对称轴为直线x=l,二2a,：.-b=2a,：.2a+b=0,故③错误;

抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，则点（3,0）关于直线尤=1的对称

点为（一1,0）,即抛物线又经过点（一1,0）,即x=—1时，y=a—b+c=O,

故④正确.

综上可知，正确的结论有①②④，共3个.

5.【答案】C【解析】由抛物线y=N—2x+3得y=（x—l）2+2.保持抛物线不动,

将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平

移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移

3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式

为y=（L1+1）2+2—3=/—1.

6.【答案】B

【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点xl、x2,

所以xl、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，

整理，得：x2+x+c=0,

所以』=l-4c>0,

又x2+x+c=0的两个不相等实数根为xl、x2,xl<l<x2,

所以函数y=x2+x+c=0在x=l时，函数值小于0,

即l+l+c<0,

l-4c>0

综上则

1+1+c<0

解得c<-2,

故选B

7.【答案】B

【解析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理,

解答过程如下：

,二次函数y=ax?+bx+c的图象与龙轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，

对称轴为》=匕="3=1,.,.2a+h=0,故①正确；

2a2

V2a+b=0,/.a=--b.

2

,二次函数y=ax?+bx+c的图象经过点A(-1,0),.,.a-b+c=0.

--b-b+c-0,.\3b=2c,故②错误；

2

〈AC不可能等于BC,.•.当aABC是等腰三角形时，。的值有2个.故③正确；

•.'△BCD是直角三角形时，NBCD和NBDC都可能是直角，的取值应该有

两个，故④错误.

综上所述，①③正确.因此本题选B.

8.【答案】A［解析］①因为图象与x轴有两个不同的交点，所以b2—4ac>0,即b2>4ac,

故①正确.②图象开口向下，故a<0.图象与y轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x=

—1,所以一兴=一1,所以2a=b,故b<0,所以abc>0,故②错误.③因为a<0,b<0,c>0,

所以2a+b—c<0,故③错误.④当x=l时，y=a+b+c,由图可得，当x=-3时，y<0.

因为抛物线的对称轴为直线x=—l,所以由对称性可知，当x=l时，y<0,即a+b+c<0,

故④正确.综上所述，①④正确，故选A.

二、填空题

9.【答案】y=3(x+2)2-l

10.【答案】y=；(x+2/+l［解析］已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y=

a(x—h)2+k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y=^x2—4x+3相同，所

以a=g,所以该抛物线的函数解析式是y=g(x+2)2+l.

11.【答案】7

22

【解析】y=-2x-4x+5=-2(x+1)+7,

即二次函数y=-f-4x+5的最大值是7,

故答案为：7.

12.【答案】左3下2［解析］抛物线y=52的顶点坐标为(0,0),而抛物线

y=g(x+3)2—2的顶点坐标为(-3,-2),所以把抛物线y=；x2先向左平移3个

单位长度，再向下平移2个单位长度，就得到抛物线y=/x+3)2—2.

13.【答案】y=-3(x-2)2

14.【答案】［I，0),(2,0)［解析］令y=0,则3x2—8x+4=0,解方程得修=|,

X2=2,.,.抛物线y=3x2—8x+4与x轴的两个交点坐标分别为停，0),(2,0).

15.【答案】修，ojo<m<1［解析］联立y=x+m与y=—x?+2x,得x+m=-x?

+2x,整理得x2—x+m=0,当有两个交点时，b2—4ac=(-I)2—4m>0,解得

1［—x2+2x(x>0)

me,当直线y=x+m经过原点时，与函数y=<x(*<0)的图象有两个不

同的交点，再向上平移，有三个交点，...mX),

Am的取值范围为0<m<：.故答案为0<m<1.

16.【答案】(一1010,101()2)［解析］由点A的坐标可得直线OA的解析式为y

=x.由AAi〃x轴可得Ai(-1,1),又因为AIA2〃OA,可得直线A1A2的解析式

为y=x+2,进而得其与抛物线的交点A2的坐标为(2,4),依次类推得A3(—2,

2019+1

4),A4(3,9),A5(—3,9),.・・，A201X,10102),即A20i9(—1010,10102).

2

三、解答题

17.【答案】

解：(l)y=^x2—2x—l=^x2—2x+2—3=^(x2—4x+4)—3=^(x—2)2—3,

...该二次函数图象的顶点坐标为(2,—3),对称轴为直线x=2.

⑵列表:

X...-2-101234...

3_5_5

・..5-1-3-1

y2-2~2•••

描点、连线，如图:

(3)令y=0,则/2—2x—1=0,

解得xi=2+#,X2=2一册，

...函数图象与x轴的交点坐标为(2+加，0),(2一加，0).

令x=0,则y=3xO2_2x()_]=-1,

二函数图象与y轴的交点坐标为(0,-1).

综上，该二次函数图象与坐标轴的交点坐标为(2+#,0),(2-乖,0),(0,-

1).

18.【答案】

解：(1)此二次函数的解析式为y=(x+l)2-4,即y=x2+2x-3.

(2),.•当y=0时，x2+2x—3=0,解得xl=-3,x2=LA(1,0),B(—3,0)>/.AB=4.

设点M的坐标为(m,n).

VAABM的面积为20,

.•・2AB・|n|=20,解得n=±10.

当n=10时，m2+2m—3=10,

解得m=—1+A/T5或m=—1—\/74,

.•.点M的坐标为(一1+遮，10)或(一1一标，10)；

当n=-10时，m2+2m-3=-10,此方程无解.

故点M的坐标为(一1+，莉，10)或(一1一吊?5,10).

19.【答案】

【思维教练】由图象过点(1,-2),将其带入y的函数表达式中，解方程即可；

⑵由yi=(x+a)(x—a—1)可得出“过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论

即可；(3)先求出yi=(x+a)(x—a—1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对

称轴越近，函数值越小即可得解.

解：(I)、•函数yi=(x+a)(x—a—1)图象经过点(1,一2),

，把x=l,y=-2代入yi=(x+a)(x—a一1)得，-2=(l+a)(—a),(2分)

化简得，-2=0,解得，ai=-2,“2=1,

.,.yi=xz+x~2；(4分)

(2)函数yi=(x+a)(x—a—1)图象在x轴的交点为(一a,0),(a+1,0),

①当函数y2=ar+。的图象经过点(一a,0)时，

把x=-a,y=0代入y2=ax+/?中，

得/=/;；(6分)

②当函数y2=ar+b的图象经过点(a+1,0)时，

把x=a+l,y=0代入"=奴+。中，

得/+&=—b；(8分)

—a-1-Q—I-11

(3)：抛物线yi=(x+a)(x—a—1)的对称轴是直线尤=---j------=],m<n,

•.,二次项系数为1,.,.抛物线的开口向上，

.•.抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，

:m<n,

：.点Q离对称轴的距离比P离对称轴广义的距离大，(10分)

♦♦[xo习<]]，

...O<xo<L(12分)

20.【答案】

解：(l)m=O(2分)

(2)如解图所示：

（4分）

（3）①函数图象有两个最低点，坐标分别是（一1,一1）以及（1,-1）.

②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x=O（y轴）.（6分）

③从图象信息直接看出：当xV—l或OVxVl时，函数值随自变量的增大而减

小；

当一IVxVO或x>l时，函数值随自变量的增大而增大.

④在xV—2或x>2时，函数值大于0,在一2Vx<0或0VxV2时，函数值小

于0等.（答案不唯一，合理即可）

（4）①3,3；②2;③一l<a<0.（10分）

【解法提示】①观察图象可知函数图象与x轴有3个交点，

...方程x2-2|x|=0有3个不相等的实数根；

②把抛物线y=x2—2风向下平移2个单位，得抛物线y=x2-2|x|-2,

则抛物线y=x2-2|x|-2与x轴只有2个交点，

方程x2-2|x|-2=0有2个不相等的实数根；

③把抛物线y=x2—2|x|向上平移OVhVl时，抛物线与x轴有4个交点，

二抛物线解析式y=x2—2|x|-a中，0<—a<l,

21.【答案】

⑴将点8(1,4),E(3,0)的坐标代入抛物线的解析式得卜+方=4

[9a+3/?=0

解得("=一2,

[b=6

抛物线的解析式为y=-29+6x；

(2)'：BD±DE,

:.NBDE=90°,

：.ZBDC+ZEDO=90°,又：NOOE+NOEO=90°,

NBDC=ZDEO,

在△BOC和△OEO中，

fZBCD=ZDOE=9Q°

</BDC=/DEO,

[BD=DE

：.△BO—△OEO(AAS),

AOD=BC=\,.*.£)(0,1)；

(3)如解图，作点8关于抛物线的对称轴的对称点B1,连接上。交抛物线的对称

轴于点M.

•..抛物线对称轴为直线犬=_L

加

.•.点8,的坐标为(2,4),•.•点8与点V关于x=，对称，

,：.DM+MB=DM+MB',

...当点。、M、B'在同一条直线上时，MD+A/B有最小值(即△BMO的周长有

最小值)，

\'DC=0C~0D=3,CB'=2,CB=\,

BD=』DC?+CB°=A/13,

...△①»/周长的最小值=也十，15,

设直线BD的解析式为y=kx+t,