一类整环中素元及唯一分解的研究_第1页
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首先，我们来了解一下素元的概念。在整数整环中，一个大于1的ppp为素数，把这个1p1和自己之外，再没有其他的元素能够整除它，那么p被称为素元，否则是合数。1与素数的定义是类似的。在整数环中，2,3,5,7等都是素数；但在其他环中，例如Z[√-5]整环中，2就不是素数。因为2=(1+√-5)(1-√-1√-5都不是逆元即不是单位元，即这种分解为非平凡的，所以2不是整环Z[√-5]的素元。D上的元素存在成对因子的时候，它们就不是想要的分解。例如，在R[x]中：x^2+2x+1=(x+1DD的唯一分解。在这种情况下，任何一个集合如果它的所有元素都是非唯一分解的，那么这个集合就不能称为唯一分解整环。因此，下面的定义得到了：2D上的每个非零元素都有唯一的因子分解，那么这个整环D被称为唯一分解整环。D都是主理想。但反过来说，主理想整环不一定是唯一分解整环。在这里，我们不进行主理想整环及其理论的详细介绍，只是简单提一下。1D（1）Dababpab=pa,bp的关联因子，即存在单位元u和v，使得a=up，b=vp。a,ba|bab相伴。a与b相伴的定义是：a,buuabD=Z[√-5]，在此整环中，定义加法和乘法均与复数加法和乘法相同，即0和1分别作为加法单位元和乘法单位元，而-1和i、-i是电视上的平方根。现在来考虑素数的情况。2Z[√-5]上的素元。因为：2=(1+√-5)(1-√-5)1+-√-52不是素数。下面是一些能被整环Z[√-5]唯一地因式分解的元素：3=(2+√-5)(2-√-7=(3+√-5)(3-√-11=(4+√-5)(4-√-19=(5+√-5)(5-√-23=(3+2√-5)(3-2√-31=(1+3√-5)(1-3√-47=(7+4√-5)(7-4√-195

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