一元二次方程(讲义)

是一元二次方程的重要组成部分。方程，只有当时，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。ax2+bx+c=0

(a≠0)

1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．

3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：

（1）x2十3x十2＝O

（2）x2—3x十4＝0；

(3)3x2-5＝0

（4）4x2十3x—2＝0；

(5)3x2—5＝0；

(6)6x2—x=0。2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：

(1)6x2＝3-7x；

(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1．下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）且（二）填空题已知关于的方程当时，方程为一元二次方程，当时，方程为一元一次方程。（三）解答题已知关于的方程是一元二次方程，求n的取值范围。【参考答案】（一）1．A2．D（二），（三）的取值范围是.二、关于一元二次方程一般形式的题目（一）选择题1．方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为（）（A）3，－4，－2（B）3,2，－4（C）3，－2，－4（D）2，－2，02．一元二次方程化为一般形式（）后，的值分别为（）（A）6,4，3（B）6，－4,－3（C）5,4，－3（D）5,－4，33．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为－1，则的值为（）（A）－1（B）1（C）－2（D）2（二）填空题1．的二次项系数是，常数项为，的值为。2．方程化为一般式为，二次项系数，一次项系数，常数项的和为。3．一元二次方程，有两个解为1和－1，则有，且有（三）解答题1．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项。（1）（2）（3）（4）（5）2．下列关于的方程是否为一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出二次项系数，一次项系数及常数项。（1）（2）（3）（4）【参考答案】一、1．B2．C3．B二、1．，0,12．；－83．0,0三、1．（1）；，，（2）；，，（3）；，，（4）；，0，（5）；，，2．（1）∵∴是一元二次方程二次项系数，一次项系数－4，常数项（2）是一元二次方程二次项系数5，一次项系数，常数项0。（3）当时，是一元二次方程二次项系数是，一次项系数是，常数项是当时，不是一元二次方程。（4）∵∴是一元二次方程二次项系数是，一次项系数是，常数项是典型例题例1

指出下列方程中哪些是一元二次方程（1）（2）（3）

（4）（5）（6）解：（1）整理得：移项，合并得：∴是一元二次方程（2）移项得：∴是一元二次方程（3）∵方程的分母中含有未知数∴它不是一元二次方程（4）∵方程中含有两个未知数∴它不是一元二次方程（5）∵∴它是一元二次方程（6）整理得：移次，合并得：∵二次项系数合并后为0∴它不是一元二次方程点拨：对方程要先进行整理，然后再根据条件：①整式方程②只含有一个未知数③未知数的最高次数为2只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程。例2把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项，一次项及常数项。（1）（2）（3）（4）（）（5）解：（1）整理，得二次项：，一次项，常数项0（2）整理，得：二次项：，一次项：，常数项：（3）整理，得：

（4）整理得：二次项：，一次项：0，常数项：（5）整理得：二次项：，一次项：，常数项：点拨：在移项，合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心。要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项的系数。特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号。例3

把下列关于的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）（）（2）（）（3）（4）解：（1）（）二次项系数：，一次项系数：，常和项：（2）（）二次项系数：，一次项系数：0常数项：（3）二次项系数：2，一次项系数：常数项：（4）

二次项系数：，一次项系数：，常数项：1点拨：对于字母系数的方程的整理，应先明确其未知数，再确定各项的系数，特别要注意，一定要讨论所除的二次项系数不能为0，因为一元二次方程只有在这个条件下才是有意义的。1．知识结构：一元二次方程的解法2．重点、难点分析（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：1）把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。2）把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。3）当时，才能求出方程的两根。（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法,十字交叉法，韦达定理。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0),我们已经学会了它们的解法。特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。例

解方程：(x-3)2=4

(让学生说出过程)。解：方程两边开方，得

x-3=±2，移项，得

x=3±2。所以

x1=5,x2=1.

(并代回原方程检验，是不是根)4.其实(x-3)2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)(x-3)2=4,

①x2-6x+9=4,

②x2-6x+5=0.

③二新课

1.逆向思维

我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)2。2.通过观察，发现规律问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。

(添一项+1)

即

(x2+2x+1)=(x+1)2.练习，填空：x2+4x+()=(x+

)2;

y2+6y+(

)=(y+

)2.算理

x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即.+()④

(让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)

项固练习(填空配方)

总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。

问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?算理是什么?

巩固练习(填空配方)

x2-bx+(

)=(x-

)2;

x2-(m+n)x+(

)=(x-

)2.

扩展资料配方法在解题中的应用

河北省正定中学赵建勋配方是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用．本文通过例题谈谈它的一些应用．一、应用于因式分解例1分解因式x4＋4．解配方，得原式=x4＋4x2＋4-4x2＝（x2＋2）2-（2x）2=（x2＋2x＋2）（x2-2x＋2）．例2分解因式a2-4ab＋3b2-2bc-c2．解原式=（a2-4ab＋4b2）-（b2+2bc＋c2）＝（a-2b）2-（b＋c）2＝（a-b＋c）（a-3b-c）．二、应用于解方程例3解方程3x2＋4y2-12x-8y＋16=0．解分别对x、y配方，得3（x2-4x＋4）＋4（y2-2y＋1）=0，3（x-2）2＋4（y-1）2＝0．由非负数的性质，得

例4解方程（x2＋2）（y2＋4）（z2＋8）=64xyz（x、y、z均是正实数）．解原方程变形，得x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0各自配方，得（xyz-8）2＋2（4x-yz）2＋4（2y-xz）2＋8（z-xy）2=0由非负数的性质，得运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握．三、应用于求二次函数的最值例5已知x是实数，求y＝x2-4x+5的最小值解由配方，得y＝x2-4x＋4-4＋5=（x-2）2＋1∵x是实数，∴（x-2）2≥0，当x-2=0，即x=2时，y最小，y最小=1．例6已知二次函数y=x2-6x＋c的图象的顶点与坐标原点的距离等于5，求c的值．解因为y＝x2-6x＋c＝x2-6x＋9-9＋c=（x-3）2＋c-9，所以这个二次函数的顶点坐标为（3，c-9），它与坐标原点的距离是四、应用于求代数式的值本题联合应用了倒数法和配方法使问题得解．倒数法是一种解题技巧，解题时注意应用．解由已知条件，分别对a、b配方，得（a2-4a＋4）＋（b2-2b＋1）＝0，（a-2）2＋（b-1）2＝0．由非负数的性质，得a-2＝0，b-1＝0．∴a＝2，b＝1．五、判定几何图形的形状例9已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2-ab-bc-ca＝0，判定△ABC是正三角形．证明由已知等式两边乘以2，得2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0，拆项、配方，得（a2-2ab＋b2）＋（b2-2bc＋c2）＋（c2-2ca＋a2）＝0，（a-b）2＋（b-c）2+（c-a）2＝0．由实数的性质，得a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a＝b，b＝c，c＝a，a=b=c．故△ABC是等边三角形．习题精选用开平方法解一元二次方程一、选择题1．方程的解为（

）A．

B．

C．

D．2．方程的解为（

）A．

B．C．

D．3．方程的实数根的个数是（

）A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个4．方程的根是（

）A．

B．C．

D．5．对于形如的方程，它的解的正确表达式为（

）A．都可以用直接开平方法求解，且B．当时，C．当时，D．当时，二、填空题6．若，则的值是

。7．若方程有解，则的取值范围是

。8．方程的解为

。答案：1．B

2．D

3．C

由，得

4．D

∵，∴，

5．C

当时，，∴6．

7．

8．用配方法解一元二次方程1．用配方法解下列方程（1）

（2）（3）

（4）2．用配方法将下列各式化成的形式（1）

（2）（3）

（4）答案：1．（1）；

（2）；（3）；

（4）。2．（1）原式；

（2）原式；

（3）原式；

（4）原式用公式法解一元二次方程一、选择题1．用公式法解方程，得到（

）A．

B．C．

D．2．方程化简整理后，写成的形式，其中分别是（

）A．

B．C．

D．二、解答题3．用公式法解下列方程（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）；（7）。答案：1．B

2．C

3．（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）；

（7）。用因式分解法解一元二次方程一、填空题1．方程的根是

。2．（盐城市，1998）方程的解是

。3．方程的解是

。二、解答题4．用因式分解法解方程（1）；

（2）；（3）；

（4）。5．用因式分解法解下列方程（1）；

（2）；（3）；（4）。答案：1．

2．

3．4．（1）；

（2）；（3）；

（4）.5．（1）；

（2）；（3）；

（4）.选择适当的方法解下列关于的方程1.2.3.4.5.6.答案1.（用直接开平方法）2.（因式分解法）3.4.5.6.（提示：）解含有字母系数的一元二次方程解关于的方程.答案:当=0时,=;当且0时,,;当>时,方程无实根.典型例题１－５例1用直接开平方法解下列方程分析用直接开平方法解方程,要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根的定义求解.解：移项得：将方程各项都除以4得：∵是64的平方根∴∴例2用直接开平方法解下列方程。解：

∴，点拨：对于无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过应注意二次根式的化简。例3用配方法解方程解：移项得：配方得：

解这个方程

∴，点拨:配方法是解一元二次方程的重要方法,是导出求根公式的关键.熟练掌握完全平方式是用配方法解题的基础.对于二次项系数是1的方程,在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方.例4用配方法解方程：

分析因为二次项系数不为1,所以要先将方程各项同时除以二次项系数后,再配方.解：方程两边同除以3得方程两边同时加上一次项系数一半的平方

∴∴∴点拨:“方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步,是配方法的关键,“将二次项系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提.例1用公式法解方程解：移项得：∵∴∴∴，例5用公式法解方程移项得：∵∴∴∴点拨：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般式；（2）确定出，，的值；（3）求出的值（或代数式）；（4）若，则可用求根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计算.另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程.典型例题６－１０例6用因式分解法解下列方程。解:移项得：把方程左边因式分解得：∴或∴点拨:在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。例7用因式分解法解下列方程解：把方程左边因式分解为：∴或∴

点拨:对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。例8解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（