《复习题》教学设计(江西省市级优课)x-八年级数学教案

共顶点双等腰三角形模型再探【活动一】模型认识：（2017·九江八下期末）如图1是共顶点双等腰三角形模型。已知AB=AC,AB'=AC',∠BAC=∠B'AC'.研究此图形可以发现一些有趣的结论。（1）如图2，连接BB',CC'，CC'交AB于E，延长CC'交BB'于点D，求证：∠BDC=∠BAC;

联系与运用：（2）如图3，△ABC与△ABC'均为等边三角形，点C‘在△ABC内，连接BB',CC',BC'，设∠BC'C=y，∠B'BC'=x，求y与x满足的关系式；（3）如图4，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°且∠ADB=45°，BD=4，CD=√41，求AD的长。【解析】（1）首先共顶点双等腰模型的本质就是旋转式全等三角形，其次这种模型中经常隐藏着一些“8字型”，这些“8字型”是推导相等角的重要模型，例如共顶点双等腰模型中常用“8字型”证两线垂直；共顶点双等边模型中常用“8字型”证两线夹角为60°等。所以请同学们务必重视如下图红色粗线所示的“8字型”，也是我们今后初三常见的”相似模型“。如图，易知△ABB'≌△ACC'，∴∠ABD=∠ACE∵∠BDC+∠ABD+∠DEB=180°

∠BAC+∠ACE+∠AEC=180°又∵∠DEB=∠AEC∴∠BDC=∠BAC（2）方法一：根据（1）的提示，延长CC',交BB'于点E，构造如下图红色线所示的”8字型“，易得∠BEC=∠BAC=60°，再由三角形的外角定理得y=x+60°.（2）方法二：∵∠1+∠2=180°-y又∵∠ABC'+∠1+∠∠ACC'+∠2=60°+60°=120°∴∠ABC'+∠ACC'=120°-（180°-y）=y-60°∵△ABB'≌△ACC'∴∠ABB'=∠ACC'∴∠ABC'+∠ABB'=y-60°

即x=y-60°∴y=x+60°（2）方法三：延长AC'，∵∠1+∠2=∠BC'E

∠3+∠4=∠CC'E∴∠1+∠4+60°=y又∵∠4=∠ABB'∴∠1+∠ABB'+60°=y∴y=x+60°（3）方法一：作EA⊥AD，交DB的延长线于E，连接CE。（构造共等顶点双等腰直角模型）易知△ADB≌△AEC∴∠ADB=∠AEC=45°又∵∠DAE=90°∴∠AED=90°-45°=45°∴∠DEC=45°+45°=90°∵BD=EC=4,CD=√41∴由勾股理得DE=5∴DA=5÷√2=2.5√2（3）方法二：作D'A⊥DAA，且D'A=DA。（构造共顶点双等腰直角模型）

易知△ADC≌△AD'B

∴CD=BD’=√41

又∵∠ADB=45°，∠ADD'=45°

∴∠BDD'=90°【方法提炼】1、共顶点双等腰有两种特殊的模型，即共顶点双等边，共顶点双等腰直角（共顶点双正方形亦属此类型）。这些模型都是由三角形旋转而得，前者是旋转60°，后者旋转90°。2、有趣的是旋转模型中往往”寄生“了另一种数学小模型，即”8字型“，”8字型“是导角相等或导线垂直的重要方法，也是相似三角形的基本模型。正所谓：两个等腰共顶点，全等图形特明显！若是找找八字型，九成会有新发现！【活动二】模型变化（2014•本溪）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．解答：（1）证明：如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE与△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE，∵在RT△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，在△ABH与△ACD中∴△ABH≌△ACD（SAS）∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．【活动三】模型重建（2017•江西）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知（1）在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=______BC;②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为_______．猜想论证（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．23.解：（1）①．②4．(2)猜想：AD=．证法一证明：如图1，延长AD至E，使DE=AD．∵AD是△ABC的“旋补中线”，∴B′D=C′D．∴四边形AB′EC′是平行四边形．∴EC′∥B′A，EC′=B′A．∴∠AC′E+∠B′AC′=180°．由定义可知∠B′AC′+∠BAC=180°，B′A=BA，AC=AC′，∴∠AC′E=∠BAC，EC′=BA．∴△AC′E≌△CAB．∴AE=BC．∵AD=AE，∴AD=BC．证法二证明：如图2，延长B′A至F，使AF=B′A,连接C′F．∴∠B′AC′+∠C′AF=180°．由定义可知∠B′AC′+∠BAC=180°，B′A=BA，AC=AC′，∴∠CAB=∠C′AF，AB=AF．∴△ABC≌△AFC′．∴BC=FC′．∵B′D=C′D，B′A=AF，∴AD=FC′．∴AD=BC．证法三证明：如图3，将△AB′C′绕点A顺时针旋转∠C′AC的度数，得到△AEC，此时AC′与AC重合，D的对应点为D′，连接AD′．由定义可知∠B′AC′+∠BAC=180°．由旋转得∠B′AC′=∠EAC，∴∠BAC+∠EAC=180°．∴E、A、B三点在同一直线上．∵AB=AB′=AE，ED′=D′C，∴AD′是△EBC的中位线．∴AD′=BC．即AD=BC．（注：其他解法酌情给分）(3)存在．如图4，以AD为边向四边形ABCD的内部作等边△PAD，连接PB，PC，延长BP交AD于点F，则有∠ADP=∠APD=60°，PA=PD=AD=6．∵∠CDA=150°，∴∠CDP=90°．过点P作PE⊥BC于点E，易知四边形PDCE为矩形．∴CE=PD=6．∴tan∠1=．∴∠1=30°，∠2=60°∴BE=12-6=6=CE.又PE⊥BC，∴PC=PB，∠3=∠2=60°.∴∠APD+∠BPC=60°+120°=180°.又PA=PD，PB=PC，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”．∵∠3=60°，∠DPE=90°，∴∠DPF=30°．∴BF⊥AD，AF==3，PF=．在Rt△PBE中，PB===．∴BF=PB+PF=．在Rt△ABF中，AB=．由上证得：△PDC是△PAB的“旋补三角形”．∴△PAB的“旋补中线”长为．求解“旋补中线”补充解法如图5，分别延长AD、BC相交于点G，∵∠ADC=150°，∠BCD=90°，∴∠GDC=30°，∠GCD=90°．∴在Rt△GDC中，GD==4．∴GC==2．∴GA=6+4=10，GB=2+12=14．作AH⊥GB交GB于点H，在Rt△GAH中，∴AH=GAsin60°=10×，GH=×AG=5．∴HB=GB-GH=14-5=9．∴AB=．由上证得：△PDC是△PAB的“旋补三角形”．∴△PAB的“旋补中线”长为．【活动四】（2017•江西改编）模型再探模型归纳如图1，∆ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，现将∆ADC绕点D逆时针旋转，如图2，得到∆ADF，我们把线段DE称为∆DBC的旋补中线．可知在图2中始终有如下等