【高中数学】2023-2024学年北师大版必修第二册 线性运算中的最值问题 课件（34张）

向量的线性运算题目中，有一部分是直接运算，有一部分是研究几何性质，还有一部分涉及到最值问题，主要是线性运算系数的最值或范围问题。1.从系数的多少看，可以把这种专题分为【单系数最值】【双系数最值】2.从解题方法上，除了必需要线性运算法则、运算律、定理及特殊结论外，还有【消元法】【基本不等式】【三角换元法】等求最值的方法。前言必备向量知识向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算

法则

法则

(1)交换律：a＋b＝

；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝_________平行四边形三角形b＋aa＋(b＋c)减法求两个向量差的运算

法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝

；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向

；当λ<0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝__(1)λ(μa)＝

；(2)(λ＋μ)a＝

；(3)λ(a＋b)＝_______

三角形|λ||a|相同相反(λμ)aλa＋μaλa＋λb0平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝

.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在

一对实数λ1，λ2，使a＝

.其中，不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组

.不共线唯一λ1e1＋λ2e2基底(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

＝

，||＝

.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔

.(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝01.三角形的中线向量公式OABC

重要结论2.平面向量的三点共线规则OABC

OABC

mnO必备函数知识(1)基本不等式成立的条件：

.(2)等号成立的条件：当且仅当

时取等号.a≥0，b≥0a＝b2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥

(a，b∈R).2ab2(3)ab≤

(a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.已知a>0，b>0，a＋b＝1，则

的最小值为___.3.

通过常数代换法利用基本不等式4∵a>0，b>0，a＋b＝1，4.

三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；③通过换元，转换成二次函数求值域.进入专题研究专题导图单系数最值问题双系最值问题单系数最值问题1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，

点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若

，则x的取值范围是单系数最值问题1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，

点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若

，则x的取值范围是

ABCDO

3把系数看作目标函数。是一次函数，就按一次函数求值域思路进行。思维导图单系数最值问题双系数最值问题双系数最值问题

1.建系转化为坐标运算2.不建系，用减法法则运算

双系数最值问题

双系数最值问题

1.构建【三点共线规则】模型2.获得2x+y=43.用基本不等式知识中的【常量代换法】求目标函数最小值双系数最值问题

双系数最值问题

3.a+b是一个一次函数，直接求值域双系数最值问题

双系数最值问题

1.典型的【三点共线向量规则】的应用，获得m+4n=12.用算术平均数与几何平均数关系求出mn最大值

双系数最值问题

双系数最值问题

双系数最值问题

1.由于有动点，且在矩形中运动，适合建系2.对所给向量关系运算出λ，μ