专题1.3 复数（解析版）【高考总复习】2024年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

第第页专题1.3复数专题1.3.1复数的概念、模、几何意义知识点一复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)知识点二复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).【164】．（2022·全国·高考真题·★★）设，其中为实数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为R，，所以，解得：．故选：A.【165】．（2022·全国·高考真题·★★）若．则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以，所以．故选：D.【166】．（2021·全国·高考真题·★）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.【167】．（2020·北京·高考真题·★）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得，.故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.【168】．（2020·全国·高考真题·★）复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.【169】．（2019·全国·高考真题·★★）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．【170】．（2012·北京·高考真题·★）设，“”是“复数是纯虚数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当a=0时，如果b=0，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义【171】．（2013·福建·高考真题·★★）已知复数的共轭复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【详解】，所对应的点为（1，-2）位于第四象限．【考点定位】本题只考查了共扼复数及复平面的概念，属于简单题．【172】．（2017·全国·高考真题·★）下列各式的运算结果为纯虚数的是A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i)【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A中，复数为纯虚数，所以正确；对于B中，复数不是纯虚数，所以不正确；对于C中，复数不是纯虚数，所以不正确；对于D中，复数不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路．其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.【173】．（2017·全国·高考真题·★★）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】【详解】，则表示复数的点位于第三象限.所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为【174】．（2016·全国·高考真题·★★）设的实部与虚部相等，其中为实数，则A．−3 B．−2 C．2 D．3【答案】A【解析】【详解】试题分析：，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.【175】．（2020·江苏·高考真题·★）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数∴∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．【176】．（2019·浙江·高考真题·★）复数（为虚数单位），则________.【答案】【解析】【分析】本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算.容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】.【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.【177】．（2015·上海·高考真题·★★）若复数满足，其中是虚数单位，则___________.【答案】【解析】【详解】设，则，因为，所以，即，所以，即，所以.考点：复数的概念，复数的运算.【178】．（2016·天津·高考真题·★★）是虚数单位，复数满足，则的实部为_______.【答案】1【解析】【详解】试题分析：，所以的实部为1.【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭复数为.【179】．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测·★★★）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算，将复数化简即可根据几何意义得对应点的坐标.【详解】因为,所以在复平面内对应的点为,故对应的点在第四象限.故选:C【180】．（2022·河南安阳·模拟预测·★★）若，则（

）A． B． C．25 D．5【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘方公式，结合复数模的运算公式进行求解即可.【详解】因为，所以，因此，故选：D【181】．（2022·全国·模拟预测·★★）若复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用复数运算可求得，根据复数模长的求法可求得结果.【详解】由得：，，.故选：B.【182】．（2022·河南·模拟预测·★）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】首先根据复数的运算得到，再根据复数的几何意义求解即可.【详解】由题意可得，则z在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A【183】．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模·★★）已知复数z满足（i是虚数单位），则（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】【分析】根据复数的相等再结合共轭复数的概念求得，再求模即可.【详解】设，则，所以，，所以，所以．故选：B．【184】．（2022·江西·上高二中模拟预测·★★）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】化简得，即得解.【详解】解：由题得.所以的虚部为.故选：C【185】．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测·★★★）已知是虚数单位，复数，则的共轭复数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由的幂运算的周期性和复数除法运算可化简得到，根据共轭复数定义可得结果.【详解】，，.故选：B.【186】．（2022·海南海口·二模·★★）复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.【详解】由已知得，则复数的虚部为，故选：D.【187】．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测·★★）已知复数，则（

）A． B．4 C． D．10【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘方运算求得，再根据复数模的计算求得答案.【详解】复数，则，故，故选：A【188】．（2022·北京市第十二中学三模·★）已知复数z满足，则z的虚部为（

）A． B． C． D．7【答案】B【解析】【分析】先化简复数z，再利用复数的相关概念求解.【详解】解：因为复数z满足，所以，所以z的虚部为-1，故选：B

专题1.3.2复数的四则运算知识点一复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f((a＋bi)(c－di),(c＋di)(c－di))＝eq\f(ac＋bd＋(bc－ad)i,c2＋d2)(c＋di≠0).【知识必备】1.i的乘方具有周期性in＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝4k，,i，n＝4k＋1，,－1，n＝4k＋2，,－i，n＝4k＋3))(k∈Z).2.复数的模与共轭复数的关系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.【189】．（2022·全国·高考真题·★）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.【190】．（2022·全国·高考真题·★★）若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D【191】．（2022·全国·高考真题·★★）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】故选：C【192】．（2011·全国·高考真题·★）复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘除运算求出，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可.【详解】由题意知，令，所以复数的共轭复数为，故选：C【193】．（2021·全国·高考真题·★）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C.【194】．（2021·全国·高考真题·★★）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】，.故选：B.【195】．（2021·全国·高考真题·★★）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.【196】．（2021·全国·高考真题·★）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：.故选：C.【197】．（2014·天津·高考真题·★★）是虚数单位，复数A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】试题分析：，故选A．考点：复数的运算．【198】．（2017·全国·高考真题·★）＝（

）A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数的除法运算即可得解.【详解】由题意，故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题.【199】．（2020·海南·高考真题·★）=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接计算出答案即可.【详解】故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.【200】．（2021·天津·高考真题·★）是虚数单位，复数_____________．【答案】【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】.故答案为：.【201】．（2014·江苏·高考真题·★）已知复数（为虚数单位），则复数的实部是___________.【答案】21【解析】【详解】由题意，其实部为21．【考点】复数的概念．【202】．（2012·湖北·高考真题·★★）若(为实数，为虚数单位)，则________.【答案】3【解析】【详解】因为，所以.又因为都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以.【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查.【203】．（2007·海南·高考真题·★）是虚数单位，.(用的形式表示，)【答案】【解析】【详解】【204】．（2018·天津·高考真题·★）i是虚数单位，复数___________.【答案】4–i

【解析】【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【205】．（2017·上海·高考真题·★）已知复数满足，则_____________．【答案】【解析】【详解】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．【206】．（2017·天津·高考真题·★★）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________．【答案】-2【解析】【详解】为实数，则.【考点】复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数，当时，为虚数，当时，为实数，当时，为纯虚数.

【207】．（2022·全国·模拟预测·★★）已知复数，i为虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由复数除法求得，得其共轭复数，再由模的定义计算．【详解】，所以，所以.故选：A．【208】．（2022·陕西·模拟预测·★★）已知，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】将化为，根据复数的相等，求得，求得答案.【详解】由可得，即，故，故，故选：A【209】．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测·★★★）已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘方运算、除法运算求出复数z，再结合复数的几何意义即可作答.【详解】依题意，，所以复数z在复平面内所对应的点位于第三象限.故选：C【210】．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测·★★★）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案.【详解】，所以，解得，故选：B.【211】．（2022·天津·模拟预测·★★）已知复数的实部和虚部相等，则___________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用复数除法运算化简，求出b即可计算作答.【详解】依题意，，于是得，解得，则，所以..故答案为：【212】．（2021·山东·泰安一中模拟预测·★★★）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.【答案】【解析】【分析】设出复数的代数形式，由求出的实部，然后由是纯虚数列式即可计算作答.【详解】设，由，可得，解得，又是纯虚数，设且，则，则，解得，所以或.故答案为：【213】．（2018·天津·一模·★★★）已知，是虚数单位，若复数，则复数_______.【答案】【解析】【详解】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，结合已知条件求的值，然后代入复数，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解：∵复数即．则复数．故答案为点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【214】．（2020·江苏南通·模拟预测·★★）已知复数z满足（i为虚数单位），且，则实数________．【答案】0【解析】【分析】先化简，再利用建立方程，最后解得实数的值.【详解】解：∵，∴∵，∴

解得：，故答案为：0.【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.【215】．（2020·江苏·模拟预测·★★）复数z满足，为虚数单位，为复数的共轭复数，则复数的模为________．【答案】【解析】计算到，故，再计算模长得到答案。【详解】，故，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的计算，复数模的计算，意在考查学生的计算能力。【216】．（2021·天津滨海新·一模·★★）是虚数单位，若，则___________.【答案】【解析】【分析】先设复数，再求得，最后利用复数相等即可求得.【详解】解：设复数，则，所以，所以根据复数相等得：，解得，所以，故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.【217】．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测·★★）已知复数：满足（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算与共轭复数