专题4.1 三角恒等变换（解析版）【高考总复习】2024年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

第第页专题4.1三角恒等变换1同角三角函数的基本关系式：，=，2正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3和角与差角公式;;.=(由点的象限决定,).3二倍角公式及降幂公式..4三角函数的周期公式函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.三角函数的图像：【605】．（2022·全国·高考真题·★★★）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：,即：，即：,所以,故选：C【606】．（2022·北京·高考真题·★★★）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.【607】．（2021·全国·高考真题·★★）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.【608】．（2021·全国·高考真题·★★）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．【609】．（2016·山东·高考真题·★★★）函数的最小正周期是（

）A． B．π C． D．2π【答案】B【解析】【分析】因为，根据辅助角公式可化简为，根据正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.【详解】,故最小正周期,故选：B.【点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.【610】．（2020·全国·高考真题·★★★）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.【611】．（2009·安徽·高考真题·★★★）已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是A． B．C． D．【答案】C【解析】【详解】，由题设的周期为，∴，由得，，故选C.【612】．（2012·全国·高考真题·★★）已知为第二象限角，，则.A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数关系先求得，再由即可得解.【详解】因为为第二象限，所以，即，所以，选A.【点睛】本题主要考查了正弦的二倍角公式，属于基础题.【613】．（2008·湖南·高考真题·★★★）函数在区间上的最大值是A．1 B． C． D．1+【答案】C【解析】【详解】由,故选C.【614】．（2009·湖北·高考真题·★★★）“sin=”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由可得，故成立的充分不必要条件，故选A.【615】．（2022·浙江·高考真题·★★）若，则__________，_________．【答案】

【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．【详解】，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则．故答案为：；．【616】．（2020·北京·高考真题·★★★）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】（均可）【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.【详解】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.【617】．（2019·江苏·高考真题·★★★）已知，则的值是_____.【答案】.【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.【618】．（2019·全国·高考真题·★★）函数的最小值为___________．【答案】.【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.【详解】，，当时，，故函数的最小值为．【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．【619】．（2015·江苏·高考真题·★）已知，，则的值为．【答案】3【解析】【详解】，故答案为3.【620】．（2018·全国·高考真题·★★）已知，，则__________．【答案】【解析】【详解】因为，所以，①因为，所以，②①②得，即，解得，故本题正确答案为【621】．（2011·上海·高考真题·★★★）函数的最大值为________________．【答案】【解析】【详解】此题考查三角函数最值问题的求法、诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角余弦公式和正弦公式的逆向应用、两角和的正弦公式的逆向应用、三角函数的有界性的应用;求三角函数的值域的类型有：（1）形如这些函数可利用换元法求值域或最值；（2）形如可构造出一个动点和一个定点的斜率求最值或值域；（3）形如的利用两角和与差的正弦、余弦公式的逆向应用，把函数化成形式求值域；，所以函数的最大值是；此题还可以考查求此函数的周期，单调区间以及给定区间上的值域或最值问题，函数的图像平移变换问题；【622】．（2008·山东·高考真题·★★★）已知则的值是__________．【答案】【解析】【分析】由已知等式可得，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以，，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围确定角．【623】．（2021·浙江·高考真题·★★★）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.【624】．（2010·山东·高考真题·★★★）已知函数（）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.【答案】（Ⅰ）1，（Ⅱ）1【解析】【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）因此1g（x），故g（x）在此区间内的最小值为1.【625】．（2012·四川·高考真题·★★★）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.（1）求的值及函数的值域；（2）若，且，求的值.【答案】（2），函数的值域为;（2）.【解析】【分析】(1)将函数化简整理，根据正三角形的高为，可求出，进而可得其值域；(2)由得到，再由求出，进而可求出结果.【详解】(1)由已知可得，又正三角形的高为，则，所以函数的最小正周期，即，得，函数的值域为．(2)因为，由(1)得，即，由，得，即＝，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，熟记正弦函数的性质即可求解，属于基础题型.【626】．（2009·重庆·高考真题·★★★）设函数的最小正周期为．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【详解】(1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋sin2ωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin＋2，依题意得，故ω的值为.(2)依题意得g(x)＝sin＋2＝sin＋2，由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故y＝g(x)的单调增区间为(k∈Z)【627】．（2022·河南省杞县高中模拟预测·★★★）已知，若，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】【分析】以为整体，结合题意判断其象限，并求，利用两角和的正弦公式求．【详解】因为，所以，又，所以，，所以．故选：A．【628】．（2022·河南省杞县高中模拟预测·★★★）已知，若，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定，通过凑角，利用和角正弦求得，从而求得，根据角的范围确定符号，开方即可得结果.【详解】因为，所以，又，所以，所以，所以，所以，又，．故选：B．【629】．（2022·福建·三明一中模拟预测·★★★）已知函数，且方程在内有实数根，则实数a的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】由题意可得在内有实数根，a的取值范围即为函数的值域.【详解】，方程在内有实数根，即在内有实数根，，，得，即a的取值范围是，故答案为：【630】．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测·★★★★）函数的最大值为______．【答案】13【解析】【分析】利用辅助角公式化简,即可由正弦函数的性质求得最大值.【详解】，令，所以可得所以由正弦函数的性质可知的最大值为.故答案为:【631】．（2021·上海市七宝中学模拟预测·★★★★）已知函数，函数与函数的图象关于原点对称.(1)求的解析式；(2)求函数在上的单调递增区间.【答案】(1)(2)单调递增区间是和【解析】【分析】（1）设点是函数的图象上任意一点，所以，点在的图象上，将点的坐标代入函数的解析式，可得出函数的解析式；（2）化简函数解析式为，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间，将区间与区间取交集可得结果.(1)解：设点是函数的图象上任意一点，由题意可知，点在的图象上，于是有，所以，.(2)解：由（1）可知，，，记，由，解得，

记，则，

于是，函数在上的单调递增区间是和.【632】．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测·★★★★）已知函数，(1)求的解析式，并求其单调递增区间；(2)若在区间上的根按从小到大的顺序依次记为求数列的通项公式及其前n项和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换和辅助角公式计算求出的解析式，结合整体代换法即可求出函数的增区间；(2)令求出x的值，进而得出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式和前n项求和法计算即可.(1)由题意得，，则，，解得Z)，即函数的单调增区间为Z，(2)由，得，有或Z，解得或，Z，得方程的根从小到大排列依次为，所以则数列的通项公式为，故数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，奇数项是以为首项，1为公差的等差数列.当为偶数时，；当为奇数时，，综上，.【633】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简解析式，然后利用正弦函数的单调性解决即可.【详解】函数，由函数f(x)在上单调递减，且，得，，解，.又因为ω>0，，所以k＝0，所以实数ω的取值范围是.故选：B【634】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知条件可得出，利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简可得结果.【详解】由已知可得，则原式．故选：A.【635】．（2022·全国·模拟预测·★★★）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可【详解】因为，所以，且，所以，所以，所以．故选：C．【636】．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测·★★）己知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由终边上的点可得，，再应用二倍角正余弦公式及和角正弦公式求.【详解】角的终边的经过，所以，，所以，，所以．故选：B．【637】．（2022·全国·模拟预测·★★★）已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据待求式的结构，求解即可．【详解】解：因为=-.，；，，所以，故．故选：D.【638】．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测·★★）已知，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【解析】【分析】应用二倍角正余弦公式化简已知条件可得，即可得结果.【详解】，∴.故选：D【639】．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测·★★）已知，则___________.【答案】【解析】【分析】依据题意可知，然后代入计算即可.【详解】由所以则，所以故答案为：【640】．（2022·山西大附中三模·★★）已知，且，则________.【答案】【解析】【分析】利用平方关系求出，再利用二倍角的正弦公式即可得出答案.【详解】解：，，又，，，，.故答案为：.【641】．（2022·山东师范大学附中模拟预测·★★）已知，则________.【答案】【解析】【分析】由已知条件求出所以，利用两角差的正弦展开式可得，再根据三角函数的平方关系和商数关系可得答案.【详解】因为，，所以，所以，所以，，所以，则.故答案为：.【642】．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测·★★★★）已知函数(1)求证：函数在上单调递增；(2)求证：数列的前n项和小于【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先化简整理得到，求导，得到导函数在上大于0恒成立，从而得到在上单调递增；（2）只需证明，结合第一问可知，变形为，故，变形后证明出结论.(1)，，因为，所以，则，而时，，，故函数在上单调递增.(2)要证，即证：当时，且时，，由（1）可知：，即，故，令，故，故，故，因为，，故，所以，，故因为，故，所以当时，且时，.【点睛】导函数证明有关正整数的不等式，要选择合适的函数，研究其单调性和最值，代入合适的自变量，进行证明.【643】．（2018·辽宁大连·一模·★★★）在平面直角坐标系中，已知向量，，.(1)若，求的值；(2)若与的夹角为，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析