专题6.1+反比例函数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第第页专题6.1反比例函数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】反比例函数的定义定义一般地，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的三种形式：；；.特别提醒：形如【知识点二】反比例关系与反比例函数的关系如果,那么x与y这两个量成么反比例关系，这里的x和y可能代表单项式，也可以代表多项式，当x与y只代表一次单项式时，x与y这两个量才成反比例函数关系；成反比例关系不一定是反比例函数关系，但反比例函数中两个变量关系一定是反比例函数关系；反比例函数中两个变量分别为自变量与因变量，但是反比例关系中没有两个变量的区别.【知识点三】反比例函数的表达式（1）确定反比例函数表达式的方法是待定系数法由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对x,y的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定表达式。（2）用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤一设：根据题意,设反比例函数的表达式为二代：把x,y的对应值代入中,得到关于k的方程；三解：解关于k的方程；四写：把k的值代入反比例函数的表达式中即可写出表达式。特别提醒：用待足系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值,解一元一次方程题目中己经明确y是x的反比例函数“或"y与x成反比例关系时可直接谈函数的表达式为【考点一】利用反比例函数的定义识别反比例函数【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知反比例函数．（1）说出比例系数．（2）求当时函数的值．（3）求当时自变量x的值．【答案】（1）比例系数是；（2）；（3）【分析】（1）根据反比例函数的定义可进行求解；（2）把代入函数解析式进行求解即可；（3）把代入函数解析式进行求解即可．（1）解：由反比例函数可知比例系数为；（2）解：把代入得：；（3）解：把代入得：，解得：．【点拨】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，则代数式的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，，从而得到，进一步得到，代入变形后的代数式即可求得．解：反比例函数的图象经过两点，，，∴，，，，，故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知反比例函数，若，则y的取值范围是．【答案】或【分析】先求出x=-2时y的值，根据反比例函数性质得出即可．解：把x=-2代入得：y=-4，∵8＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限，∴当x≥-2时，函数y的取值范围是y≤-4或y＞0，故答案为：y≤-4或y＞0．【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．【考点二】利用反比例函数的关系求反比例函数的表达式【例2】（2022春·九年级课时练习）已知，与成反比例，与成正比例，并且当时，；当时，．求：y关于x的函数解析式．【答案】【分析】首先根据题意，分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．解：设=，=（x+2），∵，∴y=+（x+2），由时，；时，，得，解得，∴y关于x的函数解析式是．【点拨】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求函数解析式，熟记正比例函数及反比例函数的定义，设出函数解析式进行计算是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；时，．求：关于的函数解析式【答案】【分析】设，，得到，将x与y的两组对应值代入得到二元一次方程组，求出解集即可得到答案.解：设，，则，根据题意得：，解得：，则函数解析式是：.【点拨】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求出二元一次方程组的解，正确理解正比例函数与反比例函数的定义并正确计算是解题的关键.【变式2】（2021春·全国·九年级专题练习）已知两个变量x与y之间的对应值如下表，则y与x之间的函数解析式可能是（

）x…12…y…126…A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数的定义即可得．解：由表格可知，，则y与x之间的函数解析式可能是，故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数，熟练掌握定义是解题关键．【考点三】反比例函数的综合题【例3】（2023秋·九年级课时练习）如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．（1）试求出，的值；（2）已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点．①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由．②当与互相垂直时，试求出点的坐标．【答案】（1），；（2）①的面积随点的运动变化没有发生变化，见分析；②【分析】（1）根据题意求得，求得点，待定系数法求得反比例函数的系数即可；（2）①延长交轴于点．设点，则点，，求得，推得点，点，，，根据割补法求得即可；②待定系数法求得直线的解析式为：，根据反比例函数的性质可得点，关于直线对称；根据，求得的值，即可得到点的坐标．（1）解：∵点在函数的图象上，将代入得：，∴点，∵点在函数的图象上，将代入得：；（2）解：①的面积随点的运动变化没有发生变化，理由如下：．

延长交轴于点．设点，则点，．∴∵轴∴点，点．∴，．∴，∴的面积是一个固定值，不会随点的运动变化而变化．②∵点，点，设直线的解析式为：，将代入，解得：，∴直线的解析式为：；∴直线是函数图象的对称轴，又∵，∴点，关于直线对称；∴，∵点，，∴解得：，（不合题意，舍去）；∴点的坐标为．【点拨】本题考查了求反比例函数的系数，三角形的面积公式，求一次函数解析式，反比例函数的性质，两点间距离公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】先把代入反比例函数求出的值，分别过、两点作轴的垂线，，由旋转的性质证明，再设，即可得出的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求的值，确定点坐标．解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、，是双曲线上一点，，反比例函数的解析式为，，，又，，在和中，，，，，设，,,，点在双曲线上，，解得或，或．故选：D．【点拨】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数图象的性质是解答此题的关键．【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形的边与y轴平行，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，若反比例函数的图像与矩形有公共点，则k的值可以是．（写出一个即可）【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B，D两点坐标