2021年中考数学18 新定义题

五年真题一年模拟（原卷版）

专题18新定义题

一、挑选题

1.（2021杭州）设a,b是实数，定义@的一种运算如下:2-（«-Z＞）2,则

下列结论：

口若a@ft=0,贝iJa=0或b=0

Ua@（b+c）=a@b+a@c

口不存在实数见b,满足。@6=4+5炉

口设〃，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当。时，最大.

其中对的是（）

A.nnDB.□□□c.□□□D,□□□

2.（2021湖州）定义：若点P（a,b）在函数y的图象上，将以。为二次项系数,

X

b为一次项系数组织的二次函数产"斗法称为函数了=■!■的一个“派生函数”.例如：点

X

（2,—）在函数y二'的图象上，则函数y=2公+'x称为函数y二一的一个“派

2x2x

生函数现给出以下两个命题：

（1）存在函数的一个“派生函数;其图象的对称轴在y轴的右侧

（2）函数y=，的所有“派生函数、的图象都进过同一点，下列判断对的是（）

x

A.命题（1）与命题（2）都是真命题

B.命题（1）与命题（2）都是假命题

C.命题（1）是假命题，命题（2）是真命题

D.命题（1）是真命题，命题（2）是假命题

3.（2021湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，盛行于天下各地.由边长为2的正

方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试

拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成

的个数分别为（）

A.1和15.1和2C.2和1O.2和2

4.（2021衢州）如图，把一张矩形纸片488按所示方式进行两次折叠，得到等腰直角

三角形BEF,若BC=1,则的长度为（）

5.（2021绍兴）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均一样的矩形绘画作品，将

这些作品排成一个矩形（作品不完全重合），现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，

参加作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在

墙上，如图），若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（）

416张8.18张C.20张0.21张

二、填空题

1.（2021衢州）定义。口6=。（计1）,例如2口3=2、（3+1）=2x4=8.则（x-1）口》的成

果为.

2.（2021金华）对于两个非零实数x,y,定义一种新的运算:x*尸a+b.若1*（-1）=2,

则（-2）*2的值是.

3.（2021湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板由边长为

4人的正方形A8CO可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形

EFG”内拼成如图2所示的“拼搏兔''造型（其中点Q、R分别与图2中的点区G重合,

点P在边硝上），则“拼搏兔”所在正方形EFG”的边长是.

三、解答题

1.（2021湖州）对于随意率性实数。，b,定义关于"区”的一种运算如下：

a®b—2a—b.例如：502=2x5—2=8,（-3）04=2x（—3）-4=—10.

（1）若3（8）x=—2011,求x的值；

（2）若xG）3<5,求x的取值范畴.

2.（2021衢州）定义：如图1,抛物线y=a/+bc+c（aH0）与x轴交于4B两点,点

P在抛物线上（点尸与48两点不重合），参加口/8尸的三边满足AP2+3尸=人笈，

则称点P为抛物线y=ox?+0c+c（。/0）的勾股点.

（1）直接写出抛物线y=-/+1的勾股点的坐标;

（2）如图2,已知抛物线C:y=a—+Ox（axO）与x轴交于z,8两点，点P（l,

V3）是抛物线C的勾股点,求抛物线C的函数表达式;

（3）在（2）的前提下，点0在抛物线C上，求满足前提Sx82利的点

。（异于点尸）的坐标.

3.（2021金丽）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边

称为邻余线.

（1）如图1,在4中,44是力的角平分线，E,F分别为B,4上的点.求证：四

边形4是邻余四边形.

（2）如图2,在5x4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个吻合前提的邻余四

边形4使4是邻余线，E,F在格点上.

（3）如图3,在（1）的前提下，取E中点M,连结。并耽误交4于点Q,耽误E交4于

点M若N为4的中点，B,B,求邻余线4的长.

4.（2021湖州）数学运动课上，某学习小组对有一内角为120。的平行四边形

（□8//>120。）进行探讨：将一块含60。的直角三角板如图放置在平行四边形所

在平面内旋转，且60。角的极点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直

线分别交线段“民于点E,F（不包罗线段的端点）.

（1）初步尝试

如图1,若AD=4B,^iiE：Qr\BCEQDACF,U\AE+AF=AC-,

（2）类比发觉

如图2,若4D=24B,过点C作于点，，求证：）£=22〃；

（3）深入探讨

如图3,若/。=3工民探讨得：酗等的值为常数f,则片.

AC

5.(2021宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个极点引出一条射线与对边订交，极点

与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，参加分得的两个小三角形中有

一个为等腰三角形，另一个.与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美

分割线。

(1)如图1,在EM8C中，CD为角.平分线，口4=40.。，口5=60。，求证:CD为CUSC

的完美分割线；

(2)在W8C中，1/1=48°,CD是口48。的完美分割线，且口力CQ为等腰三角形,

求口/CB的度数；

(3)如图2,口力8c中，AC=2,8c=J5,CO是口力8。的完美分割线，且1/CD是

以8为底边的等腰三角形，求完美分割线CQ的长。

(第25题困)

6.（2021绍兴）参加将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉毗邻，就能构成一个平面图

（1）若固定三根木条”，BC,不动，AB=AD=2cm,BC=5cm,如图，量得第四

根木条C/A5cm,判断此时口8与□。是否相等，并说明来由.

（2）若固定一根木条N8不动，AB=2cm,量得木条CD=5cm,参加木条/O,8c的长

度不变，当点。移到8/的耽误线上时，点C也在8/的耽误线上；当点C移到

的耽误线上时，点/、C、。能构成周长为30cm的三角形，求出木条4）,8c的长

度.

7.（2021台州）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形.

（1）三等角四边形N8CD中，口/=口3=口。，求的取值范畴；

（2）如图，折叠平行四边形纸片OE8F,使极点E,尸分别落在边8及8尸上的点

A,C处，折痕分别为。G,求证：四边形488是三等角四边.形.

（3）三等角四边形/BCQ中，UA=V\.B=UC,若CB=CD=4,则当工。的长为何值时,

的长最大，其最大值是几？并求此时对角线/C的长.

D............「

'''''7H

EGA

8.（2021舟山）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念懂得：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探讨；

如图1,在等邻角四边形"CD中，ODAB=QABC,AD,8c的中垂线恰好交于边

上一点P,连结4C,BD,试探讨/C与8。的数量关系，并说明来由；

（3）应用拓展;

如图2,在RE/8C与RtZl/8。中，DC=nr＞=90°,BC=BD=3,AB=5,将绕着

点N顺时针旋转角a（0。＜3（1＜口历1。得到RtBQ。（如图3）,当凸四边形NZXBC

为等邻角四边形时，求出它的面积.

图1图2图3B,

9.（2021湖州）已知在口/BC中，AC=BC=m,D是48边上的一点，将EL8沿着过

点。的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A,C重合），折痕交BC

边于点E.

(1)特例感知如图1,若C]C=60。，。是的中点，求证:NP、NC；

2

(2)变式求异如图2,若口。=90。，机=6、月，AD=7,过点。作CHLMC于点”,

求。”和/P的长；

(3)化归探讨如图3,若加=10,AB=12,且当力。=。时，存在两次差别的折叠,

使点B落在ZC边上两个差别的位置，请直接写出a的取值范畴.

图1图2图3

10.(2021衢州)问题背景如图1,在正方形4.BCD的内部，作

HDAE=3ABF=UBCG=^CDH,根据三角形全等的前提，易得口为〃口.

UABF^UBCG^UCDH,从而得到四边形E/G”是正方形。

类比研究

如图2,在正口48。的内部，作□A4£HZ!CBE=rL4CRAD,BE,C厂两两订交于

D,E,尸三点(D,E,厂三点不重合)。

(1)QABD,DBCE,口。4/是否全等？参加是，请挑选其中一对进行证明；

(2)UOEF是否为正三角形？请说明来由；

(3)进一步探讨发觉，QABD的三边存在必然的等量关系，设BD=a,

AD^b,AB=c,请探索a,b,。满足的等量关系。

11.（2021宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线订交

所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

（1）如图1,是中□/的遥望角，若EU=a,请用含a的代数式示意□£.

（2）如图2,四边形N8CQ内接于□€）,AD=BD，四边形488的外角平分线。尸

交口O于点尺连结8尸并耽误交CO的耽误线于点E.求证:「3EC是口/BC中8/C的

遥望角.

（3）如图3,在（2）的前提下，连结AF,若/C是口。的直径.

□求力£D的度数；

□若48=8,8=5,求的面积.

图1图2图3

12.（2021衢州）如图1,在平面直角坐标系中，口/8C的极点C分别是直线尸-

Q

§x+4与坐标轴的交点，点3的坐标为（-2,0）,点。是边ZC上的一点，

DEUBC于点、E,点、F在边4B上，且。尸两点关于y轴上的某点成中间对称，连

结OF,££设点。的横坐标为"?，E产为I,请探讨：

口线段EF长度是否有最小值.

□能否成为直角三角形.

小明尝试用“察看-料想-验证-应用”方式进行探讨，请你一路来解决问题.

（1）小明操纵"几何画板''软件进行察看，测量，得至I"随〃，转变的一组对应值，并在

平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）.请你在图2中连线，察看图象特

点并料想/与m大概满足的函数类别.

（2）小明联合图1,发觉应用三角形和函数常识能验证（1）中的料想，请你求出/关

于机的函数表达式及自变量的取值范畴，并求出线段EF长度的最小值.

（3）小明通过察看，推理，发觉ELBEF能成为直角三角形，请你求出当口5£下为直角

三角形时机的值.

图1图2

13.（2021嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片/8C和

尸拼在一路，使点/与点尸重合，点C与点。重合（如图1）,其中口/窈二口力总

=90°,BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,并进行如下研究运动.

运动一：将图1中的纸片。EF沿ZC方向平移，连结NE,8。（如图2）,当点尸与点C

重合时中断平移.

【摸索】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明来由.

【发觉】当纸片。EF平移到某一位置时，小兵发觉四边形“8DE为矩形（如图3）.求

一的长.

运动二：在图3中，取/。的中点O,再将纸片。EF绕点。顺时针方向旋转a度

(0<a<90),连结08,0E(如图4)

【探讨】当E/平分14E。时，探讨。尸与8。的数量关系，并说明来由.

图1图2图3图4

14.（2021绍兴）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰

直角四边形.

（1）如图1,等腰直角四边形/BCD,AB=BC,口/8C=90。.

口若AB=8=1,ABGCD,求对角线8。的长.

Q^ACQBD,求证:4Z）=CQ；

（2）如图2,在矩形ABCD中，AB=5,BC=9,点尸是对角线BD上一点，且

BP=2PD,过点尸作直线分别交边BC于点、E,F,使四边形48/芯是等腰直角四边

形，求AE的长.

15.（2021绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题:

例1等腰三角形A8C中，ZA=110°,求的度数.（答案：35）

例2等腰三角形ABC中，ZA=40°,求£>8的度数.（答案：40'或70°或100）

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式等腰三角形ABC中，NA=8（T,求D3的度数.

（1）请你解答以上的变式题.

（2）解（1）后，小敏发觉，NA的度数差别，得到的度数的个数也大概差别.

参加在等腰三角形43C中，设NA=x。，当£）8有三个差别的度数时，请你探索x的

取值范畴.

16.（2021嘉兴）我们定义:参加一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫

做“等高底''三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”。

（1）概念懂得：

如图1,在AABC中，AC=6,BC=3ZACB^3O0,试判断AA3C是否是“等高底”

三角形，请说明来由.

（2）问题探讨：

如图2,AABC是“等高底”三角形，8C是“等底”，作AABC关于所在直线的对

称图形得到A/YBC,连结A4'交直线于点。.若点3是4=3一5,Z2=l+2i的重

Ar

心，求，的值.

BC

（3）应用拓展：

如图3,已知4〃4,4与4之间的间隔为2.“等高底”AABC的"等底”8c在直线4上，

点A在直线右上，有一边的长是BC的0倍.将AA3c绕点。按顺时针方向旋转

45°得到AA'B'C,AC所在直线交4于点。.求CO的直

17.(2021衢州)定义：在平面直角坐标系中，对于随意率性两点A(a,b),B(c,d),若

点T(x,y)满足xy=—1—,那么称点T是点A,3的融合点.

例如：A(—l,8),5(4,-2),当点T(x,y)满是》=一-1+尸4=1,丁=8空+(-产2)=2时，

则点T(l,2)是点A,5的融合点，

(1)已知点4—1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合

点.

(2)如图，点。(3,0),点EQ,2f+3)是直线/上随意率性一点，点T(x,y)是点0,

E的融合点.

口试确定了与x的关系式.

□若直线ET交x轴于点〃，当△£>7H为直角三角形时，求点E的坐标.

18.（2021绍兴）有一块形状如图的五边形余料AB=AE=6,BC=5,

ZA=ZB=90°,ZC=135°,NE>90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中

一边在AE上，并使所截矩形的面积尽大概大.

（1）若所截矩形材料的一条边是8c或AE,求矩形材料的面积；

（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？参加能，求出这些矩形材料面积的最大

值，参加不能，请说明来由.

模拟题

1.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形.

（1）根据“奇异三角形'’的定义，请你判断命题"等边三角形必然是奇异三角形''是真命

题仍是假命题？

（2）在RSABC中，