高二数学（江苏理科）（新高三）暑期作业复习方法策略讲-第6讲“概率”复习重全国通用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第16讲“概率”复习重在模型概率是高中数学的重要内容,高考对概率的考查，往往以实际问题为背景，重点考查古典概型，几何概型,尤其是相互独立事件和独立重复试验．对概率的复习，要做到审准题意,弄准概型，用准公式．1．明确概念，分清概型．抓住古典概型,几何概型，条件概率，独立重复试验这些基本概型的特征，能根据试验的特点与过程，判断其概率模型，正确运用相应的概率计算公式．古典概型与几何概型是基本的概率模型，前者能一一列举，后者是“连续的”，需用长度、面积或体积度量，至于是用长度、面积还是体积度量，取决于试验的基本事件的变量个数．弄清相互独立事件与独立重复试验的区别．2．把握常见事件，理清关系．把握常见事件的概念，如随机事件，必然事件,不可能事件，基本事件，包含关系,互斥事件，对立事件,相互独立事件．理清相互关系，如必然事件的对立事件是不可能事件；互斥不一定对立，对立一定互斥；若A、B相互独立,则A与B，A与B也相互独立，等等．掌握互斥事件的和事件的概率加法公式，相互独立事件的积事件的概率乘法公式．3．会分解、转化复杂事件．把一个复杂事件表示为几个互斥事件的和事件,或转化为对立事件，是解决概率问题的重要策略．例1已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R。（1)若a是从1，2，3三个数中任意取的一个数，b是从0，1,2三个数中任意取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a是从0,3]内任意取的一个数,b是从0,2]内任意取的一个数，求已知方程有实根的概率;解后反思古典概型往往用列表、图示等方法将基本事件罗列出来,确定事件所包含的基本事件,要有规律地列举基本事件，避免基本事件的“重”和“漏”．对于几何概型，若基本事件对应直线上的点，需用长度度量；若基本事件对应平面内的点，需用面积度量；若基本事件对应空间内的点,需用体积度量。例2两台车床加工同一种机械零件如下表合格品次品总计甲机床加工的零件数35540乙机床加工的零件数501060总计8515100从这100个零件中任取一个零件，求所取零件是甲机床加工的合格品的概率．解后反思在古典概型下,P(B|A)＝eq\f（P（AB）,P（A）)。例3为推行新课程改革，某校决定开设一批选修课程,分别为文学、艺术、竞赛三类,这三类课程所含科目的个数分别占总数的eq\f（1,2)、eq\f（1，4)、eq\f(1,4），现在3名学生独立地从中任选一个科目参加学习．（1)求他们选择的科目所属类别互不相同的概率;（2)记ξ为3人中选择的科目属于文学或竞赛的人数，求ξ＝2的概率．解后反思1．两个事件相互独立是指这两个事件彼此没有影响．独立重复实验是指在相同条件下多次进行，每次实验只有两个结果:A发生或A不发生，每次实验A发生的概率都一样．在例3中，3名学生独立地从中任选一个科目参加学习，可看作3次实验，尽管每次实验都有3个结果：文学、艺术、竞赛，可转化为两个结果：选艺术、不选艺术，每次实验选艺术的概率都是eq\f（1，4）,即为独立重复实验．2．概率计算首先要根据条件分清概型，然后理清事件之间的关系，把随机事件表示为几个互斥事件的和，把每个互斥事件表示为基本事件的积．总结感悟1．求解概率问题时，首先要根据条件定准概型，然后理清事件之间的关系，根据相关公式进行计算;2．概率计算时，往往把一个复杂事件表示为几个互斥的事件的和，或转化为对立事件，然后再把这些事件表示为基本事件的积;3．古典概型往往用列表、图示等方法，将基本事件有规律地罗列出来，避免基本事件的“重”和“漏”．对于几何概型,需用长度、面积或体积度量，度量的“维度”，取决于试验的基本事件的变量个数.4．两个事件相互独立是指这两个事件之间彼此没有影响．独立重复实验是指在相同条件下多次进行，每次实验只有两个结果：A发生或A不发生，每次实验A发生的概率都一样．A级1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．2．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．3．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为________．4．已知P（B｜A）＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2，5）,则P(AB)＝________．5．已知A、B是相互独立事件,且P（A)＝eq\f（1，2），P（B)＝eq\f（2，3），则P(AB）＝________；P（AB)＝________．6．从次品率为0。1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．7．（2016·全国Ⅰ改编）某公司的班车在7:00，8：00，8:30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是________．B级8．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x,y.设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y"，则概率P（B｜A)＝________．9．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为eq\f(1，2)和eq\f（1,3），两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．10．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是eq\f（1,2).则质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为____________．11。如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内"，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分)内”，则(1)P(A）＝________；(2）P（B｜A)＝________．12．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q,他们各投两次,若p＝eq\f(1，2)，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于eq\f（7，36)，则q的值为________．13．某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为eq\f(2，3)，中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为eq\f(2,5），中奖可以获得3分;未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；（2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？

第16讲“概率”复习重在模型题型分析例1解设“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有两个不相等实根"为事件A,“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有实根”为事件B。(1)由题意，得基本事件有9个，它们为(1,0），（1，1），(1，2）,(2，0）,（2，1)，（2,2）,（3，0)，(3,1），(3，2)，其中第一个数表示a的值，第二个数表示b的值．由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－36×4〉0,得a2＋b2>4。可知（1，2），（2，1），（2，2),(3,0)，(3,1），（3,2）满足条件，所以事件A发生的概率为P（A）＝eq\f（6，9)＝eq\f（2，3）;（2）a，b的取值记为（a,b），构成一个矩形区域，如图．构成事件B的区域为{(a,b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a2＋b2≥4}，所以事件B发生的概率为P（B）＝eq\f（2×3－\f(1,4）×π×22,2×3)＝1－eq\f(π,6）.例2解记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A,记“从100个零件中任取一件取得合格品"为事件B。则P(B｜A)＝eq\f(P(AB），P（A))＝eq\f（35,100)÷eq\f(40,100)＝eq\f（35，40)＝0.875.例3解记第i名学生选择的科目属于文学、艺术、竞赛分别为事件Ai、Bi、Ci、i＝1，2，3。由题意知A1A2A3相互独立，B1B2B3相互独立，C1C2C3相互独立，Ai、Bj、Ck(i,j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝eq\f(1,2)，P(Bj)＝eq\f（1,4）,P（Ck)＝eq\f（1，4)。（1）他们选择的项目所属类别互不相同的事件分别为：A1B2C3,A1C2B3,,B1A2C3，B1C2A3,C1A2B3，C1B2A3，则他们选择的科目所属类别互不相同的概率为:P＝P（A1B2C3)＋P（A1C2B3）＋P（B1A2C3)＋P(B1C2A3）＋P（C1A2B3）＋P(C1B2A3）＝6×eq\f（1，2)×eq\f（1,4)×eq\f（1,4）＝eq\f（3,16）.(2）设3名学生中选择的科目属于艺术的人数为η，由已知，得η～B(3，eq\f(1,4)），且ξ＝3－η.所以P(ξ＝2)＝P(η＝1）＝Ceq\o\al（1,3）（eq\f(1,4）)（eq\f(3，4)）2＝eq\f(27，64).线下作业1。eq\f(1，10)解析从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：（1，2,3），(1,2,4)，（1,2，5），(1，3，4)，（1,3，5），（1，4，5)，（2，3,4)，（2，3,5)，（2，4，5)，（3，4，5），其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为eq\f（1，10)。2。eq\f（50,9)解析抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为eq\f(4,6）×eq\f(4，6）＝eq\f（4,9），所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－eq\f（4,9）＝eq\f(5,9）,用X表示10次试验中成功的次数，则X～B（10，eq\f（5,9）),E(X)＝10×eq\f（5,9)＝eq\f（50,9）。3．1－eq\f(π,12)解析如图,三角形ABC的面积为eq\f（1，2)×3×4＝6,离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S＝eq\f(1，2）×π·12＝eq\f（π，2)，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P＝eq\f（6－\f(π,2）,6)＝1－eq\f（π，12)。4.eq\f(2，15)解析P（AB）＝P(B｜A)·P（A）＝eq\f（1，3)×eq\f（2,5)＝eq\f(2，15）。5.eq\f(1,6）eq\f(1,6）解析∵P(A)＝eq\f(1，2),P（B)＝eq\f(2，3），∴P（A）＝eq\f(1，2),P(B）＝eq\f(1，3）。∴P(AB)＝P(A）P（B）＝eq\f（1，2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1，6），P(AB）＝P(A)P（B)＝eq\f（1,2）×eq\f(1,3)＝eq\f（1，6).6．0.0486解析P＝Ceq\o\al(2,4)（0.1）2(1－0.1)2＝0。0486。7.eq\f（1,2)解析如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝eq\f（10＋10，40）＝eq\f（1,2）。8.eq\f（1，3)解析由题意知P（A）＝P(x是偶数)·P(y是偶数）＋P(x是奇数）·P（y是奇数)＝eq\f（1,2）×eq\f（1,2)＋eq\f(1,2）×eq\f(1,2）＝eq\f(1,2).记事件AB表示“x＋y为偶数,x,y中有偶数，且x≠y”即“x、y都是偶数且x≠y”，所以P（AB）＝eq\f(1,6），故P（B|A）＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f（1，3)。9。eq\f（1，2)解析设事件A表示“甲通过听力测试"，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P（A）＝eq\f（1,2)，P（B)＝eq\f(1，3).记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝（AB)∪(AB)，且AB和AB互斥．故P(C）＝P(AB)∪P(AB）＝P（AB)＋P(AB）＝P（A)P(B)＋P（A）P（B）＝eq\f(1，2)×(1－eq\f（1，3）)＋（1－eq\f(1,2))×eq\f（1，3）＝eq\f（1,2）。10.eq\f（5，16)解析质点每次只能向上或向右移动,且概率均为eq\f(1，2),所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P移动5次后位于点（2,3）的概率为Ceq\o\al（2,5)（eq\f（1,2))2(eq\f（1，2))3＝Ceq\o\al（2，5）（eq\f(1，2)）5＝eq\f(5,16)。11．(1）eq\f（2,π)（2)eq\f（1,4）解析（1)由题意可得,事件A发生的概率P（A）＝eq\f(S正方形EFGH,S圆O)＝eq\f（\r（2）×\r（2）,π×12）＝eq\f(2，π).(2)事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P（AB)＝eq\f（S△EOH，S圆O)＝eq\f（\f（1,2)×12,π×12）＝eq\f（1，2π)。故P(B|A）＝eq\f(P（AB),P（A））＝eq\f(\f(1，2π)，\f（2，π））＝eq\f(1,4).12。eq\f（2,3）解析所有可能情形有:甲投中1次，乙投中0次；甲投中2次，乙投中1次或0次．依题意有：Ceq\o\al（1，2)p(1－p）·Ceq\o\al(0，2）（1－q)2＋Ceq\o\al(2,2)p2Ceq\o\al(0，2）（1－q)2＋Ceq\o\al（1,2）q（1－q)］＝eq\f（7,36)，解得q＝eq\f（2，3）或q＝eq\f(10,3)(舍去)．13．解方法一（1)由已知得,小明中奖的概率为eq\f（2,3），小红中奖的概率为eq\f（2,5)，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5"，因为P(X＝5）＝eq\f(2，3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4，15)，所以P(A）＝1－P（X＝5）＝eq\f（11，15)，即这2人的累计得分X≤3的概率为eq\f（11,15）。(2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E（2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E（3X2）．由已知可得，X1～B（2,eq\f(2,3)）,X2～B(2,eq\f(2,5)），所以E(X1)＝2×eq\f(2,3）＝eq\f（4，3),E（X2)＝2×eq\f(2，5）＝eq\f(4,5)，从而E（2X1）＝