2025北京北师大实验中学高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京北师大实验中学高二（上）期中数学考生须知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答.命题人：屈伸审题人：黎栋材，刘丹，贺博第I卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.过点、的直线的斜率为（）A. B. C.1 D.22.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.设向量，，则与，共面的向量的坐标可以是（）A. B. C. D.4.如图，棱长为1的正方体中，（）A.0 B.1 C. D.25.已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（）A. B. C.4 D.6.如图，三棱柱中，记向量，，，则（）A. B. C. D.7.空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知过原点且倾斜角为的直线与直线交于点，则当在上变化时，点的轨迹长度为（）A. B.2 C.3 D.9.设为坐标原点，若对于圆上的任意两点，均有，则的最大值为（）A.1 B. C. D.210.已知某圆锥的底面半径为2，高为，为该圆锥的顶点，点，，在其底面圆周上，记平面，，与底面所成角的大小分别为，，，若，，则（）A.30° B.45° C.60° D.90°二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若直线与平行，则____________.12.单位向量，，满足，，，则____________.13.双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则____________.14.如图，三棱锥中，平面，，，，，设为棱上的一个动点，记与平面所成角为.①当与重合时，___________；②的最大值为____________.15.平面直角坐标系中，圆.给出下列四个结论：①对于任意，均存在，使得圆在轴的上方；②对于任意，均存在，使得圆经过点；③若存在，使得圆经过点，则；④若直线与圆相切于点，且，则.其中所有正确结论的序号为____________.三、解答题（本大题共3小题，共35分）16.已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若，求，的值.17.如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.18.已知圆的半径为1.（1）求的值；（2）设直线与圆交于，两点，若（为圆心）为锐角，求的取值范围.第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）19.若直线过点且与直线垂直，则的方程为___________.20.某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为_____________.21.如图，在正四棱柱中，，，，，设直线与所成角的大小为.①当时，___________；②若，则的取值范围是____________.22.椭圆的左顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径作圆，设点在椭圆上，且线段的中点在圆上.①若，，则的面积为____________；②若线段的中点也在圆上，则椭圆离心率为_____________.五、解答题（本大题共3小题，共34分）23.已知直线，相互垂直，且均过点，设，与轴分别交于点，（，分别在轴的正、负半轴上），若的面积为5，求，的方程.24.如图，多面体中，正方形的边长为2，，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设为的中点，，分别在，上，且平面平面，求的长.25.平面直角坐标系中，，为不同两点，为线段的中点，若点满足，则称为，的“相关点”.（1）设，，若点是，的“相关点”，求的值；（2）对于，设，，若坐标轴上不存在，的“相关点”，求的所有可能取值；（3）设，，已知曲线，若对于任意，曲线上均存在，的“相关点”，求的取值范围.

参考答案第I卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案DACBCAADBD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】直线与平行，则，解得，经检验，当时，两直线不重合，故.故答案为：.12.【答案】因为，，，，所以，，，所以.故答案为：.13.【答案】由题可得，又，所以，所以.故答案为：214.【答案】过A作交于点，连接，因为平面，平面，所以，所以当与重合时，与平面所成角满足；当在棱上运动时，因为平面，所以即为与平面所成角且，所以，所以当取得最大值时，取得最大值，则取得最小值为，,,,平面中，所以平面,平面,所以,所以，所以.所以最大值为，所以取得最大值为.故答案为：；15.【答案】由圆可得：圆心，半径，当时，圆心，此时圆恒在轴的下方，所以不满足任意，均存在，使得圆在轴的上方，故①错误；由圆经过点可得：，化简得：，所以对任意的均存在，故②正确；由圆经过原点可得：，化简得：，由解得：，故③正确；由直线与圆相切可得：，再由可得：，整体代入得：，故④正确；故答案为：②③④三、解答题（本大题共3小题，共35分）16.【答案】（1）由题可得，，又，所以，解得；（2）由题可得，又，，则，所以，解得.17.【答案】（1）在直三棱柱中，四边形为矩形，又因为，分别为，的中点，所以,且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则平面的一个法向量，由题意知平面的法向量为，所以，所以二面角的余弦值为.（3）由（2）知,平面的一个法向量所以点到平面的距离.18.【答案】（1）圆化为标准方程为，由圆的半径为1可得，解得；（2）设，与圆联立，可得，得，则，，由，可得，，若为锐角，可得，则，整理得，解得或，又，所以的取值范围是．第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）19.【答案】因为直线与直线垂直，所以设直线的方程为，将点代入得：所以直线的方程为.故答案为：.20.【答案】公路上的两点，，则，所以直线，则直线上一点，由可得：，解得，故车站的坐标为.故答案为：.21.【答案】由题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，所以，，，①当时，，②当时，，所以，化简得，解得：.故答案为：；.22.【答案】因，则，，，圆的圆心为，半径.点在椭圆上，满足椭圆方程：①，的中点在圆上，则得，整理得②.联立①与②，解得：或，即得或，于是，.因离心率，则，，圆，点在椭圆上，满足椭圆方程：，因的中点在圆上，则有，（1）又的中点也在圆上，则有，即，（2）联立（1）和（2）解得，将代入可得，再将其代入到圆，可得，整理得：，再把代入椭圆方程得：，化简得：，即.解得：或或.又因为，故.故答案为：；五、解答题（本大题共3小题，共34分）23.【答案】由题可知，直线，的斜率均存在，设，则，所以，且，解得，则，整理得，解得或，由得，所以的方程为，的方程为.24.【答案】（1）正方形中，,又，平面,,所以平面,又平面,所以.在中，，，,则,则,所以，即,又平面,,所以平面,又平面,所以.（2）由（1）以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则,所以,设平面的法向量，则,即，令，得，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为（3）为的中点，则其坐标为，又平面平面，平面平面,平面平面,则,设，,则，所以,设平面的法向量，则,即，令，得则，又平面平面，所以，则，此时,故.25.【答案】（1）由题意知：，.则，解得：.（2）因为设，，所以若是，的“相关点”，则有所以，化简得：,当时，若使关于的方程无解，则，故，当时，若使关于的方程无解，故，即，故，故当时等号成立，意义，故或