小学几何解题全套43大定理

几何解题定理库数学高手解题定理库 3定理1共边模型 3定理2鸟头模型 10定理3蝴蝶模型 17定理4燕尾模型 25定理5沙漏模型 36定理6梅涅劳斯定理（梅氏线） 48定理7塞瓦定理（赛瓦点） 52定理8格点面积公式（皮克公式） 54定理9构造新底新高巧求面积（万底公式） 55定理10阿基米德折弦定理 56定理11圆幂定理 65定理12巴布斯定理（中线定理） 67定理13斯库顿定理 68定理14费马点 69定理16古堡朝圣问题 75定理17四点共圆 78定理18阿波罗尼定理 83定理19三角形中线长定理 84定理20广义勾股定理 85定理21三角形高线长定理 86定理22三角形内、外角平分线模型、角平分线长定理 87定理23托勒密定理 88定理24清宫定理 91定理25西姆松定理（西姆松线） 92定理26九点圆 93定理27莫利定理（摩莱三角形） 94定理28蝴蝶定理 95定理29正弦定理、余弦定理 97定理30斯特瓦尔特（Stewart）定理 99定理31欧拉（Euler）线 102定理32欧拉（Euler）定理 106定理33海伦公式 107定理34密格尔（Miquel）点 108定理35葛尔刚（Gergonne）点 109定理36帕普斯（Pappus）定理 110定理37笛沙格（Desargues）定理 111定理38帕斯卡（Paskal）定理 112定理39阿波罗尼斯（Apollonius）圆 113定理40布拉美古塔（Brahmagupta）定理 114定理41张角定理 115定理42鸡爪定理 116定理43牛顿线定理 1171共边模型等积模型共边模型一半模型燕尾模型ABCD10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？原图 图11GCABCD图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，H是任意点。如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 。解析：S1S

1S3 3BCH 3

6正方形SABH

SCDH

3

S2

2

S2

1S6

正方形S阴影

S2S3

3

48如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是 。解析：S阴影SF5SIBF5SJCFSIBF101101010240⑴如图，ABFECDEFAB4BC3原图 图2解析：2是原图的等效图：

4362⑵一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21c解析：根据一半模型得：黄色与绿色面积和占整个长方形面积的一半。S长方形

2150%15%

60cm2如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2。长方形EFGH的面积为 。EFGH的面积为ΔDEF2倍.S阴影S正方形SADESBEFSDF361631491262216.5

2 2 2 2 如图，已知BD＝DC，EC＝2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积。 解析：设SCDF

x,S

y，则S

BDF

x,S

AEF

1y2SSBCE

2xy230203 3SACDx2y

1301522x3y302x3y30x7.5S

xy12.5y5 阴影2鸟头模型精点1. 鸟头定理（共角定理）模型几何模型概述两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形结论及证明结论：SADESABCADAEAB ACADAE 小小夹角两边： ABAC 大大证明：SABCSADE1ABCG2 1ADEF2ABAD1EFABAD1AEACABACADAEABC180DBCADAE3EFBF3AEF【分析】鸟头定理或共边模型22.5cm2S 3S

311S

1S 18022.5cm2AEF 4ABE

4 3ABD

4 3

ABC

8ABC 8如图，在∠MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于 .【分析】比例模型3【答案】4【解答】由题意得：SOCDSOABSABCSBCD3S S S 4 OD4OD4DFSODC4ODESOEF

SODE

CDE3SDEF53

OF 5

SDCFSDCF

4

ODC4如DDBE＝＝C已阴部分积为5平厘△BC的积 方厘米。【分析】鸟头模型【答案】30平方厘米【解答】SADE

ADAE111SABCSADFSABC

ABACADAFABAC

2 32

611 3

S 1S 5S 30阴影 6ABC ABC⑴如图在△ABC中，D、EAB，ACAD∶AB=2∶5，AE∶AC=4∶7，△ADE的16平方厘米，求△ABC的面积。【分析】鸟头模型【答案】70【解答】SADE

ADAE248头 SABC

ABAC 5 7 35即16SABC

8，即S35

ABC

70ABCDABBABCCBCDDCDAAD（如下图所示）ABCD1ABCD的面积为多少？【分析】鸟头模型【答案】5【解答】连接BD，根据鸟头模型，可得SAA'D'12SABD2SABDS

2SSCC'B'

12S

CC'B'

四边形ABCDACSDC'D'SBA'B'2S四边形ABCDS 'S '''四边形ABCD

5S四边形ABCD5面积是12平方厘米，求△ABC的面积。【分析】鸟头模型【答案】50【解答】嘴SADE

ADAE236头SABC SABC

ABAC 5 5 25即12SABC

6，即S25

ABC

50已知△DEF7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积。【分析】鸟头模型【答案】24【解答】SBDE

BDBE111SABC

ABBC 3 2 6SADF6

ADAF121SDEF

11137S

7

24SABC

ABAC 4

68S 68S

6 6 8

ABC 7SCEF

CECF313 24SABC

BCAC 4 2 一只小鸟ABC，后来长成大鸟XYZ了。AB先长出一倍到X；BC再长出两倍到Y；CA再长出三倍到Z；问大鸟是小鸟面积的几倍?【分析】鸟头模型【答案】18倍【解答】SABC

BCAB111S

3S SBXY

BYBX 31

BXY

ABCSABC

BCAC111S

8S

S 6S

18SSCYZ

CYCZ 2 4

XYZ

ABC

ABC

ABC

ABC

ABCSABC

ABAC111S

6SSAXZ

AXAZ 2 3

AXZ

ABC长方形ABCD120，EFADG、H、IDC四等分点，阴影面积是多大？【分析】比例模型【答案】15【解答】

1 1 3 1S阴影S1S23SADI

34SACD

60154如右图，过平行四边形ABCDEF、GH，若△PBD8求平行四边形PHCFPGAE【分析】“都增加一个定量”【答案】16【解答】S四边形PBCDS四边形ABPD16SPHCFSAEPG163蝴蝶模型几何模型概述任意四边形中的比例关系梯形中比例关系结论及证明S1 S4 DO（1） .S2 S3 OBS2S1AO.S3 S4 OC（2） S1S3S2S4.AO S1S2（3） .OC S3S4BOS2S3.OD S1S4S a2（1） 1 .S b23（2） S：S：S：Sa2:b2:ab:ab.1 3 2 4ab ab（） S2S4a2b22abS梯形ab2S梯形证明：S3CObSaS.S OA a 2 b32S b2 a23 S S.S a2 1 b2 312S:S:S:SaS:S:aS:aS1 3 2 4 b2 3 3b3b 3a2:b2:ab:ab.（） S的对应份数为ab2.如下图所示，在梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC，BD相交于点O.已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD4OAB【分析】蝴蝶模型25【答案】16【解答】

a2:b2:ab:ab1 2 3 4b2

b 2

52 25S3a2b2ababSab

S 35

416 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC2平方千米，△COD36.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】共边模型【答案】0.58平方千米【解答】BOSAOB

SBOC

2S

1.5平方千米S

1.50.920.58平方千米CD

AOD

SCOD 3

AOD

人工湖如下图，梯形ABCDABCD，对角线AC，BDO，已知△AOB与△BOC2535ABCD【分析】蝴蝶定理【答案】144【解答】SAODSBOC35由共边模型得，AOSAOB

255OC SBOC

35 7同理可得：AOSAOD

5

35

144OC S

7 SCOD

COD如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米。【分析】蝴蝶模型、一半模型【答案】9【解答】S EO2 2 EO2

EO 1根据蝴蝶模型：EOF

,所以 SCOD

OC

8 OC

OC 2根据比例模型：SEOFEO1,即S 4SCOF

OC

COFSDOESCOF4SADES四边形ADOESDOE54112S矩形ABCDSADESCEFSBCF即1216SBCFSBCF5如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为 。【分析】蝴蝶模型【答案】16【解答】S1三角形1的面积，S3三角形3的面积S1S336 S1S3

4S55 3

SS11S1

5S41

36S1

16如图所示，BD、CFABCD4DEF5CED10平方厘米。问：四边形ABEF【分析】蝴蝶模型、一半模型【答案】25【解答】SBEFSCDE10EFSDEF

51,CE SCDE

10 2EFSBEF

1 10

20CE

1

2 SBCE

BCE2S矩形ABCDSCDFSABF201015SABFSABF15S四边形ABEFSABFSBEF151025举一反三：如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面6【分析】蝴蝶模型【答案】11平行四面形ABCDAC、BDO。E是ADFABCEBDM，CFBDN【分析】比例模型1【答案】3【解答】连接OE、OFON易证：NB

OM1MD 2ODOBOMON,即MN1BD3S

11S

1SMNC 3BCD

3 2平行四边形

6平行四边形S阴影

3

平行四边形如下图，在梯形ABCDCDCD＝2AB，点E、FADBC四边形EMFN54ABCD 【分析】蝴蝶模型【答案】210【解答】

2 9a2AB a 2

Sb

4

9S

3 3a32a3a

1 ab2， 32

ABFE

25a249

ABFE 25

ABFEEF

2 32a

SS2a3a

a22 2223a2a2

a24 49a24

9SEFCD 49

EFCD2 2S h 5

ABFESEFCD

2 2a3a 7 2 h22SABFE5kSEFCD7k9 9S1S2255k497k54kk5 7

6k35235S梯形ABCD5k7k12k122

2104燕尾模型结论：SACESBCE结论：

ADBD证法一1ADEHSADE

2 AD

证法（二）SBDE

1BDEH BD2

1BD1BD

h1 SACE

SADESADC2

1 2AD又SADESBDEDEAF2 AF1DEBG BG2

SBCE

SBDE

SBDC

BDh1h22AFBG

ADBD

1CEAF又SACE

2 AFSBCE

1CEBG BG2SBCE

ADBD典例1如下图所示，在△ABC中，E是BC上一点，E:C1，D是AE的中点，F是直线D与AC的交点，则AF:FC . 【分析】燕尾模型【答案】342个燕尾SABD

BE3SACD

EC 1SABD3x，SACDxSBDE3x，SCDExAFSABD3FC SBCD 4典例2如下图所示，在△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影三角形面积的 倍.【分析】燕尾模型【答案】7【解答】SABH

12SACH 2SABH2SBCH 1

4SBCH:SABH:SACH

1:2:4SABH

2S7ABC同理可证：SACG

SBCI

7

ABCSGHI

7

ABC即SABC7SGHI3GAG、BG、CGBC、AC、AB边于点D，E，F.若三角形AFG，CEG，BDG，CDG之面积分别为126，280，270，360.请问三角形ABC之面积为多少？【分析】燕尾模型【答案】1365【解答】126x2703 280y126x270360

360 y280

4126x

y140x1899y4SABC2703602801891401261365典例4在下图中，三角形ABC是直角三角形，已知AB=BC=14且BE=BD=6，请问图中阴影部分的面积是多少？【分析】燕尾模型196【答案】5【解答】SABF

63SACFS

8 4

S :S :S 3:3:4S 4S ABF BCF ACF 阴影 10 ABC

1414

196

63

5 2 5SACF

8 4典例5下面两幅图中，一个是风筝模型，一个是燕尾模型，我们来看看它们之间有什么联系。已知在下面两幅图中，△ABD15，△ACD20，△CDE10BDE的面积。【分析】比例模型【答案】7.5；7.5【解答】（1）

15SBDES

7.520

BDE（2）

15SBDES

7.520

BDE6BD=3DC,EC=2AE,BEADO,则△ABC4部分面积各占△ABC面积的几分之几？ 【分析】燕尾模型1360【解答】

SAOB

3S10

ABC SAOB

1 3 6 3 SBOC

26

SBOC10

SABC

5SABC SAOB3SAOC 1

SBODS S 3S

4SBOC

34 3

SABC

9SABC920又S

AOC

1S10

OCD 20ABC ABCS 11S 1SAOE

310

ABC

30ABCSOECD

1310

9120

13607ABC1，BD=2DC，CE=2AE，ADBEF4部分的面积各是多少? 【分析】燕尾模型27【解答】SABF2

SABF

2SACF 1

S2 2

7

2 248SABFSBCF

12

4

SBCF

47

SBDF

3 7 21S 1S

111S

212ACF 7

AEF

3 7

3 7 21SCEFD

421

2221 78如图，△ABC中，BD:DC=2:3，AE:EC=5:3,AF:FB=?【分析】燕尾模型52【解答】SABG

210SACGSABGSBCG

353

15S106

:SABG

:SACG

6:10:15SBCG

6S31

ABC

AFSACG

15315SACG

1531SABC

SBCG 6 2319如图在ABCDCDB

EAEC

FBFA

1，求2

GHI的面积ABC的面积

的值。 【分析】燕尾模型17BGSABG

24SACG 1SACG2SBCG 1

2 2S 7S 7同理可证：S

ABH

SBCI

SACG

7

ABCSGHI

7

ABCSGHI1SABC 71如图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积.【分析】燕尾模型【答案】19BG略10如图，△ABC中，GAC的中点，D、E、F是边上的四等分点，ADBGM，AF与BGN，已知△AMN1，求△ABC的面积.【分析】燕尾模型358【解答】MSABM

1S5ABC3NSABN7SABCSAMN

3181SABC 71SABC835

5 35358【挑战题】如图，三角形ABC的面积是1，BD=DE=EC，CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，请求出中心四边形的面积.【分析】燕尾模型970【解答】 H为结点，易算出S3K为结点，易算出S3

ABH512ABK712SAHK

7

35;SAGK

1213 7 212I为结点，易算出SABI7SBIH

217

35;SBDI313

1213 7 21J为结点，易算出SABJ2SHIJK

113392 5 35 35 705沙漏模型沙漏模型OECDOF ABOEOE CDEF h ABCD平行线分线段成比例定理lll

，如图所示，求证：ABEF1 2 3

BC DE证明：SABESBEFSBCESBDESABESBCE

SBEFSBDE1ABEG2 1BCEG2ABEF

1EFBH2 1DEBH2BC DE引申：求证ACDFBC DEAB1EF1BC DEABBCEFDEBC DEACDFBC DEAB EF同理可证： ,AC DF：，，上上上下下下下全全全全：，，平行线分线段成比例定理推导AB已知，ACF中，BECF,求证：BC

AEEF解析：从运动变化角度证明沙漏模型推导证明：易证AGIJAJIGCI

CIBCLMAJAJCI

IG AB KLKLLMKLh

AJCIAJ15242个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【分析】要求最大三角形的面积是多少，先求出较大的两个三角形的面积是多少，较大的两个三角形的面积和是526739平方厘米；根据三角形等高，面积比即三角形底边的比，然后根据按比例分配知识进行解答即可.【答案】21公顷【解答】左下角两个较小的三角形的面积比为6:7，因为这两个三角形等高，所以底边的比也为6:7，所以75267

21公顷典例2四边形ABDCEGF与CD相交于H,已知CH:H=12,

SBCH

6,ABEFD【分析】考察沙漏模型、蝴蝶模型【答案】3【解答】SGHFSBCH6SBDHSDFH

SBCGSCFH

6

6SCFHSCFHSCDF

363916CE2CE3SABEFD

3663949.523ABCD10EADF为CEGBF中BDG的面积．【分析】考察比例模型【答案】6.25cm2【解答】S 阴 2

BDF

1S2

SBCF

SCDF

1S

2

2

CDE1502512.56.25cm224ABCD120平方厘米，EAB的中点，FBC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？【分析】沙漏模型【答案】14CEDAM点S CF2 12 1

SDHM

DM

4 16CFFH

1S

11606DM HD

5DCF 5 2如图，S

23324

212020S12

BGHF

206145DBC的中点，ECD的中点，FACADG的面积比EFG6ABC的面积是多少？【分析】比例模型48cm2【解答】E是CD的中点，F是AC的中点SADESACESDEFSCEFSAEFSDEFSADE设S

12x,即x

1x6S

12S

1248cm2DEF

x6 2

ADE

ABC 14典例6如下图所示，将边长8厘米和12厘米的两个长方形并放在一起，那么图形中阴影三角形的面积是 平方厘米.【分析】沙漏模型216【答案】5【解答】h1123h2

812

23

365S 11236216阴2 5 5【挑战题】7如图，ABCD72平方厘米，E、FAB、BC的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米? 【分析】沙漏模型【答案】48【解答】M、NAC72SADC72236平方厘米，SADM

SDMN

SDNC

3

ADC

13612平方厘米3SAEM

SNFC

2

ADM

1126平方厘米272126648平方厘米8ABCDE，FBC、CDABCD60，求阴影部分面积.G、HBD的三等分点，SAHG

1S3

ABD

1S6

109ABCFABAF=2FBEBCD是平行四边形，那么FD:EFBEF1ABC的面积是多少？FD AF由沙漏模型得 2EF FBSADF4SADF

AFAD4SABC

AB AC 9SABC9习题如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少？ABCD4FC=10

148如图，DE平行BC,若AD:DB=2:3，那么SADE:SECB .由金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2：(2+3)=2：5，SADE:SABC22:524:25,SADE4SABC25SBEC255315份，SADESECB4151右图中正方形的面积为1，E、FAB、BD的中点，GC=3

FC，求阴影部分的面积。 FHBCH，GIBCI。CI:CH=CG:CF=1：3，CH=HBCI:CB=1:6，BI:BC=（6-1）：6=5:6，SBGE

1155.2 2 6 24ABCD4，FBC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC=1：3，AFBEGSABG.法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，AB:CM=BF:FC=1：1CM=4，据题意有CE=3，再据沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7，SABG

4

,SABE

444232.11 11AE,EF，SABF4224,SAEF4441232247,SABFSAEFBGGE47,SABG

4

,SABE

444232.11 11ABCD中，EAD的中点，AFBE、BDG、H，OEADE，AFOAH=5cm，HF=3cmAG.由于AB平行DF，利用沙漏模型可得AB:DF=AH:HE=5：3，EADOE:FD=1:2，3AB:OE=5：2

=10：3，利用沙漏模型可以得到AG：GO=AB:OE=10：3，1AO=2

1534(cm)，2AG=41013

4013

(cm)。

ABC

DEFGMNPQBCAD=DF=FM=MP=PB ADE AFG SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP: ADE AFG 设S 1份，S :S AD2:AF21:4，因此S 4份，进而有S四边形DEFG3S四边形FGNM5S四边形MNQP7S四边形PQCB9份。SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB1:3:5:7:9如图:MNBCSMPN:SBCP49，AM=4cmBM的长度.SMPN:SBCP49MN:BC=2：3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2：3AM=4cm，AB=4236cmBM=6-4=2cm如图在ABCDEFG，G、FBC上，D、EAB，AC上，AH是ABC边BC的高，交DEM，DG:DE=1:2，BC=12厘米，AH=8厘米，求长方形的长和宽。1、观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEAD,DGBC ABAH

BDAB

DE DG,所以有BC AH

ADBDAB

1，设DG=x，则DE=2x，2x 所以有12

1x

24,2x7

48 ，因此长方形的长和宽分别是7 7

24厘米，7

厘米。ABCD中，EF=16，FG=9AG的长。DGDABE，根据沙漏模型性质知GB

AG,GEDFABDGFG,FGAG,AG2GEFG25922515,

GB GA

GA GE6梅涅劳斯定理（梅氏线）、E、FD、E、F均不是ABC的顶点，则有ADBECFDB EC

1．证明CABEFG．CGAB，所以

CF

————（1）AD FACG ECAB，所以

————（2）DB BEDBBECF ADBECF1由（1）÷（2）可得AD EC FA，即得DB EC FA ．注再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在ABCAB、BCD、EACF，若ADBECFDB EC

1，那么，D、E、F三点共线．证明EFABD/，则据梅涅劳斯定理有AD/BECF1．D/B EC FAADBECF1

/ADAD因为DB EC

，所以有DB D/B．由于点ABDD/D、E、F三点共线．注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．7塞瓦定理（赛瓦点）塞瓦定理及其证明定理：在ABCP，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABCAB、BC、CAD、E、FD、E、F三点均不是ABC的顶点，则有ADBECFDB EC

1．AD

SADP

SADCDB S 证明DB S BDP

．BDC根据等比定理有SADP

SADCSADC

SADPSAPCSBDP

SBDC

BDC

SBDP

，BPCAD DB 所以DB BPC

BE．同理可得EC

SAPBSAPC

，CFSBPC．FA SAPBADBECFDB EC FA

1．注样就可以产生出“边之比”．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在ABCAB、BC、CAD、E、FD、E、F均不是ABC的顶点，若线共点．

CFDB EC

1CD、AE、BF三证明AEBFPCPAB于AD/BECFD/B EC

1．

/ADAD因为DB EC

所以有DB D/B．由于ABDD/D、E、F三点共线．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．8格点面积公式（皮克公式）9构造新底新高巧求面积（万底公式）10阿基米德折弦定理问题：已知M为的中点，B为上任意一点，且MDBC于D.求证：ABBDDC证法一：(补短法)如图：延长DB至F，使BF=BA ∵M为 的中点 ∴AM=MC,∴∠MAC=∠MCA---① 又∵ , ∴MC=MA 又∵∠MBC+∠MBF=180---③ 由M,B,A,C四点共圆 ∴∠MCA+∠MBA=180---④MBA=∠MBF在△MBFMBABFBAMBAMBF∴△MBF△MBA(SAS) ∴MF=MA,又∵MC=MA ∴MF=MCMBMB又∵MD⊥CF ∴DF=DC ∴FB+BD=DC 又∵BF=BA∴AB+BD=DC（证毕）证法二：（截长法）如图：在CD上截取DB=DG ∵MD⊥BG ∴MB=MG ∴∠MBG=∠MGB---①又∵ ，∴∠MBG=∠MAC 又∵∠MAC=∠MCA (已证)，∴∠MBG=∠MCA---② 由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCG而∠MGB=∠GMC+∠MCG∴∠GMC=∠BCA 又∵ ,∴∠BMA=∠BCAMBMG∴∠BMA=∠GMC,在△MBA与△MGC中BMAGMCMAMC

∴△BMA△GMC(SAS)∴AB=GC,∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(证毕)证法三：（翻折）MB,MC,MA,AC,将△BAMBMAEME,BE∵△MBA与△MBE关于BM对称，所以△MBE≌MBA ∴MA=ME, 又∵MA=MC,∴ME=MC, 又∵M,B,A,C四点共圆，∴∠MBA+∠MCA=180---②又∵MA=MC(已证)∴∠MAC=∠MCA又∵ ，∴∠MBC=∠MAC ∴∠MBC=∠MCA---③由①②③得:∠MBC+∠MBE=180∴E,B,C三点共线。又∵ME=MC,MD⊥CE∴DE=DCEB+BD=DCMBE≌MBA∴AB=EBAB+BD=DC(证毕)证法四：MB,MA,MC,AC,AB,MMH⊥ABH,∵M为 的中点 ∴AM=MC, 又∵,∴∠HAM=∠DCMMHAMDC又∵∠MHA=∠MDC=90 ∴在△MHA与△MDC中HAMDCMMCMA∴△MHA≌△MDCAAS) ∴CD=AH---① MD=MH RT△MHBRT△MDB中MHMDMBMB

∴△MDB≌△MHB(HL)∴BD=BH 又∵AH=AB+BH, ∴AH=AB+BD-②由①②可得DC=AB+BD (证毕)反思：在平时数学教学活动中，尤其是几何学的教学，它可以让觉得数学课枯燥无味的学生顿时感兴趣，更是师生互动的一个很好的媒体。老师与学生一起想办法，也是一种数学情感的体现。在圆这一章节，很多学生反映难学，难在辅助线多，方法多，同一个问题灵活多变，不同的出发点会得到不同的解题方法。本题就是一个很好的例子。对于一个著名的平面几何定理，我们的证明也仅仅是使用了非常常见的“截长补短”，“对称变换”等方法。在以后的几何教学过程中多总结出一些通用，常见的解题方法这会让学生受益匪浅的，万变不离其宗，才是数学的特点。阿基米德折弦定理例题：如图，C是o的两条弦（C是o的一条折弦），BCAB,MC的中点，过点M作MDBC垂足为D，求证：CD=AB+BD.(阿基米德折弦定理）变式训练如图，已知等边三角形ABC内接于o，AB2,点D为弧AC上一点,ABD45AEBDE,求BDC的周长。如图，在o中BC,D上一动点（DCB重合）ABCBAC=120,(1)若AC=4,求o的半径（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。 已知：如图1，在o中，C是劣弧AB的中点，直线CDAB于E,易证得：AE=BE,从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。如图2，PA、PB组成o的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CDPA于E,求证：AE=PE+PB如图3，PA、PB组成o的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CDPA于E,则AE、PE、PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明。图1 图2 图3内接于oCC,点DCD2CCCD.11圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2C、D（可重合）PA·PB=PC·PD。12巴布斯定理（中线定理）13斯库顿定理14费马点【问题12】“费马点”做法图形原理在△ACP+BPC值最小AB、AC为边向外作等边三角形P，点P求两点之间线段最短，PA+PB+PCCD长破解策略费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点。这个最小距离叫做费马距离。若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点。若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点。如图，∆ABC中，∠BAC≥120°，则钝角的顶点即为该三角形的费马点。证明：如图，在∆ABCPBACAC=AC’,作CAPCAP,并且使得AP’=APPP’。则APCAPC.因为∠BAC≥120°，PAP中，AP≥PP’,所以PAPBPCPPPBPC＞BCABAC,AABC若三角形三个内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点。如图，△ABC中，三个内角均小于120°，分别以AB,AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABCOOABC证明：在∆ABCOOA,OB,OC。将△AOCA60°，得到△AO'D,连接OO',则O'D=OC.所以△AOO'为等边三角形，OO'=AO，所以OA+OB+OC=OO'+0B+0'D,则当点B,O,O',D四点共线时，OA+OB+OC最小，此时∠AOB=∠A0C=∠B0C=120°，即以AB,AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O。如图，△ABC中，若∠BAC,∠ABC,∠ACB的度数均小于120°，O为费马点，则有∠AOB=∠BOC=∠COA=120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。例题讲解例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-6，0），点B的坐标为（6，0），点C1的坐标为（04

3）ACDCD=2

ACDDE∥ABBCE。设GyPy

3x6

3yMyGGAAPyGA2GPA例2：A,B,C,D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？进阶训练如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=5，BC=3,P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值，并确PA+PB+PCAPC1516古堡朝圣问题传说：从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩，每天他都从家所在的A点出发，到集市B点做买卖.到集市之前他要先拐弯儿到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心O上,而圆周上的点都是供信徒朝拜的顶礼点.这个信徒在想：我应该选择什么样的顶礼点,才能从家到朝拜点,然后再到集市的路程最短呢?（感谢刘俊勇老师提供此传说）这一题有一个一般的解答，如图所示：P在圆周上找一点P,过P点作圆的切线MN，OL⊥MN，使得∠APL=∠BPL=α，则A者的最短路线.P下面我们证明这个结论：假设圆周上有另一个不同于点P的点P’，连接AP’,P’B.APMNRAR.AR=A’R，AP=A’P.AMNA’,∵∠APM=∠A’PM=∠BPN=90°-α，∴A’,P,BAP’+P’B=AR+RP’+P’B=A’R+RP’+P’B>A’P’+P’B>A’B=A’P+PB=AP+PB

B从上面的证明过程我们可以看出，这样的P点时存在的，但是要想在一般情况下用尺规作图讲它做出来是不可能的。因此一般来说，这个问题是没有初等解法的，不过因为本题的数据比较特殊，两个定点离圆心的距离相等，因此我们才有下面的初等解法.简解一作第一、三象限的平分线，它在一、三象限分别交○OP、QAP+PBAQ+QB大。证明如下：POPyxM、NP’（P）AP’,P’B,P’BMNR。BMNB’,连PB’,RB’,RB=RB’,PB=PB’.∵OA=OB，∠BOP=∠AOP，OP=OP，∴△BOP≌△AOP，于是∠APL=∠BPL，∴∠APN=∠BPM=∠B'PM∴A,P,B'共线.AP’+P’B=AR+RP’+P’B=A’R+RP’+P’B>A’P’+P’B>A’B=A’P+PB=AP+PBAQ+QB≥AP’+P’B.因为○O

2，∴P（1,1），Q（-1，-1）2626AP+PB=210，AQ+QB=22626这样我们不仅计算出了AP+PB的最小值为2

10，也算出了其最大值为2x2x2(y4)2简解二设AP

(x4)2y2，BP188x188x8y

(188x)(188y)

(取等条件x=y)于是问题转换为在x²+y²=2条件下，求(9-4x)(9-4y)的最小值。(9-4x)(9-4y)=81-36(x+y)+16xy继续转换：在在x²+y²=2条件下，求4xy-9(x+y)的最小值。-2≤x+y≤2x+y=t,-2≤t≤24xy-9(x+y)=2[(x+y)²-(x²+y²)]-9(x+y)=2t²-9t-42(t9)2-81-44 82(29)2-81-44 8-14t=2x=y=1(9-4x)(9-4y)=81-36(x+y)+16xy=81+4[4xy-9(x+y)]≥25）1010

，当x=y=1时等号成立.(AP+PB)²≤2(AP²+PB²)26=2[(x²+y²)+32-8(x+y)]=72-16(x+y)≤10426∴AP+PB≤2

，当x=y=-1时等号成立.AOB2，A=O=d,P=rd>r),求(A+PB.注意我们保留了核心条件两个定点到圆心的距离相等，只不过改成了一般的数据，另外，两线的夹角变成了一般的角度。从简解一的角度来看，这个问题的解法是显然的，就不再赘述了。17四点共圆证明四点共圆的基本方法：1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）3角时，即可肯定这四点共圆．4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．五个基本判断方法：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。同斜边的直角三角形的顶点共圆。已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）证明：用反证法A，B，DOCOCCBC交圆O于C’，DC’，根据圆内接四边形的性质得∠ADCB=180°，∵∠A+∠C=180°∴DC'B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。∴COA，B，C，D四点共圆。已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB，∠A=∠D，求证：A、B、C、D四点共圆证明：假设四点不在同一圆上，作△ABCD点不在圆上，因二角共用AB弧，则∠A≠∠D，与实际不符，D点在△ABC外接圆上，A、B、C、D四点共圆。课堂练习题1.已知∠ABC=∠ADC=90°，∠DAC=25°，则∠ABD= .矩形ABCD中，E是BD上一点，EF⊥AE交BC于F，sin∠ADB= ，则EF

= .已知，在△ABCAB＝ACAaACA转角θaBCP（PBC），△BMNMNa（点MN）BM＝BNCN．（1）当∠BAC＝∠MBN＝90°时，a，当θ＝45°时，∠ANC；②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当∠BAC＝∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明阅读下面材料：小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD＝4，DC＝6，且∠BAC＝45°，求线段AD小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC＝90OOE⊥BCEOF⊥ADFRt△BOCOOE，Rt△AOFAFAD＝AF＋DF请你回答图2中线段AD的长 参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图3：在△ABC中，AD⊥BC，BD＝4，DC＝6，且∠BAC＝30°，则线段AD的长 ．已知：A、B、C三点不在同一直线上．A、B、CRO(i）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；BC(ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝2R若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．18阿波罗尼定理19三角形中线长定理斯特瓦尔特定理推论2 设AP为△ABC的BC边上的中线，则AP21AB21AC21BC2．2 2 420广义勾股定理1广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。12a22c2b212a212a22c2b212a22b2c212b212b22c2a2

；mb=2

；mc=221三角形高线长定理22三角形内、外角平分线模型、角平分线长定理三角形内、外角平分线定理：BDAB内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有DC AC外角平分线定理：如图，AD是△ABC中∠ABC的延长线与D，BDAB则有DC AC一、 托勒密定理

23MEMEABCD是某圆的内接四边形，则有AB·CD+BC·AD=AC·BD．BDBD上找一点，使得DAEBAM．因为ADBACB，即ADEACB，所以ADEACB，即得AD

DE

————（1）AC BC由于DAEBAM，所以DAMBAE，即DACBAE。而ABDACD，即ABEACD，所以ABEACD．即得AB

BEABCDACBE

————（2）AC CD得ADBCABCDACDEACBEACBD．+BC·ADAC·BD．注容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．托勒密定理的逆定理及其证明圆．证法1（同一法）：在凸四边形ADEBCEBACAB∽DAC．BE×AC———（1）AEAB且 AD AC

———（2）则由DAECAB及（2）DAECAB．于是有AD×BC=DE×AC———（3）由（1）+（3）AB×CDBC×ADACBEDE．据条件可得BD=BE+DEEBDEBADCA，得DBADCAA、B、C、D四点共圆．证法2（构造转移法）DCC/B、、B/四点共圆．（A/、B/、C/共线，则命题获证）A、C、C/、A/四点也共圆．A/B/

B/C/

C/D

AB BD，

BC BD．/ / / / ABA/DBCC/D可得AB

BC

BD .A/C/

/ / ACA/D

AC

，即AC CD ．欲证 BD

ACA/D= CD

，即证ABCDA/DBCCDC/DACBDA/D即BCCDCDACBDABCDAD．据条件有ACBDABCDADBC，所以需证BCCDC/DADBCA/D，CDCDADADAB/

B/C/

A/C/，A/、B/、C/共线．所以ABB与BBC/ABBDAB，BB/C/

DCB，所以DAB与DCBA、B、C、D四点共圆．托勒密定理的推广及其证明定理ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BD：如图，在凸四边形ABCD内取一点EEABDACEBADCA，则EAB∽DAC．BE×AC————（1）AEAB且 AD

————（2）则由DAECAB（2）DAECAB是AD×BC=DE×AC————（3）由（1）+（3）AB×CDBC×ADACBEDE因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知AC×BDBDBEDEBD．BC×ADAC×BD．24清宫定理P、Q为△ABCA、B、C的两点，PBC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上25西姆松定理（西姆松线）定理：从ABCPBC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分E、FD、E、F三点共线．PC，连接EFBCD/PD/．PEAE，PFAFA、F、P、E四点共圆，可得FAEFEP．A、B、P、C四点共圆，所以BACBCP，即FAEBCP．FEP，即D/EPCD/E四点共圆．==CD/P900PDBC．PBCD与D、E、F三点共线．意运用同一法证明时的唯一性．26九点圆三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-pointcircle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。九点圆具有许多有趣的性质，例如：三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。27莫利定理（摩莱三角形）莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。28蝴蝶定理蝴蝶定理：AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、EF，分C、D、E、FCF,EDABM、N，求证：MS=NS。蝴蝶定理及其证明定理ABMP、QPMMQ．证明：MABlCFlC/、ABQ/FF/、DF/、Q/F/、DQ/．据圆的性质和图形的对称性可知：FFAB，PMMQ/．D、F/、F四点共圆，所以CFF/=1800，FFAB可得Q/PFCFF1800，所以CDFQ/PF，即MDFQ/PF．又因为Q/PFPQ/F/，即Q/PFMQ/F/．所以有MQ/F/．Q/、D、F/、M四点共圆，即得MF/QQ/DM．因为MF/Q/MFP，所以MFP=Q/DM．而MFP=EDM，所以EDMQQ/PMMQ．此定理还可用解析法来证明：DECFx轴上的截距互为相反数．证ABxABy轴建立直角坐标系，M点是坐标原点．DE、CF的方程分别为=+CD、EF的方程分别为y=k1x，y=k2x．则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为x)(y–k2x)+(x–m1y–n1)(x–m2y–n2)=0．整理得C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须+k1k2=1+m1m2≠0，且 若k1k2=1，k1+k2=0，这是不可能的，故≠0；yABy轴上，故有(n1+n2)=0，从而n1n20．DE、CFxPMMQ．注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题．如本题，四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙．运用它解题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题．另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．29正弦定理、余弦定理定理1 正弦定理ABC中，设外接圆半径为R，则证明:1-11-2

asinA

b

csinC

2RBBA，则AA,BCA90，故BCaBA 2R

sinAsinA,即

asinA

2R；同

asinA

b

csinC

2R当A为钝角时，可考虑其补角A.当A为直角时，sinA1，故无论哪种情况正弦定理成立。定理2 余弦定理ABCa2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC有时也用它的等价形式abcosCccosBbacosCccosAcacosBbcosA30斯特瓦尔特（Stewart）定理【基础知识】斯特瓦尔特定理P为△ABCBC边