《探究与发现解三角形的进一步讨论》教学设计(河北省县级优课)x-数学教案

人教版必修5第一章《正弦定理与余弦定理的综合运用---边角互化》教学设计河北新河中学韩宝东一、教材分析：本节课是必修5第一章解三角形的第四课时。是即正弦定理和余弦定理后的两定理的综合应用，是解三角形的工具。通过本节学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形的边角互化问题。本节内容与三角函数、向量联系密切，为学生继续学习解决实际问题打下坚实的基础。二、学情分析：学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用两定理数学问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。三、教学目标：1.知识目标：（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的三类基本问题。（2）学生学会分析问题，合理选用定理实现边角互化。2.能力目标：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理两个定理的辩证思想及运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。3.情感目标：通过探究回顾三角函数、正余弦定理，体现解决数学问题的化归与转化思想，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。四、教学方法:探究式教学、讲练结合重点难点：1、正、余弦定理的对于解解三角形的合理选择；2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。五、教学策略与设计意图：1、教学策略;（1）重视多种教学方法有效整合；（2）重视提出问题、解决问题策略的指导。（3）重视加强前后知识的密切联系。（4）重视加强数学实践能力的培养。（5）注意避免过于繁琐的形式化训练（6）教学过程体现“实践→认识→实践”。2、设计意图：学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过点拨有待进一步理解和掌握。作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。教学中我们不能一味的讲题，在教学中应体现以下教学思想：（1）视教学各环节的合理安排：在教学中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧知识与方法，引出课题。激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的状态，符合学生的认知规律。（2）重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法贯穿整个教学过程。（3）重视提出问题、解决问题策略的指导。（4）重视加强前后知识的密切联系。对于新知识的探究,必须增加足够的预备知识,做好衔接。要对学生已有的知识进行分析、整理和筛选，把对学生后继学习中有需要的知识选择出来，在新知识介绍之前进行复习。（5）注意避免过于繁琐的形式化训练。从数学教学的传统上看解三角形内容有不少高度技巧化、形式化的问题，我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。二、实施教学过程（一）创设情境、揭示提出课题引言：由于前两节在正弦及余弦定理分节讲解时，知识单一，知识综合应用意识有待加强，对于两定理的选择应用上还需进一步探究，揭示本节课题。（二）复习回顾、知识梳理1．利用正弦、余弦定理求角的区别：2、应用这两个定理可解决以下几类问题：3、解三角形常用的边角关系及公式总结：（三）典例导航、知识拓展题型一已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形【例1】在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(6)，A＝45°，求边长c.[思路点拨]本题可直接利用余弦定理求边长c，也可先由正弦定理求出B，进而求出C，然后利用正弦定理或余弦定理求出边长c.法一在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－2eq\r(3)c－6＝0，所以c＝eq\r(3)±3.因为c>0，所以c＝eq\r(3)＋3.法二在△ABC中，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(2),2),2\r(3))＝eq\f(1,2)，因为b<a，所以B<A，B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，sinCsin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，故c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2\r(3)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\r(3)＋3.评述：已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法如下：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再应用正弦定理求出第三边．【例2】在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.[思路探索]所证式子为既有边又有角的三角函数式，考虑利用正弦定理将边转化为角．解：由正弦定理的推广得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，于是：a2sin2B＋b2sin2A＝(2RsinA)2·sin2B＋(2RsinB)2·sin2A＝8R2·sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsin(A＋B)，由A＋B＝π－C，得上式＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC.所以原式成立．规律方法：有关三角形的证明问题，主要涉及三角形的边和角的三角函数关系．从某种意义上看，这类问题就是有目标的对含边和角的式子进行化简的问题，所以解题思路与判断三角形形状类似：边化为角或者角化为边．题型三正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】在△ABC中，A>B>C，且A＝2C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比．审题指导：正弦定理与余弦定理常常综合考查．若三角形中的边角关系较为复杂，则在化简求值时，要选择合适的转化方向．【解题流程】[规范解答]：解：在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，(2分)∴eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(sin2C,sinC)＝2cosC，即cosC＝eq\f(a,2c).(4分)由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).又∵a＋c＝2b，∴b＝eq\f(a＋c,2)，(6分)∴eq\f(a,2c)＝eq\f(a2－c2＋\f(1,4)a＋c2,2a·\f(a＋c,2)).整理得2a3－3a2c＋3c3－2ac2＝0，(8分)即(c2－a2)(3c－2a)＝0.解得a＝c或a＝eq\f(3,2)c，∵A>C，∴a>c，∴a＝c不合题意．(10分)当a＝eq\f(3,2)c时，b＝eq\f(1,2)(a＋c)＝eq\f(5,4)c.∴a∶b∶c＝eq\f(3,2)c∶eq\f(5,4)c∶c＝6∶5∶4.(12分)【题后反思】余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互化的，所以在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（四）课时小结（由学生归纳总结，教师补充）1、转化与化归思想是在研究和解决有关问题时采用某种手段将问题转化得到解决的一种解题策略．2、在本节中通过转化与化归思想，一般把需要解决的问题转化为三角形中的边角问题，应用正弦、余弦定理完成边角的转化，使问题得以解决．（五）课堂检测（10分钟）1、在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝3，B＝30°，求边长a.2、在△ABC中，求证：eq\f(a－c·cosB,b－c·cosA)＝eq\f(sinB,sinA)3.已知△ABC的周长为eq\r(2)＋1，且sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC．(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为eq\f(1,6)sinC，求C的度数．作业布置：1、在△A.BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4)(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．2、同步训练跟踪检测4四、教学反思本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦和余弦定理的基础上而设置的复习内容，因此本课的教学有较多的处理办法。从解三角形的问题出