风险厌恶下的闭环供应链协调与利润共享合同

风险厌恶下的闭环供应链协调与利润共享合同

经典的报纸模型假设决策者风险中立，追求期望利益最大化。事实上，许多决策者都是风险厌恶者和领导者。基于风险偏好扩展报告儿童模型是一种新的研究方向。平均差分模型、风险值（var）和条件风险值（cmar）是三种应用的风险计量标准。52年，马克提出了平均差分模型的假设，有效函数是满足正态分布的二次或利益的正态分布，计算复杂性高。1973年，威廉提出了风险值模型（var），以研究一定程度上的资产在一定程度上的预期损失。这种类型的风险模型有助于金融机构加强内部风险管理、风险控制和风险评估，为外部监管机构提供评估金融机构全球风险的机制，为投资者提供了解风险评估的工具。但以VaR为目标函数的规划问题一般不是凸规划,求解困难;同时它忽略了分位点下的情况,即忽略了小概率事件可能造成巨额损失的情形.为此,文献提出了条件风险值(CVaR)准则,用于研究一定置信水平下低于分位数的平均利润.基于CVaR的优化问题可转化为凸规划,获得了一系列研究成果.文献在需求分布满足一定假设的条件下,给出了求解条件风险值的线性规划模型.文献基于CVaR准则研究了零售商为风险厌恶者情形下,考虑缺货损失的报童模型中的订货决策.文献在CVaR和mean-CVaR两种准则下,研究了风险厌恶零售商的订货决策,表明零售商越厌恶风险,其订货量越少.文献研究了风险中性供应商与风险厌恶零售商所构成的二阶供应链的定价与订货策略,表明供应商对于零售商风险态度的不确定会导致其期望利润下降.文献建立了以产品利润的CVaR值之和最大化为目标、具有预算约束的多产品报童模型,并给出了求解算法.但文献未涉及协调问题,而供应链协调是提升供应链竞争力的重要手段.文献利用期望方差方法,分别研究了零售商与供应商都为风险中性与风险追求时的两级供应链决策,提出收益共享契约在一定条件下可协调供应链.文献研究了由具有风险偏好零售商和风险中性供应商组成的两级供应链回购契约协调问题,给出了能够完全协调风险偏好零售商和风险中性供应商的供应链回购契约协调机制.CVaR研究文献[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]均未涉及次品问题.现实中,产品的次品率及退货策略、零售商风险偏好等将影响零售商订货决策.当前,学者专注于次品回收再制造的回收模式、回收渠道竞争和多参与者之间博弈与闭环供应链协调等问题,未考虑零售商风险偏好对决策的影响.例如,文献指出回收物品重新利用包括直接再利用(directreuse)、修理(repair)、再生(recycling)和再制造(remanufacturing)4种方式,再制造方式是在保持产品原有特性情况下,通过拆卸、检修、替换等工序使回收物品恢复到“新产品”状态(如复印机的再制造);文献依据网络结构形式,将逆向物流系统分为开环和闭环两种,开环型结构主要指回收的物品不回到初始生产商而用于其他企业(第三方生产商)的情况,而闭环型结构主要指回收产品或包装材料回到初始生产商的情况.针对单生产商和单零售商组成的分销渠道,文献比较了第三方负责回收、生产商负责回收和零售商负责回收3种废旧产品回收模式,发现分散式控制下3种回收模式的回收再制造率(零售价)依次变大(小),但均小于(大于)集中式控制下的回收再制造率(零售价);文献假定零售价格影响需求,回收价格和努力水平影响回收量,分别构建了集中决策和分散决策模型,发现多零售市场中分散决策模式的正向与逆向供应链总利润均低于集中决策模式,给出了协调闭环供应链的收入费用共享契约;文献研究了随机需求下基于退货策略的单周期单一产品逆向供应链模型,分别在集中式决策和分散式决策下分析了实现利润最大化的条件以及最优订货量,提出了协调供应链的利润分配机制.但文献仅适用于退货产品经过简单处理后可以直接由零售商再次销售的情况,并没有考虑顾客退回产品返回制造商进行再制造的情况.本文将决策者的风险偏好和含次品返修的闭环供应链相结合进行研究,完善现有研究成果.在随机需求下,假定生产商生产的产品存在次品,需就地修复或处理,研究风险中性生产商和风险厌恶零售商组成的两级供应链的单周期产品订货决策及供应链协调问题,提出了协调风险厌恶零售商的利润共享合同形式.通过算例,对产品正品率、次品经修复后的完好率和风险厌恶因子进行敏感性分析.1风险厌恶的双重供应链决策模型1.1将合格品纳入生产、修复和回收处理的正交试验中,对将“出现”的供应商的销售活动将提高见表1、表3考虑风险中性生产商M和风险厌恶零售商R的博弈:M首先给定批发价w>c1,其中c1为单位生产成本;然后R确定订货量Q.假定M的生产能力无限,产品正品率为λ1∈(0,1,M在销售季节前交付给R所订商品.R收货时对商品进行检验,不合格品由M的维修部门进行修复,单位修复成本为c2,次品在销售期内经修复后的完好率为λ2∈(0,1;对于未能修复好的次品,生产商将进行回收再制造,可获单位收益v1,但需按进价w对零售商进行补偿.R努力在销售季节将合格品(含修复好的产品)销售出去.合格率为λ=λ1+(1-λ1)λ2.M的单位平均成本(生产、修复和回收处理成本)为cΜ=c1Q+(1-λ1)c2Q-(1-λ1)(1-λ2)v1QQ=c1+(1-λ1)c2-(1-λ)v1‚式中:Q为订货量.假设产品随机需求x的分布函数为F、密度函数为f.F为严格单调增加的二次可微函数,满足F(0)=0,且F(x)存在逆函数F-1.产品零售价为p>w+cR,其中:cR为R的单位销售成本(含订货、收获检验、货架展示等成本).销售季节结束后,R对未售出的商品进行降价或处理,单位商品处理价格为v2,满足v1<v2<c1,即处理商品要承受损失.对于订货量Q,R可供销售的商品数量为Q1=λQ.故当市场需求为x时,R的利润为πR(Q,x)={px+v2(Q1-x)-wQ1-cRQ,x≤Q1,pQ1-g(x-Q1)-wQ1-cRQ,x＞Q1,(1)式中:g为R的单位缺货损失.生产商M和供应链的利润函数分别为πM(w)=(w-c1)Q-c2(1-λ1)Q+(v1-w)(Q-Q1)=Q,(2)π(Q,x)={px+v2(Q1-x)-(cΜ+cR)Q,x≤Q1,pQ1-g(x-Q1)-(cΜ+cR)Q,x＞Q1.(3)生产商、零售商及供应链的利润关于参数λ1、λ2和λ的导函数均大于0,得出结论1.结论1生产商、零售商及供应链的利润随正品率、次品修复完好率和合格率的提高而增加.1.2目前我国的计算公式为分析产品需要,给出条件风险值(CVaR)的定义.定义1零售商R关于订货量Q的α-CVaR为(α为零售商风险厌恶因子)ΨCVaRα(πR(Q,x))=E(πR(Q,x)πR(Q,x)≤βα(πR(Q,x))),(4)式中:πR(Q,x)为当需求为x时零售商的利润;βα(πR(Q,x))为分位数,βα(πR(Q,x))=sup{vp≤α}.令g(Q,v)=v-1αE[v-πR(Q,x)]+,有由定义1,基于风险厌恶的供应链分散决策(wD,QD)为如下双层规划的解:wD∈argmaxw≥cΜ/λπΜ(w,QD(w)),s.t.QD(w)∈argmaxQ≥0ΨCVaRα(πR(Q,x)).(6)定理1存在v*(Q),使得ΨCVaRα(πR(Q,x))=g(Q,v*(Q)).证明令t1=(v2-w)Q1-vRQ,t2=(p-w)Q1-cRQ,由式(1)和g(Q,v)的定义有g(Q,v)=v-1α∫Q10+f(x)dx+∫∞Q1+f(x)dx={v-1α∫+∞Q1+(t2-v)/g[g(x-Q1)+(v-t2)]f(x)dx,v＜t1‚v-1α{∫(v-t1)/(p-v2)0[(v-t1)-(p-v2)x]f(x)dx+∫+∞Q1+(t2-v)/g[g(x-Q1)+(v-t2)]f(x)dx},t1≤v≤t2‚v-1α{∫Q10[(v-t1)-(p-v2)x]f(x)dx+∫∞Q1[g(x-Q1)+(v-t2)]f(x)dx},v＞t2,0≥∂g2(Q,v)∂v2={-1αgf(t2+gQ1-vg),v＜t1,-1α(p-v2)f(v-t1p-v2)-1αgf(t2+gQ1-vg),t1≤v≤t2,0,v＞t2.所以g(Q,v)是v的连续可微凹函数,其驻点v*(Q)也是最大值点.又导函数∂g(Q,v)∂v={1-1α[1-F(t2+gQ1-vg)2〗,v＜t1,1-1α[1+F(v-t1p-v2)-F(t2+gQ1-vg)2〗,t1≤v≤t2,1-1α,v＞t2连续,由一阶必要条件可得:v*(Q)={t2+gQ1-gF-1(1-α),Q＜gF-1(1-α)λ(p+g-v2),ˉv*,Q≥gF-1(1-α)λ(p+g-v2),其中:ˉv*是方程式(6)的解.1-1α1+Fˉv*-t1p-v2Ft2+gQ1-ˉv*g=0.(7)此时,ΨCVaRα(πR(Q,x))=g(Q,v*(Q)).证毕.由定理1,当Q＜gF-1(1-α)λ(p+g-v2)时,有v*(Q)=t2+gQ1-gF-1(1-α)≤t1,此时ΨCVaRα(πR(w,Q,x))=[t2+gQ1-gF-1(1-α)]-1α∫+∞F-1(1-α)g[x-F-1(1-α)]f(x)dx,dΨCVaRα(πR(Q,x))dQ=(p+g-w)λ-cR＞0,故在该区间无最大值.当Q≥gF-1(1-α)λ(p+g-v2)时,有t1≤v*(Q)=ˉv*≤t2.由定理1和式(7),此时通过对式(7)进行隐函数求导,可得dˉv*dQ＞0,进而可证d2ΨCVaRα(πR(Q,x))dQ2≤0,故存在唯一最大值点Q(w)满足如下一阶条件:-1αFt2+gQ1-ˉv*g-1Fv¯*-t1p-v2=0.(8)记A=α[(p+g)λ-(λw+cR)](p+g-v2)λ,B=[p+g-(1-α)v2]λ-α(λw+cR)(p+g-v2)λ,求解式(7)和(8),有Q(w)=(p-v2)F-1(A)+gF-1(B)(p+g-v2)λ.(9)将式(9)代入生产商利润函数,结合一阶必要条件dπΜ(w,Q(w))dw=0,分散式决策(QD,wD)需满足:QD=(p-v2)F-1(A)+gF-1(B)(p+g-v2)λ,wD=(p+g-v2)2λQDα[p-v2f(A)+gf(B)2〗+cΜλ.}(10)1.3bv生产价值的供应链协调假定核心企业基于风险厌恶进行供应链集中式决策,将πR(Q,x)中的λw改为cM得到π(Q,x),决策模型为QΙ∈argmaxQ≥0ΨCVaRα(π(Q,x)).(11)与1.2节的求解过程类似,可得到QΙ=(p-v2)F-1(A¯)+gF-1(B¯)(p+g-v2)λ‚(12)其中:A¯=α[(p+g)λ-(cΜ+cR)](p+g-v2)λ,B¯=[p+g-(1-α)v2]λ-α(cΜ+cR)(p+g-v2)λ.对比式(10)和(12)可知:wD>cM/λ和QD<QI成立,因此,批发价合同不能实现供应链协调.考虑基于风险的利润共享合同:零售商R按批发价w向M定购产品,在销售季节结束后,R将比例(1-ϕ)的条件风险值α-ΨCVaRα(相当于考虑了风险的利润值)支付给生产商.命题1当且仅当w=cΜλ,πDRπΙ≤ϕ≤1-πDΜπΙ,式中:πDR=ΨCVaRα(πR(QD,x)),πDM=(λwD-cM)QD,πI=ΨCVaRα(π(QI,x)).基于风险的利润共享合同可协调风险厌恶零售商的订货决策,即QD=QI,且M可根据参数ϕ划分整条供应链的利润.证明当w=cM/λ时,πR(Q,x)=π(Q,x)成立.依照利润共享合同,零售商的订货量必与供应链集中式决策一致.为了满足激励相容条件(对生产商和零售商而言,协调比不协调更有利可图),需有πDRπΙ≤ϕ≤1-πDΜπΙ成立.此时生产商可依据合同参数划分整条供应链的利润.证毕.1.4风险中性时的利润共享协调合同当α=1时,基于风险厌恶的供应链决策式(10)和(12)分别退化为式(13)和(14),Q¯D=1λF-1[(p+g-w¯D)λ-cR(p+g-v2)λ2〗,w¯D=(p+g-v2)λQ¯Df(λQ¯D)+cΜλ,}(13)Q¯Ι=1λF-1(p+g-)λ-(cΜ+cR)(p+g-v2)λ.(14)可以证明,式(13)和式(14)分别是生产商和零售商均为风险中性时,二层供应链的分散式决策模型式(15)和集中式决策模型式(16)的解:w¯D∈argmaxw≥cΜ/λπΜ(w,Q¯D(w)),s.t.Q¯D(w)∈argmaxQ≥0π¯R(Q)=E[πR(Q,x)],(15)Q¯Ι∈argmaxQ≥0π¯(Q)=E[π(Q,x)],(16)式中:E=Q-(p+g-v2)∫0Q1F(x)dx-g∫0+∞xf(x)dx是R的期望利润,E=Q-(p+g-v2)∫0Q1F(x)dx-g∫0+∞xf(x)dx是供应链的期望利润.结论2决策者均为风险中性时,分散式、集中式决策是风险厌恶零售商分散式、集中式决策的特例(α=1),此时,利润共享协调合同为(w,ϕ)∶w=cΜλ,E(πDR)E(πΙ)≤ϕ≤1-πDΜE(πΙ).命题2当且仅当R按批发价w=cM/λM定购产品,销售季节结束后,R将比例(1-ϕ)的利润支付给M,满足π¯DRπ¯Ι≤ϕ≤1-πDΜπ¯Ι时,利润共享合同可协调风险中性零售商的订货决策,且M可根据参数ϕ划分整条供应链的利润.2分散式供应链实验结果在实际中,产品相关参数的获得非常困难,一般可通过问卷调查、成本分析等得到.以某电风扇供应链为例,模型参数为:p=150元,c1=40元,c2=20元,cR=5元,g=5元,v1=20元,v2=45元,需求x为上的随机均匀分布.下面进行模型求解和分析(结果四舍五入).(1)取λ1=0.8,λ2=0.9,α=0.85,利用Matlab分别求解模型式(6)、(11)、(15)和式(16),得到两种模式下的决策和各方利润(见表1).由表1可得到如下结论:①零售商为风险厌恶者的供应链分散式订货量、集中式订货量分别小于决策者均为风险中性的供应链分散式订货量、集中式订货量(2693件<2887件,5299件<5774件),即风险厌恶者的决策比较保守.②决策者均为风险中性的供应链集中式订货量和利润均大于分散式决策下的情形,即5774件>2887件,404193元>274726元.当零售商为风险厌恶者时,供应链集中式订货量和利润均大于分散式决策下的情形,即5299件>2693件,389024元>331608元.可见分散式供应链劣于集中式供应链,需进行协调.③当w=cM/λ≈44.5元且0.04≤ϕ≤0.36时,利润共享合同可以协调决策者均为风险中性的供应链.令w=44.5元,ϕ=0.2,得到风险中性的零售商决策为5774件,实现了供应链的协调,以及生产商M和零售商R的共同盈利,323354.4元>258935元,80838.6元>15791元.④由命题1,只要w=cM/λ≈44.5且0.17<ϕ<1,基于风险的利润共享合同可以协调零售商为风险厌恶者的供应链;令w=44.5元,ϕ=0.2,得到风险厌恶零售商决策为5299件,实现了供应链的协调,以及生产商M和零售商R的共同盈利,311219.2元>263756元,77804.8元>67852元.表明了本文协调合同的有效性.(2)固定其它参数,分别对产品正品率λ1、次品经修复后的完好率λ2和风险厌恶因子α进行敏感性分析,可得到如下结论:①取λ2=0.9,随λ1的增加,决策者均为风险中性的供应链分散式订货量增加,生产商、零售商和供应链的利润增加;集中式订货量和供应链的利润增加.特别是当λ1=1时,计算结果与报童模型的解一致(见表2).②取λ2=0.9,α=0.85,随λ1的增加,零售商为风险厌恶者的供应链分散式订货量增加,生产商利润、零售商和供应链的条件风险值增加;集中式订货量和供应链的条件风险值增加(见表3).③取λ1=0.8,随λ2的增加,决策者均为风险中性的供应链分散式订货量减少,生产