二次多项式微分系统的结构相图

二次多项式微分系统的结构相图

0系统的全局结构相图关于平面二次差分差分系统的定性分析，研究结果丰富，文献丰富。对于三个系统，结果相对较小。在文献中，我们研究了不同形式的三个系统，并确定了系统的结构相图或限制环的唯一条件。分析以下形式的系统。基于对无穷远奇点的完整讨论,得到了各种情形下系统的全局结构相图.不难得知:当a3<0(>0)时,系统(1)的奇点O(0,0)是一阶稳定(不稳定)的焦点;当a3=0时,系统(1)可积,O是中心.当a4>0时,系统(1)还有奇点与,它们都是初等鞍点取Dulac函数,以及注意到a3=0时,方程(1)的右端所定义的平面向量场关于两坐标轴对称可得:定理1当a3≠0时,系统(1)无闭轨与奇闭轨;当a3=0且a4>0时,系统有连接两鞍点的异宿闭轨.为分析系统(1)的全局结构,需研究系统在无穷远奇点的性态,先考虑a3≠0的情形.1无穷远点性态不妨设a3=-1,否则当a3>0时作变换,dτ=dt或者a3<0时作变换,dτ=dt即可.作Poincare变换及时间变换,系统(1)化为系统(2)的积分曲线关于u轴对称,u轴上的奇点与位置关系见表1至表3.其中O1(1,0,0),,,,M4(1,a2,0),M5(1,1/a4,0),其中.下面讨论上述无穷远奇点的性态.1.1圆扇形域计算于是原点的小邻域被射线θ=0与θ=π分成的两个角域,当a2<0时,是双曲扇形域;a2>0时,是椭圆扇形域.当a2=0时,需按定理5.1计算指数,其中综上当a2<0时,沿θ=0与θ=π方向各有一条轨线离开、进入原点;当a2>0时,有无数条轨线沿θ=0进入或沿θ=π离开原点;当a2=0时,在原点位于上半平面的充分小邻域内有,可知有无数条轨线沿θ=π离开原点,只有一条轨线沿θ=0离开原点.1.2角域的i内进入原垂直位置将M1移到原点,作变换,η=,z,系统(2)变为:当a4>0时,至于是否有轨线沿或方向进入原点,由积分曲线关于横轴对称,只需分析方向.系统(3)的垂直等倾线水平垂直等倾线l:、线段:η=kξ及坐标轴将原点的充分小邻域分划为一些角域,如图1所示又曲线L、l与η轴在原点相切,在角域I内有Φ>0、ψ>0,故无轨线在I内进入原点;在角域II内Φ>0、ψ<0,亦没有轨线在II内进入原点;在角域III内Φ<0、ψ<0,记当0<k<k0时有,故有无数条轨线在III内沿进入原点;角域IV内出发的轨线都将进入角域III,从而在角域IV内没有轨线进入原点.综上得到,当a4<0时,奇点M1是系统(2)的鞍点,4条分界线分别沿u轴或垂直于u轴的方向进入或离开奇点;当a4>0时,M1是系统(2)的稳定结点,沿θ=0与θ=π方向有唯一轨线进入奇点、沿垂直于u轴的方向有无数条轨线进入奇点.同理可得,当a2<0时,奇点M2是系统(2)的不稳定结点,沿θ=0与θ=π方向有唯一轨线离开奇点、沿垂直于u轴的方向有无数条轨线离开奇点;当a2>0时,M2是系统(2)的鞍点,4条分界线分别沿u轴或垂直于轴u的方向进入或离开奇点.1.3角域iii内各轨线沿=0的方向进入或距离作平移变换ξ=u-2a2,η=z,系统(2)的奇点M3变为的原点,由定理4.1知原点的指数等于0.根据引理2′知至多有一条轨线进入或离开原点.又原点的指数等于0,所以角域IV内恰有一条轨线进入原点.由定理3.5知有轨线沿θ=0方向进入或离开原点,即系统(6)在角域V内有轨线沿θ=π-θ0进入或离开原点.综上,当a2<0时,系统(2)各有一条轨线沿θ=0离开、沿θ=π进入奇点M3,M3有两个双曲扇形域;当a2>0时,奇点M3是系统(2)的鞍结点M3,沿方向θ=0、θ=π-θ0、θ=π+θ0有唯一轨线进入奇点M3,沿方向θ=π有唯一轨线离开奇点,沿方向θ=θ0与θ=2π-θ0有无数条轨线进入奇点.1.4关于银行点的因势类似可得当a2<0时,奇点M4是系统(2)的不稳定结点,沿方向θ=0与θ=π有唯一轨线离开奇点,沿垂直于u轴的方向有无数条轨线离开奇点;当a2>0时,M4是鞍点,4条分界线分别沿u轴或垂直于u轴的方向进入或离开奇点.当a4<0时,奇点是M5是系统(2)的鞍点,四条分界线分别沿u轴或垂直于u轴的方向进入或离开奇点;当a4>0时,M5是稳定结点,沿方向θ=0与θ=π有唯一轨线进入奇点,沿垂直于u轴的方向有无数条轨线进入奇点.为分析y轴上的无穷远奇点,作Poincare变换以及时间变换,系统(1)化为仅当a4=0时,原点才是系统(5)的奇点,这时原点是系统(5)的鞍点,v轴是其稳定流形,其不稳定流形与z轴相切并位于左侧.以上讨论了a3=-1时系统(1)无穷远奇点的性态,由此得到:定理2系统(1)在a3<0时的全局结构见图3、图4和图5,分别对应于a2<0、a2=0、a2>0时的各种情形.至于a3>0时的全局结构相图,只需将上面相图作水平镜像并时间反向即得.2系统2结构下面研究a3=0时系统(1)的无穷远奇点.作Poincare变换,及时间变换,系统(1)化为系统(1)的无穷远奇点有O1(1,0,0),当a2a4<0时,还有N1(1,λ,0)与N2(1,-λ,0),其中.方程(6)的G(θ)=-sin3θ,特殊方向为θ=0与θ=π,且沿这两个方向均有轨线进入或离开原点.计算知当a2<0时,原点的指数是0,原点有两个双曲扇形域;a2>0时,原点的指数是2,原点有两个椭圆扇形域.当a2=0时,方程(6)的通解为(c是独立常数),可知a4<0时,原点有两个双曲扇形域;a4>0时,原点有两个椭圆扇形域.对于奇点N1、N2,分析可得:当a2>0且a4<0时,它们都是系统(6)的鞍点,4条分界线分别沿坐标轴方向进入或离开原点,闭曲线-a2a4u2+(a2-a4)z2=a22是连接两奇点的异宿闭轨.当a2<0且a4>0时,N1是系统(6)的稳定结点,N2是不稳定结点,沿θ=0与θ=π方向有唯一轨线进入或离开奇点、沿垂直于u轴的方向有无数条轨线进入或离开奇点.作Poincare变换及时间变换,在a3=0时系统(1)化为:仅当a4=0时,系统(7)的原点才是奇点,这时若a2<0,原点的指数是0,若a2>0,原点的指数是-2.因G(θ)=-sinθ(a2cos2θ-sin2θ),易知当a2<0时,沿两个特殊方向θ=0与θ=π有轨线进入或离开原点,原点有两个双曲扇形域;当a2>0时,也是轨线,原点有6个特殊方向,形成的6个角域全为双曲扇形域.于是有定理3设a3=0,系统(1)的全局结构图见图6,其中图6(a)是a2≤0且a4≤0的情形,图6(b)是a2>0且a4<0的情形,图6(c)是a2>0且a4=0的情形,图6(d)是a2≥0且a4>0的情形,图6(e)是a2<0且a4>0的情形.按文献的记号,系统(2)对应的G(θ)=-sin3θ,故特殊方向为θ=0与θ=π,而u轴是系统(2)的直线解,沿这两个特殊方向均有轨线进入或离开原点.当a2≠0时,由定理4.1计算原点的指数若a4=0,取ρ=1;若a4>0,可取ρ=(2a4)-1;若a4<0,可取ρ=(-2a4)-1,都可得N(α(t),β(t))=-2.于是,系统(2)的原点的指数为1,原点的邻域位于上、下半平面的部分是抛物扇形域.方程(3)对应的,故特殊方向是4个坐标轴方向.又方程(3)对应的线性系统的系数矩阵有一个零特征值,应用熟知的方法可得:当a4<0时,原点是系统(3)的鞍点;a4>0时,原点是系统(3)的稳定结点.方程(4)对应的G(θ)=-sinθ[-a2cos2θ+(1+4a22)·sin2θ],当a2<0时,只有两个特殊方向θ=0与θ=π,且沿这两个方向有轨线进入或离开原点,故原点有两个双曲扇形域.当a2>0时,有6个特殊方向θ=0、θ=θ0、θ=π-θ0、θ=π、θ=π+θ0与2π-θ0,其中,在η≥0区域方程(4)的水平等倾线、垂直等倾线、线段以及坐