一种判断矩阵一致性的统计检验方法

一种判断矩阵一致性的统计检验方法

层次分析法（ahp）是一种实用的多参数法。评价矩阵a=（aj）nn的一致性要求是应用的关键先决条件。鉴于人们认识的多样性和客观事物的复杂性,决策者或专家给出的判断矩阵,并不总能满足上述要求,因此,需要对判断矩阵的一致性进行检验。然而,AHP中常规的一致性检验方法“一致性比例检验法”存在以下几点不足:第一,一致性比例C.R.应小于0.1的规定缺乏必要的理论依据,同时,矩阵阶数越高,这一要求越难满足;第二,对于一般的判断矩阵,其特征值的求解较困难。对于一个不具有满意一致性的判断矩阵,其特征值的求解是一种浪费。有鉴于此,本文根据一致性要求的实质,应用数理统计原理,提出一种新的检验判断矩阵一致性的统计检验方法,它从新的视觉去认识判断矩阵的一致性,并且弥补了一致性比例检验法的上述两点不足。当决策者或专家给出的判断矩阵的一致性较差时,如何对其修正,是AHP应用时所必须解决的问题。迄今,许多学者对此进行了研究,并提出了自己的思想方法,这些方法各有利弊,如文献利用向量概念给出了校正判断矩阵的一般规则,该法虽直观,能与决策者进行交互,但校正速度慢;文献利用判断矩阵的特征向量对矩阵进行全面修正,速度快,但原判断矩阵所包含的信息丢失较多。本文以统计检验方法为检验标准,给出一种修正判断矩阵一致性的方法。该法通过每次修改判断矩阵的一对元素,使其一致性得到逐步改进,直到达到满意的精度。1判断矩阵与a的关系判断矩阵A=(aij)n×n,如果aij>0,aij=1aji,∀i,jaij>0,aij=1aji,∀i,j,则称A为正互反矩阵;如果A进一步满足aijajk=aik,∀i,j,k,则称A为完全一致性矩阵。在判断矩阵的构造中,并不总是要求判断矩阵具有传递性和完全一致性,这是由客观事物的复杂性和人的认识多样性所决定的。但判断矩阵是计算排序权向量的根据,故要求判断矩阵有大体上的一致性(满意的一致性)是应该的。T.L.Saaty在文献中给出了一致性指标C.Ι.=λmax-nn-1C.I.=λmax−nn−1、与判断矩阵A的阶数n有关的平均随机一致性指标R.I.和一致性比例C.R.=C.Ι.R.Ι.C.R.=C.I.R.I.。并规定,若判断矩阵A是完全一致性矩阵,当且仅当其最大特征值λmax=n;若C.R.<0.1,则判断矩阵A具有满意的一致性。2采用统一评价方法评价矩阵的一致性(1)计算多元线性归一化时的和法设A=(aij)n×n为n阶判断矩阵,其排序向量为w=(w1,w2,…,wn)T.令B=(bij)n×n,其中bij=aij/∑iaij(i,j=1,2,⋯,n)bij=aij/∑iaij(i,j=1,2,⋯,n)。再令wi=1nn∑j=1bij(i=1,2,⋯,n)wi=1n∑j=1nbij(i=1,2,⋯,n),由此求得判断矩阵排序向量w=(w1,w2,…,wn)T的方法称为“和法”。定义设矩阵C=(cij)n×n为判断矩阵A的导出矩阵,其中,cij=bijwi(1)式中,bij=aij∑iaij‚wi=1nn∑j=1bij(i,j=1,2,⋯,n)。引理判断矩阵A为完全一致性矩阵的充要条件是其导出矩阵C中元素全为1,即C=[11⋯111⋯1⋯⋯⋯⋯11⋯1]证明必要性:设判断矩阵A为完全一致性矩阵,则A的每一列归一化后就是相应的排序向量w,即bij=wi(i,j=1,2,…n),由(1)式,可得cij=1(i,j=1,2,…n)。充分性:设A的导出矩阵C=[11⋯111⋯1⋯⋯⋯⋯11⋯1],即cij(i,j=1,2,…n),由(1)式可得bijwi=1,从而bij=wi(i,j=1,2,…,n)。这表明,判断矩阵A的任意一列的归一化列向量就是其相应的排序向量,故A的最大特征根唯一,且λmax=n(n为判断矩阵A的阶数),从而A为完全一致性矩阵。综上,定理得证。(2)元素cij的模型建立由上述引理可知:若C中存在某个元素cij不为1,则说明判断矩阵A不为完全一致性矩阵,且cij偏离1越大,说明aij对A的一致性的影响越大。由此,一个判断矩阵A的导出矩阵C中的元素cij可视作以1为均值的正态随机变量,即cij～N(1,δ20),其中,δ20为常数,且诸cij(i,j=1,2,…,n)相互独立。据此,可以应用数理统计有关原理,得出以下结论。结论设A为n阶判断矩阵,C=(cij)n×n为其导出矩阵,cij～N(1,δ20),其中,δ20为常数,且诸cij(i,j=1,2,…,n)相互独立,将矩阵C中元素从左到右、从上到下拉直后依次排列,记为ci(i=1,2,…,n2),可以证明,统计量χ2=n2-1∑i=1(ci+1-ci)22δ2∼χ2(n2-1)(2)(3)决策人偏好选取判断矩阵的一般规定构造出统计量后,可用统计检验方法对判断矩阵A的一致性作出检验。具体方法如下:①上述定理的假设cij～N(1,δ20)中δ20的大小反映了cij对其数学期望Ecij=1偏离程度大小。因此,常数δ20的不同值反映了决策人对判断矩阵的“满意一致性”的不同要求。显然,较小的δ20值意味着对判断矩阵一致性有较高的要求。故决策人可依据决策问题的具体情况,以及个人偏好选取适当δ20的值。一般可令δ20取14、19、116中的任何一个值或是满足不等式116≤δ20≤14的其他值。为了与T.L.Saaty的一致性比例结果相衔接,对低阶判断矩阵可取δ20=116或19,高阶判断矩阵可取δ20=14或19。②对于一个有满意一致性的判断矩阵A,由其导出矩阵C算出的上述统计量χ20应该较小。反之,若χ20过大,则可认为判断矩阵A不具有满意的一致性。于是,判断矩阵A的一致性检验问题即成为如下的统计假设检验问题:假设Η0∶δ2≤δ20(3)对于给定的显著性水平α,令P{χ2≥χ2α(n2-1)}=α.上述括号内的事件为小概率事件,当判断矩阵的导出矩阵的χ2观测值χ20<χ2α时,即可认为A具有满意的一致性;反之,则判断矩阵A不具有满意的一致性。③作为一种统计检验方法,其检验临界值依赖于显著性水平α和方差δ0的选取,这样就为决策者留有较大的决策空间。表1列出3～6阶判断矩阵在不同显著性水平下的临界值。3评估矩阵对应关系的修正方法(1)判断矩阵a的校正定义设矩阵D=(dij)n×n为判断矩阵A的偏差矩阵,其中,dij=cij-1(4)式中,cij(i,j=1,2,…n)意义同前。由文献可知:当D中的元素绝对值较大时,会引起判断矩阵的不一致性,这时需要对判断矩阵A进行校正。显然,首先需要校正的是D中绝对值最大的对应元素。因为它是造成不一致性的主要原因。比如,设dij是D中绝对值最大者,不妨设dij>0,则可知A中第i行第j列aij偏大,同时与aij所对应的互反元素aji=1aij将偏小,且dji<0,所以,适当改变aij的元素值,使其变小,比如变为a*ij,同时aji=1aij将自然变大,此时aji变为1a*ij。由于决策者或专家给出的判断矩阵一般不会出现很大的失误,因此,对影响判断矩阵一致性的元素可进行适当微调,使判断矩阵的一致性得到逐步改进。(2)a设偏差矩阵nn综上所述,对于一致性不满意的判断矩阵修正方法步骤如下:①按和法计算判断矩阵A=(aij)n×n的排序向量w;②求出判断矩阵A的导出矩阵C=(cij)n×n及偏差矩阵D=(dij)n×n;③找出偏差矩阵中绝对值最大的元素dij;④当dij>0时,若amk>1,则a*mk=amk-1;若amk<1,则a*mk=amk/(amk+1);当dij<0时,若amk>1,则a*mk=amk+1;若amk<1,a2mk=amk/(1-amk);⑤令a*km=1/a*mk,a*ij=aij,且i,j≠m,k;⑥用统计方法进行一致性检验,若A*=(a*ij)n×n具有满意的一致性,则停止;否则,用A*代替A,重复上述步骤。4判断矩阵b.r.准则规定,主要结果如下下面给出用统计假设检验法对判断矩阵进行一致性检验的实例。选取α=0.05,每个算例同时列出了该判断矩阵的一致性比例C.R.以示对比。经检验后,若判断矩阵不具有满意一致性时,用上述修正方法对判断矩阵进行修正。对判断矩阵,可验知A不具有满意的一致性。统计检验法,取δ0=14‚α=0.05,由“和积法”求得的排序向量,由(1)式得导出矩阵,由(2)式得χ20=19.81>χ20.05=15.507,判断矩阵A不具有满意的一致性(与C.R.准则结论一致),有必要进行修正。由(4)式得偏差矩阵。其中,绝对值最大的元素为d32=0.619>0,且a32=2>1,故应将a32减小,a23增大,即a*32=1,a*23=1/a*32=1,从而可得,结论:判断矩阵A*具有满意的一致性。取δ0=14‚α=0.05。同理判断矩阵A*的导出矩阵已具有满意的一致性(同C.R.准则结论一致),A*即为修正后的判断矩阵。对判断矩阵,可验知A具有满意的一致性。统计假设检验法,取δ0=14‚α=0.05。由(1)式计算判断矩阵A的导出矩阵,并由(2)式得χ20=14.0792<χ20.05=15.507,判断矩阵A具有满意的一致性(同C.R.准则结论一致),勿需进行修正。对判断矩阵,可验知A不具有满意的一致性。判断矩阵A的导出矩阵,由(2)式得χ20=50.0288>χ20.05=24.996,判断矩阵A不具有满意的一致性,有必要进行修正。判断矩阵A的偏差矩阵,其中绝对值最大的元素为d13=1.406>0,且a13=3>1,故应将a13减小,将a31增大,即a*13=2,a*31=1/a*13=1/2,从而可得,结论:判断矩阵A不具有满意的一致性。用相同的方法得到判断矩阵A*的导出矩阵,矩阵A*不具有满意的一致性,仍需进行修正。用相同的修正方法,得修正后的判断矩阵**=119115915211511251221。取δ0=14,用(1)式计算A**的导出矩阵(略),用(2)式计算得χ20=7.604<χ20.05=24.996。判断矩阵A**已具有满意的一致性,A**即为可采用的判断矩阵。5显著性