陕西省西北工业大学附中2023届高三第二次模拟考试试卷数学试题

陕西省西北工业大学附中2023届高三第二次模拟考试试卷数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的图象大致为()A． B．C． D．2．函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（）A． B．C． D．3．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（）．A．1 B．1 C．3 D．44．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．5．已知函数，若,且，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．7．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C．4 D．28．关于函数，有下列三个结论:①是的一个周期；②在上单调递增；③的值域为.则上述结论中，正确的个数为（）A． B． C． D．9．已知，则的值等于（）A． B． C． D．10．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（）A．36 B．72 C． D．11．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（）A． B．C． D．12．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某次足球比赛中，，，，四支球队进入了半决赛.半决赛中，对阵，对阵，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.获胜概率—0.40.30.8获胜概率0.6—0.70.5获胜概率0.70.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队获得冠军的概率为______.14．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________．15．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是______.16．在面积为的中，，若点是的中点，点满足，则的最大值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知数列的各项均为正数，且满足.（1）求，及的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．20．（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数89频数6040图2：二级滤芯更换频数条形图以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.21．（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.（1）求证:平面平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求；（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．2、A【解析】

由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到，所以.故选：A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.3、C【解析】

由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形：若为的外心，则，平面,可得,即，①正确;若为等边三角形，，又可得平面，即,由可得，矛盾，②错误;若，设与平面所成角为可得，设到平面的距离为由可得即有，当且仅当取等号.可得的最大值为，即的范围为，③正确；取中点，的中点，连接由中位线定理可得平面平面可得在线段上，而，可得④正确；所以正确的是：①③④故选：C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.4、B【解析】

利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意，函数与函数关于直线对称，则，即，又，所以，.故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.5、A【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.6、C【解析】

判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】，函数是奇函数，排除，时，，时，，排除，当时，，时，，排除，符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.7、D【解析】

设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．8、B【解析】

利用三角函数的性质，逐个判断即可求出．【详解】①因为，所以是的一个周期，①正确；②因为，，所以在上不单调递增，②错误；③因为，所以是偶函数，又是的一个周期，所以可以只考虑时，的值域．当时，，在上单调递增，所以，的值域为，③错误；综上，正确的个数只有一个，故选B．【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用．9、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由诱导公式有，所以【详解】∵∴由余弦公式的二倍角展开式有又∵∴故选：A【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题10、A【解析】

根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足，，所以，又，所以，由等差数列的性质可得.故选：A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.11、C【解析】

令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令，则，，，，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．12、D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，则，，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故选D．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.18【解析】

根据表中信息，可得胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.【详解】由表中信息可知，胜C的概率为；若B进入决赛，B胜D的概率为，则A胜B的概率为；若D进入决赛，D胜B的概率为，则A胜D的概率为；由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为.故答案为：0.18【点睛】本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.14、1【解析】

由题意得展开式的二项式系数之和求出的值，然后再计算展开式各项系数的和.【详解】由题意展开式的二项式系数之和为，即，故，令，则展开式各项系数的和为.故答案为：【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，需要掌握解题方法.15、【解析】

求出点坐标，由于直线与直线垂直，得出直线的斜率为，再由点斜式写出直线的方程.【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角，再继续旋转角得到，则直线与直线垂直，即直线的斜率为所以直线的方程为，即故答案为：【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.16、【解析】

由任意三角形面积公式与构建关系表示|AB||AC|，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化，最后由重要不等式求得最值.【详解】由△ABC的面积为得|AB||AC|sin∠BAC=，所以|AB||AC|sin∠BAC=，①又,即|AB||AC|cos∠BAC=，②由①与②的平方和得:|AB||AC|=，又点M是AB的中点，点N满足，所以，当且仅当时，取等号，即的最大值是为.故答案为：【点睛】本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质可得，不等式对任意实数恒成立，等价于，解不等式即可求的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，即，①当时，得，所以；②当时，得，即，所以；③当时，得成立，所以.故不等式的解集为.（Ⅱ）因为，由题意得，则，解得，故的取值范围是.18、（1）；.；（2）【解析】

（1）根据题意，知，且，令和即可求出，，以及运用递推关系求出的通项公式；（2）通过定义法证明出是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前项和公式，即可求得的前项和.【详解】解：（1）由题可知，，且，当时，，则，当时，，，由已知可得，且，∴的通项公式：.（2）设，则，所以，，得是首项为8，公比为4的等比数列，所以数列的前项和为：，即，所以数列的前项和：.【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式，考查计算能力.19、（1）见解析（2）（3）见解析【解析】

（1）令可得，即．得到，再利用通项公式和前n项和的关系求解，（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，再根据恰为与的等比中项求解，（3）由（2）得到时，，，求得，再代入证明。【详解】（1）解：令可得，即．所以．时，可得，当时，所以．显然当时，满足上式．所以．，所以数列是等差数列，（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，恰为与的等比中项，所以，解得，所以（3）时，，，而时，，，所以当时，.当时，，∴对任意，都有，【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，20、（1）0.024；（2）分布列见解析，；（3）【解析】

（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及数学期望；（3）由，且，可知若，则，或若，则，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.【详解】（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件，因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以.（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意的可能取值为8，9，10，11，12，从而，，.所以的分布列为891011120.040.160.320.320.16（个）.或用分数表示也可以为89101112（个）.（3）解法一：记表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）因为，且，1°若，则，（元）；2°若，则，（元）.因为，故选择方案：.解法二：记分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）1°若，则，的分布列为128016800.60.488010800.840.16该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为（元）；2°若，则，的分布列为800100012000.520.320.16（元）.因为所以选择方案：.【点睛