中学数学 立体几何小题-外接球和内切球 课件

立体几何小题---空间几何体的外接球和内切球考点综述：空间几何体的切接问题一直是历年来高考的热点问题，常常以小题的形式呈现在考生面前，难度一般是中档题。以便拉开差距，这类问题着重考查了学生的空间现象能力和分析计算能力，常考的知识点有几何体的结构特征，球的性质，平行和垂直的相关知识，勾股定理，相似，正弦定理等等。问题呈现经常是以线段的长度，几何体（经常是求）的表面积和体积。解决这类问题的关键是求出球的半径。所以如何求出球的半径是解决这类问题的关键。下面我们就来简单的探讨一下解决这类问题的方法。一、外接球问题的求法补形法----把原几何体补形成长方体或正方体（各个顶点必须和长方体的顶点重合）同一顶点引出的三条棱互相垂直的三棱锥相邻的三个面互相垂直的三棱锥四个面均为直角三角形的三棱锥对棱相等的三棱锥确定球心的位置法这种方法主要是根据几何体和球的结构特征来确定球心的位置。主要应用了球的性质：球心和球的任一截面的圆心之间的连线垂直与截面。这种方法一般分三步：1.先根据球的性质确定球心的大致位置，设出球心的半径。2.根据垂直关系列出关于R的关系式（常利用勾股定理或相似三角形）3.求出R正棱锥的球心在其地面的高上直棱柱的球心在上下底面多边形外心连线的中点处相邻两面为具有公共斜边的直角三角形的三棱锥的球心在斜边的中点处一般三棱锥的球心在垂直与底面且经过底面外心的直线上。5.如果能确定球心所在的平面，我们可以利用正弦定理直接求出球的半径。内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。（一）正方体的的内切球设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形的内切圆，得；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。（二）棱锥的内切球（分割法）将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.例题赏析一、外接球常见问题（一）补形法【例1】已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________．【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A． B． C． D．【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A． B． C． D．2、在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．（二）确定球心的位置法类型一正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【例4】（2020·广东深圳期末）已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．【例5】在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是.【例6】在三棱锥P－ABC中,PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.C.4D.【例7】将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()A.B.2+C.4+D.【举一反三】1、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S­ABC的体积的最大值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D．42.【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．4.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（）A.5B.6C.7D.85.正四面体的棱长为,其内接球与外接球的体积比为．类型二球与特殊的棱锥【例8】矩形中,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是()A.B.C.D.【例9】在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C． D．【例10】已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，，，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为，三棱銋O一ABC的体积为，若的最大值为3，则球O的表面积为A． B． C． D．【例11】．【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应】在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（）A． B． C． D．【举一反三】1．【四川省泸州市泸县第一中学2019届高三三诊】点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为A． B． C． D．2．三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC，，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（）A．3 B． C． D．3．【四川省成都外国语学校2019届高三上学期第一次月考】已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（）A． B． C． D．4.已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为__________．5．【四川省泸州市2019届高三上学期一诊】已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于_____．类型三直棱柱的外接球【例12】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于.【例13】棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为（）A． B． C． D．【例14】在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为()A.eq\f(10π,3) B.4π C.eq\f(8π,3) D.eq\f(7π,3)【例15】已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB＝3,AC＝4,AB⊥AC,AA1＝12,则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（）A．16B．15C．D．2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 （）A． B． C． D．3、正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.4.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,球A.8π3B.5π3C.45.已知正四棱柱的底边和侧棱长均为,则该正四棱锥的外接球的表面积为.6.直三棱柱的六个顶点都在球的球面上,若,,,则球的表面积为（）A．B．C．D．类型四球与球的组合体对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.【例16】在半径为R的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径r的最大值为（）A.(eq\r(2)－1)R B.(eq\r(6)－2)RC.eq\f(1,4)R D.eq\f(1,3)R【例17】.已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为_________________.【例18】把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为（） A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm【举一反三】1.如图所示，直四棱柱内接于半径为的半球，四边形为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的长为__________．2．已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上任意一点，有以下判断：①的长的最大值是9；②存在过点的平面，截球的截面面积是；③三棱锥的体积的最大值是20；④过点的平面截球所得截面面积最大时，垂直该截面.其中判断正确的序号是______3.如图,在一个正方体内放入两