2023-2024学年安徽省师范大学附属中学高二上数学期末联考模拟试题含解析

2023-2024学年安徽省师范大学附属中学高二上数学期末联考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的一条渐近线方程为.则（）A. B.C.2 D.42．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于A. B.1C. D.23．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（）A. B.C.1 D.44．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. B.C. D.5．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（）A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值C.1个极大值，2个极小值 D.1个极大值，无极小值6．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.107．等比数列中，，，则（）A. B.C. D.8．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取2次，则在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为（）A. B.C. D.9．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤511．已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线(，)的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（）A.3 B.4C.6 D.912．某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60．现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为（）A.8 B.6C.4 D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中，各项系数之和为1，则实数_______．（用数字填写答案）14．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.15．若“，”是真命题，则实数m的取值范围________.16．方程表示双曲线，则实数k的取值范围是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若在上不单调，求a的范围；（2）试讨论函数的零点个数18．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，两点，的中点坐标为.（1）求直线l的方程；（2）求的面积.19．（12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数的极值点的个数（Ⅱ）若，，求的取值范围20．（12分）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.（1）证明：；（2）当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.21．（12分）【2018年新课标I卷文】已知函数（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，22．（10分）某城市一入城交通路段限速60公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.若这n辆小汽车中，速度在50~60公里小时之间的车辆有200辆.（1）求n的值；（2）估计这n辆小汽车车速的中位数；（3）根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款.试根据频率分布直方图，以频率作为概率的估计值，估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚款的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】求出渐近线方程为，列出方程求出.【详解】双曲线的渐近线方程为，因为，所以，所以.故选：C2、D【解析】根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【详解】由题意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故选D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题3、B【解析】化简抛物线的方程为，求得，即为焦点到准线的距离.【详解】由题意，抛物线，即，解得，即焦点到准线的距离是故选：B4、A【解析】根据离心率及a，b，c的关系，可求得，代入即可得答案.【详解】因为离心率，所以，所以，，则，所以C的渐近线方程为.故选：A5、B【解析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可【详解】由，得，令，由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，当时，，当时，，即，所以为的极大值点，为的极大值，当时，，即，所以为的极小值点，为的极小值，故选：B6、A【解析】由已知设双曲线方程为：，代入求得，计算即可得出离心率.【详解】双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，设双曲线方程为：，代入得：，.所以双曲线方程为：..双曲线C的离心率为故选：A7、D【解析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；故选：D8、C【解析】求出两次取球都没有取到3的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，每次取到标号为3的球的事件为A，则，且每次取球是相互独立的，在两次取得小球中，标号最大值是3的事件M，其对立事件是两次都没有取到标号为3的球的事件，，则有，所以在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为.故选：C9、D【解析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可.【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.10、C【解析】先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选择项不难得出答案【详解】命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，恒成立即只需，即命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的的充要条件为，而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知C符合题意.故选：C11、A【解析】由题意求得抛物线的准线方程为，进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得，再结合和离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，根据抛物线定义，可得，即，所以抛物线的准线方程为，又由双曲线C的两条渐近线方程为，则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为，解得，又由，可得，所以双曲线C的离心率.故选：A.12、C【解析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可.【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，故从“史政生”组合120中，抽取的人数时人.故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】通过给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和，即可求出详解】解：令，得各项系数之和为，解得故答案为：14、①.②.【解析】首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.【详解】因为，，所以，所以..故答案为：；15、【解析】由于“，”是真命题，则实数m的取值集合就是函数的函数值的集合，据此即可求出结果.【详解】由于“，”是真命题，则实数m的取值集合就是函数的函数值的集合，即.故答案为：【点睛】本题主要考查了存在量词命题的概念的理解，以及数学转换思想，属于基础题.16、【解析】由题可得，即求.【详解】∵方程表示双曲线，∴，∴.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）答案见解析【解析】（1）由：存在使来求得的取值范围.（2）利用分离常数法，结合导数来求得零点个数.【小问1详解】，在上递增，由于在上不单调，所以存使，，所以.【小问2详解】，令，当时，，构造函数，，所以在递减；在递增，当时，；当时，；.由此画出大致图象如下图所示，所以，当时，有个零点，当时，没有零点，当时，有个零点.18、（1）（2）【解析】（1）设，根据AB的中点坐标可得，再利用点差法求得直线的斜率，即可求出直线方程；（2）易得直线过左焦点，联立直线和椭圆方程，消，利用韦达定理求得，再根据即可得出答案.【小问1详解】解：设，因为的中点坐标为，所以，则，两式相减得，即，即，所以直线l的斜率为1，所以直线l的方程为，即；【小问2详解】在直线中，当时，，由椭圆：，得，则直线过点，联立，消整理得，则，.19、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求得，分，和三种情况讨论，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；（Ⅱ）由不等式，转化为当时，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数的定义域为，且，当时，令，解得，令，解得或，故在上单调递减，在，上单调递增，所以有一个极值点；当时，令，解得或，令，得，故在，上单调递减，在上单调递增，所以有一个极值点；当时，上单调递增，在上单调递减，所以没有极值点综上所述，当时，有个极值点；当时，没有极值点.（Ⅱ）由，即，可得，即当时，不等式恒成立，设，则设，则因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以所以的取值范围是.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）利用平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值列方程，求得，结合向量法求得到平面的距离.【小问1详解】以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.设，可得，，，.，.因为，所以.【小问2详解】，设为平面DEF的法向量，则，即，可取.因为平面的法向量为，所以.由题设，可得，所以.点B到DFE平面距离.21、(1)a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f′（x）=aex–由题设知，f′（2）=0，所以a=从而f（x）=，f′（x）=当0<x<2时，f′（x）<0；当x>2时，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增（2）当a≥时，f（x）≥设g（x）=，则当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点故当x>0时，g（x）≥g（1）=0因此，当时，点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.22、（1）（2）