2023-2024学年安徽皖江名校联盟高二上数学期末检测试题含解析

2023-2024学年安徽皖江名校联盟高二上数学期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知三棱柱的所有棱长均为2，平面，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B.C. D.2．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为（）A. B.C. D.3．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A. B.C. D.4．若向量则（）A. B.3C. D.5．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（）A. B.C.或 D.或6．过点作圆的切线，则切线的方程为（）A. B.C.或 D.或7．等差数列中，若，则（）A.42 B.45C.48 D.518．已知是上的单调增函数，则的取值范围是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b29．直线：和圆的位置关系是（）A.相离 B.相切或相交C.相交 D.相切10．已知抛物线过点，点为平面直角坐标系平面内一点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则点与原点间的距离的最小值为（）A. B.C. D.11．已知双曲线的右焦点为F,双曲线C的右支上有一点P满是(点O为坐标原点),那么双曲线C的离心率为()A. B.C. D.12．命题“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过点作斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率___________.14．已知球面上的三点A，B，C满足，，，球心到平面ABC的距离为，则球的表面积为______15．某班学号的学生铅球测试成绩如下表：学号12345678成绩9.17.98.46.95.27.18.08.1可以估计这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为___________.16．i为虚数单位，复数______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望18．（12分）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.（1）求与平面所成角的大小；（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.19．（12分）2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100（1）能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820．（12分）新冠疫情下，有一学校推出了食堂监管力度的评价与食品质量的评价系统，每项评价只有合格和不合格两个选项，师生可以随时进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位师生的信息，发现对监管力度满意的占75%，对食品质量满意的占60%，其中对监管力度和食品质量都满意的有80人.（1）完成列联表，试问：是否有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联？监督力度情况食品质量情况对监督力度满意对监督力度不满意总计对食品质量满意80对食品质量不满意总计200（2）为了改进工作作风，针对抽取的200位师生，对监管力度不满意的人抽取3位征求意见，用X表示3人中对监管力度与食品质量都不满意的人数，求X的分布列与均值.参考公式：，其中.参考数据：①当时，有90%的把握判断变量A、B有关联；②当时，有95%的把握判断变量A、B有关联；③当时，有99%的把握判断变量A、B有关联.21．（12分）已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.22．（10分）已知是各项均为正数的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）数列通项公式为，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解【详解】以为坐标原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，∴，∴异面直线，所成角的余弦值为.故选：A2、C【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则，根据基本不等式求出的最大值后，可得三角形周长的最大值.【详解】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故这个直角三角形周长的最大值为故选：C3、C【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程故选：C.4、D【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得【详解】由于向量，，所以.故故选：D5、C【解析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为；当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为，所以所求抛物线的方程为.故选：C.6、C【解析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可.【详解】圆的圆心为原点，半径为1，当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即所以，解得或所以切线的方程为或故选：C7、C【解析】结合等差数列的性质求得正确答案.【详解】依题意是等差数列，，.故选：C8、A【解析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题【详解】∵∴∵函数是上的单调增函数∴在上恒成立∴，即.∴故选A.【点睛】可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解.9、C【解析】直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率存在，故可知直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系【详解】圆C：x2+y2﹣2y＝0可化为x2+（y﹣1）2＝1∴圆心为（0，1），半径为1∵直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上且直线的斜率存在∴直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系是相交，故选C【点睛】本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线恒过定点，此题易误选B，忽视直线的斜率存在10、B【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可求得抛物线的方程，求出的坐标，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，利用圆的几何性质可求得点与原点间的距离的最小值.【详解】将点的坐标代入抛物线的方程得，可得，故抛物线的方程为，易知点，由中垂线的性质可得，则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，故点的轨迹方程为，如下图所示：由图可知，当点、、三点共线且在线段上时，取最小值，且.故选：B.11、D【解析】分析焦点三角形即可【详解】如图,设左焦点为,因为,所以不妨设,则离心率故选:D12、D【解析】根据含有量词的命题的否定即可得出结论.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为：，.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用点差法可求得的值，利用离心率公式的值.【详解】设点、，则，由已知可得，由题意可得，将两个等式相减得，所以，，因此，.故答案为：.14、【解析】由题意可知为直角三角形，求出外接圆的半径，可求出球的半径，然后求球的表面积.【详解】由题意，，，，则，可知，所以外接圆的半径为，因为球心到平面的距离为，所以球的半径为：，所以球的表面积为：.故答案为：.15、【解析】利用百分位数的计算方法即可求解.【详解】将以上数据从小到大排列为，，，，，，，；%，则第25百分位数第项和第项的平均数，即为.故答案为：.16、【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）分布列见解析；【解析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.【小问1详解】名同学中，会法语的人数为人，从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；选派的人中恰有人会法语的概率.【小问2详解】由题意可知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望为18、（1）（2）存在，距离为（3）位置答案见解析，【解析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，然后由线面角的定义得到PC与平面PAD所成的角为，在中，由边角关系求解即可.（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不放设，则，再根据得，进而得答案.（3）延长CB到C'，使得C'B=CB，连结C'E，过E作于E'，利用三点共线，两线段和最小，得到，过H作于H'，连结HB，在中，求解HB即可.【小问1详解】解：因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又平面，所以平面，故与平面所成的角为，因为，，所以故直线PC与平面PAD所成角的大小为；【小问2详解】解：假设BC边上存在一点G满足题设条件，不妨设，则因为平面，到平面的距离为所以，即因为代入数据解得，即，故存在点G，当时，使得点D到平面PAG的距离为；【小问3详解】解：延长CB到C'，使得C'B=CB，连结C'E，过E作于E'，则，当且仅当三点共线时等号成立，故，过H作于H'，连结HB，在中，，，所以.19、（1）有（2）分布列见解析，【解析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，记“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望；【小问1详解】解：由题意，所以有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.【小问2详解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P20、（1）列联表见解析，有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联；（2）X的分布列见解析，X的期望为【解析】(1)根据给定条件完善列联表，再计算的观测值并结合给定数据即可作答.(2)求出X的可能值及各个值对应的概率列出X的分布列，再计算期望作答.【小问1详解】对监管力度满意的有，对食品质量满意的有，列联表如下：对监督力度满意对监督力度不满意总计对食品质量满意8040120对食品质量不满意701080总计15050200则的观测值为：，所以有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联.【小问2详解】由(1)及已知得，X的所有可能值为：0，1，2，3，，，，，X的分布列为：X0123PX的期望为：.【点睛】易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释21、(