2023-2024学年安徽省安大附中数学高二上期末学业水平测试试题含解析

2023-2024学年安徽省安大附中数学高二上期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等轴双曲线渐近线是（）A. B.C. D.2．某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A.散点图 B.条形图C.茎叶图 D.扇形图3．若：，：，则为q的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件4．如图所示的程序框图，阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A.14 B.20C.30 D.555．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.7．已知，，点为圆上任意一点，设，则的最大值为（）A. B.C. D.8．记为等差数列的前n项和，有下列四个等式，甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁9．如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．花瓶的最小直径为，瓶口直径为，瓶高为，则该双曲线的虚轴长为（）A. B.C. D.4510．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.3211．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知等比数列的前3项和为3，，则（）A. B.4C. D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积14．如图三角形数阵：132456109871112131415……按照自上而下，自左而右的顺序，位于第行的第列，则______.15．直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是____16．已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD面积为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆C：的半径为1（1）求实数a的值；（2）判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长18．（12分）在等差数列中，已知公差，前项和(其中)（1）求；（2）求和：19．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）20．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线轴，垂足为H，，圆N过点O，与l的公共点的轨迹为（1）求的方程；（2）过M的直线与交于A，B两点，若，求21．（12分）已知中心在坐标原点O的椭圆，左右焦点分别为，，离心率为，M，N分别为椭圆的上下顶点，且满足.（1）求椭圆方程；（2）已知点C满足，点T在椭圆上（T异于椭圆的顶点），直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，若P为线段NT的中点，求直线NT的方程；（3）过椭圆内的一点D（0，t），作斜率为k的直线l，与椭圆交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别是，，若对于任意实数k，存在实数m，使得，求实数m的取值范围.22．（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得.（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论，可得出等轴双曲线的渐近线方程.【详解】因为，若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为.综上所述，等轴双曲线的渐近线方程为.故选：A.2、A【解析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可；【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适；故选：A3、D【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为：，：，所以，所以为q的既不充分又不必要条件.故选：D.4、C【解析】经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出值【详解】解：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=1+22=5，i=3；第三次循环S=5+32=14，i=4；第四次循环S=14+42=30，i=5；此时5>4，跳出循环，故输出的值为30故选：C.5、B【解析】计算后，根据判断框直接判断即可得解.【详解】输入，计算，判断为否，计算，输出.故选：B.6、D【解析】直线的斜率为，计算，，利用余弦定理得到，化简知，得到答案【详解】由题意知直线的斜率为，，又，由双曲线定义知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故双曲线渐近线的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.7、C【解析】根据题意可设，再根据，求出，再利用三角函数的性质即可得出答案.【详解】解：由点为圆上任意一点，可设，则，由，得，所以，则，则，其中，所以当时，取得最大值为22.故选：C.8、D【解析】分别假设甲、乙、丙、丁不成立，验证得到答案【详解】设数列的公差为，若甲不成立，则，由①，③可得，此时与②矛盾；A错，若乙不成立，则，由①，③可得，此时；与②矛盾；B错，若丙不成立，则，由①，③可得，此时；与②矛盾；C错，若丁不成立，则，由①，③可得，此时；，D对，故选：D.9、C【解析】设双曲线方程为，，由已知可得，并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解，即可得到双曲线的虚轴长【详解】设点是双曲线与截面的一个交点，设双曲线的方程为：，花瓶的最小直径，则，由瓶口直径为，瓶高为，可得，故，解得，该双曲线的虚轴长为故选：10、C【解析】依据正态曲线的对称性即可求得【详解】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线由，可得则，故故选：C11、B【解析】根据题意，将问题转化为对任意的，，利用导数求得的最大值，再分离参数，构造函数，利用导数求其最大值，即可求得参数的取值范围.【详解】由题可知：对任意的，，都有恒成立，故可得对任意的，；又，则，故在单调递减，在单调递增，又，，则当时，,.对任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，则，故在单调递增，在单调递减.故，则只需.故选：B.12、D【解析】设等比数列公比为，由已知结合等比数列的通项公式可求得，，代入即可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，由，得即，又，即又，，解得又等比数列的前3项和为3，故，即，解得故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）最小正周期，，；（2）【解析】（1）根据降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1），所以的最小正周期令，，解得，，所以的单调递增区间为，（2）因为，所以，即，又，所以，所以或，或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意，所以，，，，此时为等腰三角形，所以，所以，即的面积为14、【解析】由题意可知到第行结束一共有个数字，由此可知在第行；又由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行个数字从大到小排列，由此可知在到数第列，据此即可求出，进而求出结果.【详解】由图可知，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第2行有3个数字，……第行有个数字，由此规律可知，到第行结束一共有个数字；又当时，，所以第行结束一共有个数字；当时，，所以在第行，故；由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行是偶数行，共个数字，从大到小排列，所以在倒数第列，所以，所以.故答案为：.15、4【解析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.【详解】由题意得，由抛物线的定义知：，故答案为：4.16、【解析】根据椭圆的方程，求得顶点的坐标，结合菱形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，可得，所以椭圆与坐标轴的交点分别为，此时构成的四边形为菱形，则面积为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）直线l与圆C相交，.【解析】（1）利用配方法进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合圆的弦长公式进行求解即可.【小问1详解】将化为标准方程得：因为圆C的半径为1，所以，得【小问2详解】由（1）知圆C的圆心为，半径为1设圆心C到直线l的距离为d，则，所以直线l与圆C相交，设其交点为A，B，则，即18、（1）12（2）18【解析】（1）根据已知的,利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解；（2）由第（1）问中求解出的的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该数列前6项为正项，后6项为负项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的相反数即可计算，即为，然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的和.【小问1详解】由题意可得，在等差数列中，已知公差，前项和所以，解之得，所以n=12【小问2详解】由（1）可知数列{an}的通项公式为，所以即19、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小问1详解】解：因为，所以，解得，所以不等式的解集是；【小问2详解】因为，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.20、（1）；（2）.【解析】(1)设出圆N与l的公共点坐标，再探求出点N的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得.(2)设出直线AB的方程，与的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答.【小问1详解】设为圆N与l的公共点，而直线轴，垂足为H，则，又，，于是得，因O，P在圆N上，即，则有，化简整理得：，所以的方程为.【小问2详解】显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为，，由消去x并整理得：，则，因为，则点A到x轴距离是点B到x轴距离的2倍，即，由解得或，则有，因此有，所以.21、（1）1（2）或（3）【解析】（1）由已知可得，，再结合可求出，从而可求得椭圆方程，（2）设直线，代入椭圆方程中消去，解方程可求出点的坐标，从而可得NT中点的坐标，而，可得解方程可求出的值，即可得到直线NT的方程，（3）设直线，代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系结合直线的斜率公式可得，再由，可求出m的取值范围【小问1详解】设（c，0），M（0，b），N（0，b），①，又②，③，由①②③得，所以椭圆方程为1.【小问2详解】由题C，0），设直线联立得，那么，N（0，）NT中点.所以，因为直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，所以所以所以得，解得或所以直线NT为：或.【小问3详解】设直线，