2021年山东省泰安市中考数学试卷

2021年山东省泰安市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，

每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.（2021•泰安）下列各数：-4,-2.8,0,|-4|,其中比-3小的数是（）

A.-4B.|-4|C.0D.-2.8

A

2.（2021•泰安）下列运算正确的是（）

A.2x2+3x3=5x5B.（-2r）3=-6P

C.（x+y）2—x2+y2D.（3x+2）（2-3x）=4-9/

D

3.（2021•泰安）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位

置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）

B

4.（2021•泰安）如图，直线机〃小三角尺的直角顶点在直线，〃上,且三角尺的直角被直线，〃平分，若Z1

=60。，则下列结论错误的是（）

A.Z2=75°B.Z3=45°C.Z4=IO5°D.Z5=130°

D【解析】如图，

•.•三角尺的直角被直线，”平分，二/6=/7=45。，

Z4=Zl+Z6=450+60°=105°,

'：m//n,.*.Z3=Z7=45°,Z2=180°-Z4=75%

.*.Z5=180°-N3=180°-45°=135°.

5.（2021•泰安）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质''等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查

了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的

众数，中位数分别为（）

••[?O»»IL

A.Ft,7/1B.8h,7.5/?C.7/z,7.5/?D.8/z,8/2

C

6.（2021•泰安）如图，在△A8C中，A8=6,以点A为圆心，3为半径的圆与边8C相切于点。，与AC,

A3分别交于点E和点G,点尸是优弧GE上一点，ZC£>E=18°,则NGFE的度数是（）

A.50°B.48°C.45°D.36°

B【解析】连接AD

TBC与。A相切于点£>,：.AD±.BC,：.ZADB=ZADC=90\

*：AB=6,AG=AD=3,：.AD=—8,

・,.N3=30。,，ZGAD=60°,

•二ZCDE=18°,I.ZADE=90°-18°=72°,

*：AD=AE,：.ZAED=ZADE=12°,

：.ZDAE=]S00-ZADE-ZAED=180°-72°-72°=36°,

JZBAC=ZBAD+ZCAD=60°+36°=96°,

・•.ZGFE=-ZGAE=-x96°=48°.

22

7.（2021•泰安）已知关于x的一元二次方程近2一（2k-1）x+k-2=0有两个不相等的实数根，则实数k

的取值范围是（）

A.k>--B.k<-C.&>一三且七0D.&V二且存0

4444

C【解析】根据题意得，后0且a=（2k-1）2-4hCk-2）>0,

解得且厚

40.

8.（2021•泰安）将抛物线y=-N-Zr+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必

定经过（）

A.（-2,2）B.（-1,1）C.（0,6）D.（1,-3）

B【解析】y=-/-2r+3=-（x2+2x）+3=-[（x+1）2-1]+3=-（x+1）2+4,

；将抛物线y=-/-2r+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，

得到的抛物线解析式为：y=-/+2,

当x=-2时，y=-（-2）2+2=-4+2=-2,故（-2,2）不在此抛物线上，故A选项不合题意；

当x=-l时，产-（-1）2+2=-1+2=1,故（-1,1）在此抛物线上，故B选项符合题意；

当x=0时，y=-02+2=0+2=2,故（0,6）不在此抛物线上，故A选项不合题意；

当x=l时，y=-口+2=-1+2=1,故（1,-3）不在此抛物线上，故A选项不合题意.

9.（2021•泰安）如图，四边形ABCO是。。的内接四边形，ZB=90°,NBCO=120。，A8=2,CD=1,

则AO的长为（）

A.2V3-2B.3-V3C.4-V3D.2

C【解析】延长AO,8c交于E,

VZBCD=120%AZA=60%

VZB=90°,/.ZADC=90°,NE=30°,

在RtzMBE中，AE=2AB=4,

CD

在RtZ\CDE中，DE==V3»

tan^E

10.（2021•泰安）如图，在平行四边形ABC。中，E是8。的中点,则下列四个结论:

①AM=CN；

MD=AM,/A=90。，则8M=CM；

③若MD—1AM>贝USAMNC=SABNK;

④若AB=MN,则△MFN与全等.

其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个D.4个

D【解析】①1•四边形ABC。是平行四边形,

.\AD//BC,AD=BC,ZADB=ZCBD,

YE是BO的中点，：.BE=DE,

«MDB=/.NBD

在△/£>£和△NBE中，IDE=BE

(/DEM=/BEN

:.丛MDE乌丛NBE(ASA),：.DM=BN,

:.AM=CN,故①正确；

②若ZA=90°,则平行四边形ABC£>为矩形,

4OC=NA=90°,

AB=DC

在△8AM和△CQM中，ZA=ZADC,

.AM=DM

...△8AM丝△COM(SAS),：.BM=CM,故②正确；

③过点M作MG_L8C,交BC于G,过点E作E/7LBC,交BC于H,

由①可知四边形M8CQ是平行四边形，E为8。中点,

：.MG=2EH,

又,何。=2AM,BN=MD,AM=NC,

:&MNC=|jVC«MG=注BN、2EH=3BN・EH=SABNE,

故③正确：

@'：AB=MN,AB=DC,:.MN=DC,

又,：AD//BC、：.四边形MNCD是等腰梯形或平行四边形,

如果四边形MNCD是等腰梯形，，4MNC=ZDCN,

AN=DC

在AMNC和ADCN中，'/MNC=/DCN,

.NC=CN

：.AMNC注△QCN(SAS),/NMC=ZCDN,

ZMFN=Z.DFC

在△MFW和△OFC中，1/NMC=NCDN,

.MN=DC

：./\MFNmADFC(A4S),

如果是平行四边形，山平行四边形的性质可以得到△MFN丝△£）/<,

故④正确.

11.（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物8c的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端8在同

一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶。处，再从。处沿水平方向继续前行若干米后至

点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60。，建筑物底端8的俯角为45。，点4、B、C、D、E在

同一平面内，斜坡A。的坡度i=l：2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数

据：V3»1.732）（）

A.136.6米B.86.7米C.186.7米D.86.6米

A【解析】如图，作于H,延长OE交BC于F.

在RtZXAOH中，40=130米，DH-.AH=1：2.4,

：.DH=50（米），

•.•四边形。H3尸是矩形，尸=。”=50（米），

在RtZiEFB中，NBE尸=45°,，Ef=BF=50米，

在RtZ\EFC中，FC=EF・tan60°,

ACF=50xV3«86.6（米），.'.BC=BF+CF=136.6（米）.

12.（2021•泰安）如图，在矩形ABC£>中，AB=5,BC=5百，点P在线段8C上运动（含8、C两点），

连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60。到40,连接。。，则线段。。的最小值为（）

BPC

A.|B.5V2C.竽D.3

A【解析】如图，以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DHLQE于H.

丁四边形ABC。是矩形，：.ZABP=ZBAE=90°,

9：/\ABF,/\APQ都是等边三角形，

ZBAF=/以Q=60。,8A=用,以=。4

：.ZBAP=ZFAQ,

-BA=FA

在△BAP和△月1Q中，NB4P=44Q,

,PA=QA

：.^BAP^AFAQ（SAS）,：.NABP=ZAFQ=90°y

*/ZM£=90°-60°=30°,AZAEF=90°-30°=60°,

t：AB=AF=5AE=AF^cos300=等，

・,.点。的运动轨迹是射线在，

VAD=BC=5V3,ADE=AD-AE=尊

*.•DHLEF,ZDEH=ZAEF=60°,

：.DH=DEsin600=—x-=

322

根据垂线段最短可知，当点。与H重合时，的值最小，最小值为|.

二、填空题（本大题共6小题，满分18分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13.（2021•泰安）2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测

任务着陆火星取得圆满成功.探测器距离地球约3.2亿千米.数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为—

千米.

BT

3.2x10s

14.（2021•泰安）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而

钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半

的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其|的钱给乙，则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱？”设甲的

钱数为x,乙的钱数为y,根据题意，可列方程组为一.

1

x+-y=50,

2

-x+y=50

15.（2021•泰安）如图是抛物线>=取2+从+。的部分图象，图象过点（3,0）,对称轴为直线x=l,有下列

四个结论：①而c>0；②a-6+c=0；③y的最大值为3；④方程af+fec+c+l=0有实数根.其中正确的

为（将所有正确结论的序号都填入）.

②④【解析】抛物线开口向下，.

•.,对称轴x=-2=1,：.b^-2a>0,

2a

；抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，

：.c>0,：.abc<0,故①错误；

；抛物线与x轴的交点（3,0）,对称轴为直线x=l,

二抛物线x轴的另一个交点在（-1,0）,

当x=-1时，y—a-b+c—0,即②正确；

由图象无法判断），的最大值，故③错误；

方程ay2+bx+c+l=0,可看作二次函数y=or2+bx+c与y=-1的交点个数，

由图象可知，必然有2个交点，即方程有2个不相等的实数根.

故④正确.

16.（2021•泰安）若AABC为直角三角形，AC=BC=4,以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面

积为—.

4【解析】连接CD

是直径，：.ZBDC=90°,B|JCDLAB,

又；AABC为等腰直角三角形，CO垂直平分斜边AH,

：.CD=BD=AD,：.BD=CD,

•'•SiKHI)=SCO，:，S阴影=SRU\ABC_5RIA8CO>

•••/XABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线,

SRIA4«C=2SRIABCW»

X5R（A/IBC=IX4x4=8,/.SU!®=4.

17.（2021•泰安）如图，将矩形纸片A8CQ折叠（A£»A2）,使AB落在AO上，AE为折痕，然后将矩形

纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点8落在AE上的点G处，连接DE,若DE=

EF,CE=2,则4。的长为.

4+2&【解析】由翻折的性质可知，EB=EB',NB=NAB'E=NEB'D=90",

EB=EB'

在RtAEBF和Rt/\EB'D中,

.EF=ED'

(HL),：.BF=DB\

'：四边形ABC。是矩形，/./C=NCDB，=NEB，D=90。,

：.四边形ECDB，是矩形，.•.O£=£C=2,；.8F=EC=2,

由翻折的性质可知，BF=FG=2,ZMG=45°,ZAGF=ZB=ZAGF=90°,

AG=FG=2,AF=2&.

二AB=AB'=2+2>/2,：.AD=AB'+DB'=4+2V2.

18.（2021•泰安）如图，点Bi在直线/：）=）上，点5的横坐标为2,过点Bi作BA，/,交无轴于点4，

以为边，向右作正方形4B1B2G，延长&G交x轴于点A?；以为边，向右作正方形A28283c2，

延长83C2交x轴于点As;以A3B3为边，向右作正方形438384c3,延长84c3交x轴于点4;…；照这个

规律进行下去，则第“个正方形A,囚囚吐Jn的边长为（结果用含正整数〃的代数式表示）.

?x（|）"r【解析】设直线产》与x轴夹角为a,过囱作BHLx轴于，，如图:

；点凡的横坐标为2,点Bi在直线/：v=|xh,令x—2得y=1,

；.OH=2,BiH=l,08产+8担2=瓜.\tana==p

一△48。中,AiBi=OBrtana=Y，即第1个正方形边长是当

：.OB2=OB\+B\B2=V5+y=*，

・

RtAA2B2O中,A2&=O82tana=yx3x|=yx|,

即第2个正方形边长是亨x£

083=082+8283=-x3+苧x|=^xI，

氐△Aa。中，A3&=0&・tana=qx；x：=^x2,

22224

即第3个正方形边长是乎X?=^X（5）2,

2422

。&=。&+83&=+日xg='X京

RtZ\Ai&0中，454=0&・tana==-x—xi=—x^,

24228

即第4个正方形边长是,X"=）x（$3.............

N8N2

观察规律可知：第〃个正方形边长是日X（|）"L

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19.（2021•泰安）（1）先化简，再求值：（四二一a+1）+上=，其中〃=百+3；

、Q+1'a+1

（2）解不等式：1一上＞把二.

84

解：（1）原式=[±l_（aT）（a+'Q+1

9-3)2

-3-a---l---a--2-+-l--....a.+..1...-------a--

a+1(a-3)2a-3

当。=我+3时，原式=一借=—甯=—1—VI

V3+3—3v3

（2）去分母，得：8-（7x-1）>2（3x-2）,

去括号，得：8-7x+l>6x-4,

移项，得：-7x-6x>-4-1-8,

合并同类项，得：-13x>-13,

系数化I,得：x<l.

20.（2021•泰安）为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永

远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘

制成两幅不完整的统计图表.根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

（I）本次共调查了一名学生；C组所在扇形的圆心角为一度；

（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？

（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为El,E2,E3,E4,从其中抽取2名学生代表学

校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到El,£2的概率.

竞赛成绩统计表（成绩满分100分）

组别分数人数

竞寒成绩扇形统计图

A组75V烂804

B组80V烂85

C组85〈烂9010

。组90Vxs95

E组95<14

烂100

合计

解：（1）5072

（2）8组的人数为50x12%=16（人），

则。组的人数为50-4-6-1-14=16（人），

则优秀的人数为1600x^^=960（人）.

50

（3）画树状图为:

开始

EiE,E；E,

/N/K/K/N

E

月弓E,EjE3EjIE：E?

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到曰，E2的结果数为2,

所以恰好抽到El,E2的概率=2=；.

126

21.（2021•泰安）如图，点尸为函数尸夕+1与函数（x>0）图象的交点，点户的纵坐标为4,PB±x

轴，垂足为点B.

(1)求"z的值；

(2)点M是函数(x>0)图象上一动点，过点M作于点£>,若tan/PM£>=：,求点M

的坐标.

解:⑴・..点尸为函数尸2图象的点,点、P的纵坐标为4,

.•.4=1+|,解得：x=6,二点P(6,4),

•••点P为函数尸川与函数尸三(40)图象的交点,

.,.4=Am=24.

6

(2)设点M的坐标(x,)，),

•••tan/PMA”•铠号

①点用在点P右侧，如图,

・4-y1

；点P(6,4),：.PD^4-y,DM=x-6,.■------——

X-62

'・•孙=〃?=24,y=­24,

J,X

：.2(4--X)=x-6,解得x=6或8,

•.•点M在点尸右侧，；.x=8,...y=3,

点例的坐标为(8,3);

②点M在点尸左侧，

;点P(6,4),：.PD^y-4,DM=6-x,

6r2

24

.R=〃7=24'..)，=》

：.2(4--X)=x-6,解得x=6或8,

•.•点M在点P左侧，，此种情况不存在;

...点例的坐标为(8,3).

22.(2021•泰安)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，

计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情，回厂的工

人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产

疫苗15万剂.

(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人？

(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该厂共760

万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？

解：(1)设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：

■16.=—.解得x=30,

8(x+10)10X

经检验：x=30是原分式方程的解，且符合题意，

,当前参加生产的工人有30人；

(2)每人每小时完成的数量为：16+8+40=0.05(万剂)，

设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：

4x15+(30+10)xl0x0.05y=760,

解得：y=35,35+4=39(天),

该厂共需要39天才能完成任务.

23.(2021•泰安)四边形ABCO为矩形，E是AB延长线上的一点.

(1)若AC=EC,如图1,求证：四边形为平行四边形；

(2)若点尸是A8上的点，AF=BE,EG_LAC于点G,如图2,求证：AOG尸是等腰直角三

角形.

证明：(1)；四边形A8c。为矩形，：.AB//CD,AB=CD,CB1AE,

又；4C=EC,:.AB=BE,：.BE^CD,BE//CD,

：.四边形BECD为平行四边形.

(2Y：AB=AD,矩形ABCD是正方形，

'：EG±AC,：.Z£=ZGAE=45°,：.GE=GA,

又,：AF=BE,：.AB=FE,：.FE=AD,

GE=GA

在AEG尸和△AGO中,NE="AC=45°,

.EF=AD

△EGFg△AGO(SAS),，GF=GD,ZDGA=ZFGE,

NDGF=NDGA+NAGF=NEGF+NAGF=NAGE=90°,

...ADGF是等腰直角三角形.

24.(2021•泰安)二次函数丫=以2+云+4(厚0)的图象经过点A(-4,0),B(1,0),与〉轴交于点C,

点尸为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC,交于点Q,过点尸作POLx轴于点Q.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC,当NOPB=2/BC。时，求直线BP的表达式;

(3)请判断：一是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由.

解：(1)•二次函数乎=加+笈+4(a/0)的图象

经过点A(-4,0),B(1,0),

.(口•(-4)-'+「•(-4)+4=0解得f=T

%+口+4=。肿里口=-3'

...该二次函数的表达式为y=-/-3x+4.

(2)如图，设8尸与y轴交于点E,

PD〃y轴，；.