2021年四川省天府名校高考数学诊断性试卷（文科）

2021年四川省天府名校高考数学诊断性试卷（文科）（5月份）

一、选择题（共12小题）.

1.已知集合4={可（x-3）（x+2）<0},B={x\x-2>0},则AG8=（）

L[x\-3<x<-2]B・{x|x>3}C.{x\x<-4}D.{R|2Vx〈3}

1,、

2.以，为虚数单位，则..、2一()

（1-1)

1

A.--i--BirD.—

221-i2l-2i

2

3.已知sin（a-兀）哈则cos2a的值等于（)

D

A

-iB.c.16D.3

252525

4.阅读下面的程序，则程序表示的函数为（）

(NPUTx、

IFx<0THEN

y--x-1

ELSE

IFxRTHEN

y=0

ELSE

ENDIFy=x+l

ENDIF

PRlNl'y

\^ENDy

-x+1(x<0)

A.y=<0(x=0)

x-l(x>0)

xT(x<0)

B.y=<0(x=0)

-x+1(x>0)

x+l(x<0)

C.y二0(x=0)

-x+1(x>0)

-x+1(x<0)

D.y二0(X=0)

x+l(x>0)

5.已知直线x+ay-a=O和圆N+V-x=O的交点为A,8,且=则实数a的值为()

A.2B.1C.—D.-1

2

JTJT

6.已知函数f(x)=4sin(x若)的图象为C,为了得到函数g(x)=4sin(2x哈)的图象,

只要把C上所有点()

A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B.纵坐标缩短到原来的•倍，横坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D.横坐标缩短到原来的■倍，纵坐标不变

7.己知函数f(x)==(x€[2,6]),则()

A./(%)是单调递增函数

B./(%)是奇函数

C.函数/(x)的最大值为/(2)

D.,/(3)</(4)</(5)

8.与双曲线/-4y2=4有共同的渐近线，且经过点(2,旄)的双曲线方程为()

22

A.一上口

416

ax+by=3

9.掷骰子两次，设。和。分别是第一次和第二次出现的点数，且满足方程组《

x+2y=2

则X,y均为正值的概率为()

A.—B.—C.13

363636

10.函数f(x)=Toga(x-b)(a>0且aWl)及g(x)—bx+a,则y—f(x)及y—g

(x)的图象可能为()

c.D.

11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c(acosB-bcosA)=16,a+b

=8,ZC=60°,则c的值等于（）

A.V19B.3&C.行D.4

12.一块边长为10的正方形铁片如图所示的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰

三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积为（）

A,螫兀B,塑兀C,理兀D,塑兀

4164864

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设向量［=（〃，1）,E=「4,-2）,且则实数〃的值是.

14.某地区有高中学生2400人，初中学生10900人，小学生11000人，此地教育局为了了

解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区抽取1%的学生进行调查，则按

分层抽样的方法抽取高中学生，初中学生和小学生的人数分别

是_______

x-y+3》0

15.若x,y满足不等式组，x+y-3<0）则3x+y的最大值为

,y>T

]1

16.已知AB,CD是过抛物线y2=8x,焦点F且互相垂直的两弦，则+

|AF|・|BF||CF|'|DF|

的值为___________________

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为S,”且S“=2%+1.

（1）求数列｛%｝的通项公式。"；

(2)若£=-127,求〃.

18.成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三

类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成

都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱

厨余垃圾5005050

可回收物3024030

其他垃圾202060

（I）试估计厨余垃圾投放正确的概率：

（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别

为a,b,c,其中a>0,a+b+c=450.当数据a,b,c的方差s?最大时，写出a,b,c

的值（结论不要求证明），并求此时52的值.

2

注：S=^［（Xi-X）2+（X2-X）2+...+（X-X）>其中X为数据XI,…，Xn

n1'n

的平均数.

19.如图，在三棱锥P-ABC中，ZiABC为直角三角形，NACB=90。，△PAC是边长为4

的等边三角形，BC=2A/3>AC,A8的中点分别是。，E,NPDE=60；

（1）请你判断平面尸A8垂直于平面ABC吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；

（2）求三棱锥P-ABC的体积.

20.已知函数/（x）=xe'+e'.

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）画出函数f（x）的大致图象，并说明理由;

(3)求函数g(x)—f(x)-a(czGR)的零点的个数.

21.己知中心在原点，焦点为B(-2,0),F2(2,0)的椭圆经过点塔，-1-).

(1)求椭圆方程；

IMF,||MF2|

(2)若M是椭圆上任意一点，例Q交椭圆于点A,交椭圆于点B,求-二■和+-.-Y

|F1A||F2B|

的值.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系xOy中，点。为坐标原点，直线/的直角坐标方程为丫岑乂，与，直线

/与X轴交于点M,抛物线C的参数方程为，x=2pt(p>0,，为参数).

y=2pt

(1)以点。为极点，以X轴正半轴为极轴，求直线/的极坐标方程及点M的极坐标；

(2)设直线/与抛物线C相交于E,F两点，若归/平一|MFHME|=0,求抛物线C的准

线方程.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(x)=|2x-3|,h(x)=/(x+l)+f(x+4).

(1)若不等式。(x)?Im-1|对一切实数x恒成立，求实数，〃的取值范围；

(2)若不等式⑷%(x)W|5a+b|+|5a-(aWO,a,Z>ER)恒成立,求实数x的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={x|(x-3)(x+2)<0},B={x|x-2>0},则408=()

A.{x|-3<x<-2}B.{小>3}C.{x\x<-4}D.U|2<x<3}

解：•集合A={x|(x-3)(x+2)<0}={x|-2<x<3},

B={x\x-2>0}={x|x>2},

：.AQB=[x\2<x<3},

故选：D.

2.设i为虚数单位，则丁()

(1-i)2

D.1

1721

解：上

(1-i)2-2i-2i-i2

故选：B.

3.已知sin(a-兀)旧，则cos2a的值等于()

5

771

A.----B.-----C・一D.16

2525225

解：因为sin(a-Jl)

5

2

所以sina=——,

5

q7

则cos2a=l-2sin2a=1-2X---=——.

2525

故选:A.

4.阅读下面的程序，则程序表示的函数为()

，NPUTx

IFx<0THEN

y--x-1

ELSE

IFx-0THEN

y=0

ELSE

ENDII)=x+l

ENDIF

PRINTy

IEND

-x+1(x<0)

A.y=<0(X=0)

x-l(x>0)

xT(x<0)

B.y=0(x=0)

-x+1(x>0)

x+l(x<0)

C.y二0(X=0)

-x+1(x>0)

-x+1(x<0)

D.y=*0(x=0)

x+l(x>0)

解：根据题目中的程序语言知，该程序运行后输出的是分段函数：

-x+1,x<0

y=«0,x=0,

x+1,x>0

故选：D.

5.已知直线x+ay-。=0和圆f+y2-x=O的交点为A,B,且|A8|=1,则实数a的值为()

A.2B.1C.—D.-1

2

解:由圆/+y7=0,得(x*2+y2],

则圆心坐标为(*,0),半径/•=，■.

|A_I

圆心到直线x+ay-〃=0的距离d=2

l+a2

1(2解得

则3B|=2,

T-----0--12

4l+a2

故选：c.

1T

6.已知函数f(x)=4sin(x't*_^_)的图象为C,为了得到函数g(x)=4sin(2x+：)的图象,

5

只要把C上所有点()

A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B.纵坐标缩短到原来的•倍，横坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D.横坐标缩短到原来的•倍，纵坐标不变

JT1T

解：...函数f(x)Rsinlx—^-)的图象为C,为了得到函数g(x)=4sin(2x-丁)的图

象，

只要把C上所有点横坐标缩短到原来的a倍，纵坐标不变，即可，

故选：D.

7.已知函数f(x)=3(x€［2,6］),则()

x-1

A.f(x)是单调递增函数

B.f(x)是奇函数

C.函数f(x)的最大值为7(2)

D.f⑶</(4)</(5)

解：根据题意，f(x)=一<(xC［2,6］),在区间［2,6］±,f(x)为减函数，

x-1

据此分析选项：

对于A,/(%)在区间［2,6］上为减函数，A错误；

对于8,/(%)的定义域为［2,6］,不是奇函数，3错误；

对于C,f(x)在区间［2,6］上为减函数，则f(x)的最大值为/(2),C正确；

对于。，/(%)在区间［2,6］上为减函数，则/(3)>/(4)>/(5),。错误；

故选：C.

8.与双曲线X2-4)2=4有共同的渐近线，且经过点(2,泥)的双曲线方程为()

22

A.<

416

解：设与双曲线炉-4)2=4有共同的渐近线的双曲线的方程为r-4炉=入,

♦.•该双曲线经过点(2,娓)，

...入=4-4X5=-16.

22

.••所求的双曲线方程为：x2-4/=-16,即匚-==1

416

故选：B.

9.掷骰子两次，设。和〃分别是第一次和第二次出现的点数，且满足方程组(ax+by=3,

x+2y=2

则x,y均为正值的概率为()

A.—B.—C.—D.—

36363636

解：掷骰子两次，设。和6分别是第一次和第二次出现的点数，

满足方程组用+所3,-y均为正值，

Ix+2y=2

，两直线的交点在第一象限，

但<1倍>1

b或F,

—>2—<2

aa

解得(a,b)的可能取值为：

(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),

(4,2),(5,I),(5,2),(6,1),(6,2),共13个，

基本事件(a,b)总数为：6X6=36,

.”，y均为正值的概率为尸=41.

故选：C.

10.函数f(x)=-logfl(x-b)(〃>0且aW1)及g(x)=hx+af则y=f(x)及y=g

(x)的图象可能为()

解：在一(X)中，a>0且

4。图象中对数函数过(1,0)点，则6=0,此时直线g(x)=a,直线图象不满足条件.

8图中，/(x)为增函数，则直线过(0,0),贝即b=-l,此时直

线纵截距不满足条件.

C图中，/(x)为减函数，则a>l,直线过(0,0),则-8=1,即b=-l,此时直线

纵截距满足条件.

故选：C.

11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c,若c(“cosB-6cosA)=16,a+b

=8,ZC=60°,则c的值等于()

A.V19B.3&C,^17D.4

解：因为。(acosB-AosA)=16,

222222

由余弦定理可得c(a・a+c-b-加b+c-a)=16；整理可得序-分=(a+h)

2ac2bc

(。-b)=16,

又因为a+6=8,

所以〃-Z?=2,解得。=5,b=3,

又NC=60°,

所以由余弦定理可得C=J52+32.2X5x

故选：A.

12.一块边长为10的正方形铁片如图所示的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰

三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积为()

E

A.2%兀B.281KC.%兀D.281K

4164864

解：由题意可知，正四棱锥的底面边长为6,斜高E/=5,

则高0E=4,

则正四棱锥的外接球的球心在高0E（或其延长线）上，

设正四棱锥的外接球的半径为R,

在RtZkOGA中，0G=R-4,GA=R,。4=3&,

则（R-4）2+（M）2=R2,解得尺=今・

则这个正四棱锥的外接球的表面积为4兀R2=4兀X弓）2=2鲁兀.

故选：A.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设向量；=（n,I）,芯=（-4,-2）,且！〃芯，则实数”的值是2.

解：根据题意，向量之=（〃，1）,芯=（-%-2）,

若；〃则-2n=-4,解可得〃=2,

故答案为：2.

14.某地区有高中学生2400人，初中学生10900人，小学生11000人，此地教育局为了了

解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区抽取1%的学生进行调查，则按

分层抽样的方法抽取高中学生，初中学生和小学生的人数分别是24,109,

110

解：按分层抽样方法，抽取高中学生为2400Xl%=24（人），

初中学生为10900X1%=109（人），

小学生为11000X1%=110（人）.

故答案为：24,109,110.

'x-y+3〉0

15.若x,y满足不等式组<x+y-340,则3x+y的最大值为11

y>-l

解：由约束条件作出可行域如图,

由图可知，当直线y=-3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大,

z有最大值为3X4-1=11.

故答案为：11.

]1

16.已知4B,CD是过抛物线V=8x,焦点F且互相垂直的两弦，则

|AF|・|BF|TCFHDFI

的值为

解：抛物线V=8x的焦点尸（2,0）,

由题意可知，直线A8,C。的斜率存在且不为0,

设直线AB的斜率为相，则直线AB的方程是（x-2）,

设A（即，yi）,B。2,丁2）,

'2_

2

联立方程,V-*X,消去y得：-4（加+2）x+4m=0f

y=m（x-2）

.4(m2+2)

••X]+X2=-----2---，5X2=4，

m

HF|2=(X[-2)2+y]2=(l+/)(X「2)2,同理|8砰=(x2.)2+y22=

(l+m2)(x2-2)，

用=|(1+/)5-2)5-2)|=16()+1).,

m

;直线co的斜率为-2，

m

A|CF|*|DF|=16(机2+i),

.]1m211

-2

•*lAFl-lBFl*ICFl-lDF|16(m2+1)\6(m+i)

故答案为：上.

16

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知数列｛为｝的前〃项和为S”，且S,=2斯+1.

(1)求数列｛a“｝的通项公式如；

(2)若S,尸-127,求".

解：(1)当〃=1时，3=-1；

当”22时，an=Sn-Sn.\=(2an+1)-(2a„.(+1)=2arl-2an-1

于是｛%｝是首项为-1,公比为2的等比数列，

所以an—-2"-1.

(2)c)=-2(1-2")=_2"+i,

nl-q1-2

由S“=-127,得-2"+l=-127,

解得n—1.

18.成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三

类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成

都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示(单位：吨)：

“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱

厨余垃圾5005050

可回收物3024030

其他垃圾202060

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率：

(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别

为a,b,c,其中。>0,a+b+c=450.当数据a,b,c的方差s?最大时，写出a,h,c

的值(结论不要求证明)，并求此时$2的值.

注：s?八[(x「x)2+(x2-x)2+…+(x-x)2])其中x为数据a，X2,•••,xn

的平均数.

解：(1)由题意知，厨余垃圾有500+50+50=600(吨)，投放到“厨余垃圾”箱500

吨，

所以厨余垃圾投放正确的概率为黑=?；

6006

(2)由题意知，生活垃圾投放错误有50+50+30+30+20+20=200,

所以生活垃圾投放错误的概率为以纱=《；

10005

(3)由题意知，a+b+c=450,所以a,b,c的平均数为150,

计算,产=工义[(a-150)2+(.h-150)2+(c-150)2]=—X(«2+/>2+<?-67500),

33

因为(a+b+c)2=cr+^cr+lah+lhc+lac>cfi+h^c2,因此当々=450,b=0,c=0时，，/

取得最大值为45000.

所以当a,b,c的方差$2最大时，。=450,b=c=0f此时$2=45000.

19.如图，在三棱锥尸-A8C中，△ABC为直角三角形，ZACB=90°,△PAC是边长为4

的等边三角形，BC=2j§，AC,AB的中点分别是。，E,NPDE=60°.

(1)请你判断平面PAB垂直于平面ABC吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由;

(2)求三棱锥P-A8C的体积.

p

B

解：(1)平面PAB_L平面ABC.理由如下：

因为AC,A8的中点分别是。，E,则£>E〃8c

因为乙4cB=90°,8c=2«,

所以OEL4C,DE=M.

因为△P4C是边长为4的等边三角形，所以叨LAC,叩=2«.

因为NPOE=60°,

在△「£>£中，由余弦定理，得PE=dpD2+DE；2-2PD・DE・cosNPDE=3,

所以尸£>2=p£2+E£)2,所以PEJ_EZX

因为ED_LAC,PD±AC,EDC\PD=D,所以AC_L平面PEO,

所以AC_LPE.又ACCED=D,

所以尸£_1_平面ABC.

又因为PEu平面PAB,

所以平面P4B_L平面ABC.

(2)由(1)知PEL平面ABC,

所以PE是三棱锥P-ABC的高.

又因为△ABC为直角三角形，ZACB=90°,8c=2«,且AC=4,

所以SAA8C=/AU8C=£X4X2«=4F，

所以三棱锥P-ABC的体积丫=已加尸《=枭4«X3=4«.

20.已知函数/(x)=xe'+ex.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)画出函数f(x)的大致图象，并说明理由；

(3)求函数g(x)=f(x)-a(«GR)的零点的个数.

解：(1)函数f(x)=xe，+F,定义域为R,则/(x)=(x+2)

令/(x)=0,解得x=-2,

当x<-2时，f(x)<0,则/(x)单调递减，当x>-2时，/(x)>0,则/'(x)单调

递增，

故当x=-2时，函数/(x)有极小值/(-2)=-y,

e

所以/(x)的单调递增区间为(-2,+8),单调递减区间为(-8,-2),有极小值

一,无极大值；

e

(2)令/(x)=0,解得x=-1,当x<-1时，/(x)<0,当x>-1时，/(x)>0,

所以/(x)的图象经过特殊点AQ2,—y),B(-1,0),C(0,1),

e

当Xf-8时，与一次函数相比，指数函数y="呈爆炸式增长，增长速度更快，

结合(1)中的单调性与极值情况，作出函数/(x)的图象如图所示：

(3)函数g(x)=f(x)-a(a€R)的零点的个数为函数y=/(x)的图象与直线y=a

的交点个数，

由(1)以及(2)的图象可知，当x=-2时，/(%)有极小值f(-2)=4，

e

结合函数/(X)的图象，所以关于函数g(x)=f(X)-〃的零点的个数如下：

当■时，零点的个数为。个；

e

当〃=一■或。20时，零点的个数为1个；

e

当—•<〃<()时，零点的个数为2个.

e

।

/

(

/

-2-Lz

〃1r

(‘、)I

21.已知中心在原点，焦点为Fi(-2,0),Fi(2,0)的桶圆经过点(擀，得).

(1)求椭圆方程；

iMFi||MF2|

(2)若M是椭圆上任意一点,MQ交椭圆于点A,MF交椭圆于点B,求丁一「

2+14r

的值.

解：(1)VFi(-2,0)，尺(2,0),椭圆经过点(,，

；.2a=1(y+2)2+(-|-)2-2)2+(-1-0)2=

则又c=2，.\b2=a2-c,2=10-4=6.

22

故椭圆方程为：三--=了

106

(2)由题意设AM：x=m\y-2,BM：x=m2y+2,

再设M(xo,yo),A(xi,y\),B(X2,yz),

_

x=m1y2

联立v2v2，得(3叫2+5)y2_12my-18=0.

xIy=1

106

-18।3ni]2+5

；加1丁G得工•

om।y

-18131n22+5

同理了也丁五7,得三

-18*y0'

3m2+5y2

不妨设M在x轴上方，则v〈O,>2VO,

.|叫|y01巩1y。

•,iFiAl--y；|F2B|--y2

|MF1IIMF2]

22+

(3m1+3m210),

e.x0+2

乂•IRl—，IH9一

1Vo2y。

23(x+2)23(x-2)2

.|MF1I|MF2|00

+=-+10]

iFjAl|F2B|782■12

y

y0o

^(6x210y224)=