2023-2024学年广西壮族自治区百色市田阳县田阳高中数学高二上期末学业水平测试试题含解析

2023-2024学年广西壮族自治区百色市田阳县田阳高中数学高二上期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则平分C.若，则 D.若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线2．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（）A. B.C. D.3．函数，的值域为（）A. B.C. D.4．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是A.若α≠，则tanα≠1 B.若α=，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠ D.若tanα≠1，则α=5．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.6．等差数列的前项和为，若，，则（）A.12 B.18C.21 D.277．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.508．函数在的图象大致为（）A. B.C D.9．在中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.110．焦点为的抛物线标准方程是（）A. B.C. D.11．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（）A. B.C. D.12．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（）A.15 B.16C.17． D.18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为的峡谷拐入宽为的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点(点，，在同一水平面内)，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为，则的长为______(用表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______.14．某班有位同学，将他们从至编号，现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是，那么第四位的编号是______15．据相关数据统计，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，2020年一月份全国共建基站3万个如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设0.2万个，那么2020年这一年全国共有基站________万个16．已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题在中，内角A，，的对边分别为，，，且满足______________（1）求；（2）若的面积为，在边上，且，求的最小值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19．（12分）已知函数，（1）求的单调区间；（2）当时，求证：在上恒成立20．（12分）设数列的前项和为，已知，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）若，是否存在正整数，使得对任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，说明理由.21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）令，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：.22．（10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据求出焦点为、点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，由两点间的距离公式求出可判断AC；时可得，．由可判断B；求出点坐标可判断D.【详解】如图，若，则，C的焦点为，因为，所以，直线的方程为，整理得，与抛物线方程联立得，解得或，所以，所以，选项A错误；时，因为，所以．又，，所以不平分，选项B不正确；若，则，C的焦点为，因为，所以，直线的方程为，所以，所以，选项C错误；若，则，C的焦点为，因为，所以，直线的方程为，所以，直线的方程为，延长交直线于点D，所以则，所以D，B，N三点共线，选项D正确；故选：D.2、B【解析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.【详解】由已知可得数列的递推公式为，且，且，故，，，，，等式左右两边分别相加得，，故选：B.3、A【解析】利用基本不等式可得，进而可得，即求.【详解】∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴，，∴.故选：A.4、C【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.5、C【解析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误；对B：因为，故选项B错误；对C：因为，故选项C正确；对D：因为，故选项D错误故选：C.6、B【解析】根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.【详解】因为为等差数列的前n项和，且，，所以成等差数列，所以，即，解得=18，故选：B.7、A【解析】根据框图逐项计算后可得正确的选项.【详解】第一次循环前，；第二次循环前，；第三次循环前，；第四次循环前，；第五次循环前，此时满足条件，循环结束，输出S的值是18故选：A8、D【解析】函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选：D.9、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.10、D【解析】设抛物线的方程为，根据题意，得到，即可求解.【详解】由题意，设抛物线的方程为，因为抛物线的焦点为，可得，解得，所以抛物线的方程为.故选：D.11、B【解析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案.【详解】由已知条件得的圆心坐标为，圆心到直线为，∵圆上至少有三个点到直线的距离为1，∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是.故选：.12、A【解析】由题可得，则，可判断，，即可得出结果.【详解】前n项和有最大值，，，，，，，使得的最大值n为15.故选：A.【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】(1)利用三角关系分别利用表示、即可求解；(2)利用导数求最小值的方法即可求解.【详解】过点分别作，，垂足分别为，，则，在中，，则，同理可得，所以.令，则，令，，得，即，由，解得，当时，；当时，，所以当时，取得极小值，也是最小值，则，故输气管的长度不能低于m.故答案为：；.14、29【解析】根据给定信息利用系统抽样的特征直接计算作答.【详解】因系统抽样是等距离抽样，依题意，相邻两个编号相距，所以第四位的编号是.故答案为：2915、2##【解析】由题意可知一月份到十二月份基站个数是以3为首项，0.2为公差的等差数列，根据等差数列求和公式可得答案.【详解】一月份全国共建基站3万个，2月全国共建基站万个，3月全国共建基站万个，，12月全国共建基站万个，基站个数是以3为首项，0.2为公差的等差数列，2020年这一年全国共有基站万个.故答案为：49.2.16、3【解析】由题意求得抛物线的准线方程为，进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得，再结合和离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，根据抛物线定义，可得，即，所以抛物线的准线方程为，又由双曲线C的两条渐近线方程为，则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为，解得，又由，可得，所以双曲线C离心率.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析【解析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得的通项公式.（2）利用公式法可求数列的前项和.【详解】解：选择条件①和条件②（1）设等差数列的公差为，∴解得：，.∴，.（2）设等比数列的公比为，，∴解得，.设数列的前项和为，∴.选择条件①和条件③：（1）设等差数列的公差为，∴解得：，.∴.（2），设等比数列的公比为，.∴，解得，.设数列的前项和为，∴.选择条件②和条件③：（1）设等比数列的公比为，，∴，解得，，.设等差数列的公差为，∴，又，故.∴.（2）设数列的前项和为，由（1）可知.【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题18、选择见解析；（1）；（2）【解析】（1）选条件①．利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式可得，从而可得答案；选条件②．边角互化、切化弦，结合两角和的正弦公式可得，从而得答案；选条件③．边角互化，利用余弦定理可得，从而可得答案；（2）由三角形面积公式可得得，再利用余弦定理与基本不等式可得答案.【详解】（1）方案一：选条件①由可得，由正弦定理得，因为，所以，所以，故，又，于是，即，因为，所以方案二：选条件②因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式，得，即，因为，所以，又，所以，因为，所以方案三：选条件③∵，∴，即，∴，∴又，所以（2）由题意知，得由余弦定理得，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为19、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.【小问1详解】因为，故可得，又为单调增函数，令，解得，故当时，；当时，，故的单调减区间为，单调增区间为.【小问2详解】当时，，要证，即证，又，则只需证，即证，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值；令，，又为单调增函数，且时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得最小值.则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，即，也即时恒成立.【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由已知条件有，根据等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出及，进而可得，利用二次函数的性质即可求解的最小值，从而可得答案.【小问1详解】证明：因为，所以，又因为，所以，所以数列是首项为2公比为2的等比数列；【小问2详解】解：由（1）知，，所以，所以，检验时也满足上式，所以,所以，令，所以，故当即时，取得最小值，所以.21、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据数列通项与前项和的关系，构造新等式，作差整理得到，进而求解结论；（2）求出数列{an}的通项公式，再代入裂项求和即可.【小问1详解】证明：因为，所以当时，，两式相减，得到，整理得，又因为an＞0，所以，所以数列{an}是等差数列，公差为3；【小问2详解】证明：当n＝1时，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因为a1＜2，所以a1＝1，由（1）可知公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，所以，所以＝.22、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）设出椭圆方程，根据题意得出关于的方程组，从