2023-2024学年湖北省随州市第二高级中学、郧阳中学数学高二上期末质量检测试题含解析

2023-2024学年湖北省随州市第二高级中学、郧阳中学数学高二上期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的展开式中，常数项为（）A. B.C. D.2．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第5个孩子分到棉花为（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A. B.C. D.4．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为：圆圆，圆若过原点的直线与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（）A B.C. D.5．方程表示的图形是A.两个半圆 B.两个圆C.圆 D.半圆6．函数在处有极值为，则的值为（）A. B.C. D.7．已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（）A.4 B.3C.2 D.18．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）A. B.C. D.9．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.A.192 B.128C.3 D.110．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（）A.4 B.2C. D.11．已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（）A. B.C. D.12．如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，四边形是矩形，，平面平面，则点到平面的距离是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点在直线上，则的最小值为___________.14．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝_____15．已知抛物线C：，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则______16．过点与直线平行的直线的方程是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上.（1）求证：；（2）若点在上，满足，点满足，求实数使得二面角的余弦值为.18．（12分）“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额（百元）的频率分布直方图如图1所示：（1）利用图1，求网民消费金额的平均值和中位数；（2）把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关.男女合计30合计45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635参考公式：χ2＝.19．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.20．（12分）如图1，在中，，，，分别是，边上的中点，将沿折起到的位置，使，如图2（1）求点到平面距离；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．若存在，求出长；若不存在，请说明理由21．（12分）已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点和平面内一点，过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，，试求，满足的关系式.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，E为BP的中点，，（1）证明：平面PAD；（2）求平面EAC与平面PAC夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.【详解】的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中常数项为.故选：A.2、A【解析】根据等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，则由题意得，，解得，故选：A3、B【解析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.故选：B.4、A【解析】设直线，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长【详解】设过点的直线.由直线与圆、圆均相切，得解得(1).设点到直线的距离为则(2).又圆的半径直线截圆所得弦长结合(1)(2)两式，解得5、D【解析】其中，再两边同时平方，由此确定图形【详解】根据题意，，再两边同时平方，由此确定图形为半圆.故选：D【点睛】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围6、B【解析】根据函数在处有极值为，由，求解.【详解】因为函数，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故选：B7、C【解析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以故选：C8、A【解析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选：A.【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.9、A【解析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，所以，解得，所以这个塔的最底层有盏灯.故选：A.10、B【解析】依题意可得，设，根据可得，，根据为抛物线上一点，可得.【详解】依题意可得，设，由得，所以，，所以，，因为为抛物线上一点，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，属于基础题.11、D【解析】由题意可得两点的坐标满足圆，然后由圆的性质可得当时，弦长最小，当过点时，弦长最长，再根据向量数量积的运算律求解即可【详解】设点，则以A，B为圆心，2为半径的两圆方程分别为和，因为两圆过，所以和，所以两点的坐标满足圆，因为点与不重合的点A，B共线，所以为圆的一条弦，所以当弦长最小时，，因为，半径为2，所以弦长的最小值为，当过点时，弦长最长为4，因为，所以当弦长最小时，的最大值为，当弦长最大时，的最小值为，所以的取值范围为，故选：D12、C【解析】利用面面垂直性质结合已知寻找两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】取的中点O，连接OB，过O在平面ACDE面内作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是边长为4的等边三角形，四边形ACDE是矩形，∴以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系则，，，设平面ABD的单位法向量，，由解得取，则∴点C到平面ABD的距离.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】由已知可用表示，代入所求式子后，结合二次函数的性质可求【详解】解：由题意得，即，所以，根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值4，故的最小值2故答案为：214、2n【解析】根据数列的通项与前n项和的关系求解即可.【详解】由题,当时,,当时.当时也满足.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据数列的通项与前n项和的关系求通项公式的方法,属于基础题.15、9【解析】过A、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.【详解】由抛物线，可知，则，所以抛物线的焦点坐标为，如图，过点A作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，由抛物线的定义可得，再根据为线段的中点，而四边形为梯形，由梯形的中位线可知，则，所以.故答案为：9.16、【解析】根据给定条件设出所求直线方程，利用待定系数法求解即得.【详解】设与直线平行的直线的方程为，而点在直线上，于是得，解得，所以所求的直线的方程为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【小问1详解】证明：因为，，则且，，平面，所以为直线与平面所成的线面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小问2详解】解：设，由（1）可知且，，因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，则，由已知可得，解得.当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意.综上所述，.18、（1），（2）列联表见解析，没有【解析】（1）根据平均数的定义求平均数，由于前2组的频率和恰好为，从而可求出中位数，（2）根据频率分布表结合已知的数据计算完成列联表，然后计算χ2公式计算χ2，再根据临界值表比较可得结论【小问1详解】以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额的平均值为0.频率直方图中第一组、第二组的频率之和为，中位数；【小问2详解】把下表中空格里的数填上，得列联表如下；男女合计252550203050合计4555100计算，所以没有的把握认为网购消费与性别有关.19、（1）（2）【解析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）根据分式不等式的解法求得不等式的解集.【小问1详解】不等式等价于，解得.∴不等式的解集为.【小问2详解】不等式等价于，解得或.∴不等式的解集为.20、（1）（2）存在，【解析】（1）根据题意分别由已知条件计算出的面积和的面积，利用求解，（2）如图建立空间直角坐标系，设，然后求出平面与平面的法向量，利用向量平夹角公式列方程可求得结果【小问1详解】在中，，因为，分别是，边上的中点，所以∥，，所以，所以，因为，所以平面，所以平面，因为平面，所以，所以，因为平面，平面，所以平面平面，因为，所以，因为，所以是等边三角形，取的中点，连接，则，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，在中，，所以边上的高为，所以，在梯形中，，设点到平面的距离为，因为，所以，所以，得，所以点到平面的距离为【小问2详解】由（1）可知平面，，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,设，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，则平面与平面夹角的余弦值为，两边平方得，，解得或（舍去），所以，所以21、（1）；（2）.【解析】（1）根据直线与圆相切可得，再结合离心率及间的关系可得的值，进而得到椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况考虑，分别求出点的坐标后再求出的值，进而得到，最后根据斜率公式可得所求的关系式【详解】（1）因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离，即所以，又由题意得所以，所以椭圆的标准方程为（2）①当直线的斜率不存在时，可得直线方程为，由，解得或，不妨设，，所以，又，所以，所以，整理得所以满足的关系式为.②当直线的斜率存在时，设直线，由消去并整理得，设点，则