陕西省西安市周至县第四中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试文科数学试题（含解析）

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高三级文科数学第一次模拟考试试题

考试范围：高中文科数学知识点；考试时间：120分钟；

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名班级考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

第一大题每小题5分，共12*5=60分

一单选题

1.已知复数满足，（为虚数单位），则（）

A.B.C.2D.3

2.已知集合，则（）

A.B.

C.或D.或

3.设是定义在上的奇函数，且.若，则（）

A.B.C.D.

4.某实验室有5只小白鼠，其中有3只测量过某项指标.若从这5只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为（）

A.B.C.D.

5.已知向量，若，则（）

A.B.C.D.

6.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）

A.5B.7C.9D.11

7.已知实数满足则的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

8.已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积是（）

A.1B.2C.D.3

9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.点是的对称中心

B.直线是的对称轴

C.的图象向右平移个单位得的图象

D.在区间上单调递减

10.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（）

A.B.C.D.

11.在中，角所对的边分别为的平分线交于点，且，则的最小值为（）

A.B.12C.D.9

12.定义在上的偶函数满足：对任意的，都有，且，则不等式的解集是（）

A.B.

C.D.

第二大题每小题5分，共4*5=20分

第II卷（非选择题）

二填空题

13.函数的单调递增区间为__________.

14.已知的三内角所对边长分别为是，设向量，若，则角的大小为__________.

15.设是等比数列的前项和，成等差数列，且.则__________.

16.已知点是抛物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，点的坐标是，则的最小值是__________.

三解答题

17.在中，角的对边长分别为，且.

（1）求；

（2）若的面积为，求的周长.

18.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面为中点.

（1）证明：；

（2）若为棱上的点，求点到平面的距离.

19.某高校A课程的教师为了解本学期选修该课程的学生的情况，随机调查了200名选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：

本专业非本专业合计

女生7080

男生40

合计

（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为选修A课程的是否为本专业学生与学生性别有关；

（2）从样本中为“非本专业”的学生中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人，求3人都是男生的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.已知椭圆的左右焦点分别为，过作斜率为的直线与椭圆相交于两点，且与轴垂直.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若三角形的面积为，求椭圆的方程.

21.已知函数.

（1）当，求的极值；

（2）若恒成立，求的取值范围.

四选考题

22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线与曲线交于两点，求的值.

23.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1.A

【详解】，故，故选A.

2.C

【分析】分别求集合，再根据集合间的运算求解.

【详解】由题意可得，

则，

故或.

故选：C.

3.A

【分析】根据已知推得是周期为4的奇函数，应用周期性奇函数性质求函数值.

【详解】由题设，，则，

所以，即，故是周期为4的奇函数，

所以.

故选：A

4.C

【分析】先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解.

【详解】设过某项指标的3只小白鼠为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种.

其中恰好有2只测量过该指标的取法有共6种，

所以恰好有2只测量过该指标的概率为.

故选：C.

5.B

【分析】由求得，再用倍角公式求即可.

【详解】因为，

所以，即，

所以，解得或（舍），

所以，

故选：B

6.C

【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的的值.

【详解】执行如图所示的程序框图如下：

不成立，；

不成立，；

不成立，；

不成立，.

成立，跳出循环体，输出的值为9，故选C.

【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.

7.B

【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解在轴截距的最小值；通过平移直线可知当直线过时，截距取最小值；求出点坐标后代入即可得到所求结果.

【详解】解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：设，

当取最小值时，在轴截距最小由

平移可知，当过图中点时，在轴截距最小

由得

故选：B

8.D

【分析】根据三视图画出直观图，进而求出该几何体的表面积即可.

【详解】该几何体的直观图为如图所示的正四棱锥，且，其中于，故表面积为.

故选：D.

【点睛】本题考查三视图，考查几何体表面积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.

9.D

【分析】根据三角函数部分图象求出解析式，利用三角函数的性质即可求解.

【详解】由题意可知，，

，解得，

所以，解得，

将代入中，得，解得，

因为，所以，

当时，，

所以的解析式为.

对于A，，所以点不是的对称中心，故A错误

对于B，，所以直线不是的对称轴，故B错误；对于的图象向右平移个单位得的图象，故C错误；

对于，当时，，所以在区间上单调递减，故D正确.

故选：D.

10.B

【分析】根据题意，得出方程，求得，结合离心率的定义，即可求解.

【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，

又由圆的圆心为，半径为，

因为一条渐近线被圆所截得的弦长为，

可得，所以，即，

所以.

故选：B.

11.A

【分析】先利用题给条件求得之间的关系，再利用均值定理即可求得的最小值.

【详解】由可得，

，

即，则，

则

（当且仅当时等号成立）故选：A

12.C

【分析】根据奇偶性和单调性作出函数草图，借助图形分段讨论可得.

【详解】因为函数满足对任意的，都有，所以在上单调递减，

又是定义在上的偶函数，所以在上单调递增，

又，所以，作函数的草图如图，

所以，当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当或或时，.

综上，不等式的解集为.

故选：C.

13.

【分析】根据复合函数单调性和定义域得到，计算得到答案.

【详解】根据复合函数单调性知：需求单调递减区间，且

则

故答案为：

【点睛】本题考查了复合函数单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.

14.

【分析】利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系，利用正弦定理将角化为边，再利用余弦定理求出的余弦，即可求出角.

【详解】向量，若，

，

由正弦定理知：，即，

由余弦定理知：，

.

故答案为：

【点睛】本题考查向量平行的充要条件和三角形的正弦定理余弦定理的应用，属于基础题型.

15.10

【分析】验证时不成立，再由等差中项可得，利用等比数列的前项和公式得到，由，代入即可求出答案.

【详解】由题知：.

当时，显然不成立，

当时，，

整理得：.

，故.

故答案为：10

16.

【分析】分析点在抛物线外部，再由抛物线定义知，转化为求的最小值问题，利用三点共线可得解.

【详解】因为，所以点在抛物线外部，

设抛物线焦点为，则，准线方程为，

由抛物线定义可知，，

，

当且仅当点三点共线时，的值最小，且为

，此时为与抛物线的交点，

的最小值为.

故答案为：

17.（1）

（2）

【分析】（1）由正弦定理角化边得，再根据余弦定理可求出结果；

（2）根据三角形面积公式求出，由配方得，再将代入求出可得结果.

【详解】（1）因为，

所以由正弦定理得，

所以，

因为，所以.

（2）因为，所以，

由（1）知，，

所以，

所以，

所以，所以，

所以的周长为.

18.（1）证明见解析

（2）

【分析】（1）先由面面垂直的性质定理证明平面，再由线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理证明即可；

（2）先由面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理证明平面，通过线面平行把距离转化为点到平面的距离，利用等体积法求解即可.

【详解】（1）因为为中点，所以.

又，平面平面，平面平面，

所以平面.又平面，所以.

因为平面，所以平面，

又平面，所以.

（2）因为是边长为2的正方形，所以，

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面，故，同理可得.

因为平面，所以平面.

连接与交于点，连接，则为的中点，

因为为的中点，所以.

因为平面平面，所以平面，

所以点和点到平面的距离相等.

又，由（1）知，易得，

所以.设点到平面的距离为，

则，解得，所以点到平面的距离为.

19.（1）列联表见解析，有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关

（2）

【分析】（1）根据题意，得出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到结论；

（2）根据题意，得到男，女人数之比为，用分层抽样方法得到男生有4人，女生有1人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】（1）解：由题意知，学生共200人，则男生人数为人，本专业男生人数为人，非本专业女生人数为人，

故列联表如下：

本专业非本专业合计

女生701080

男生8040120

合计15050200

所以.

因为，

所以有的把握认为选修A课程的是否为本专业学生与学生性别有关.

（2）解：样本中为“非本专业”的学生有50人，男女人数之比为.

用分层抽样方法从中抽出5人，男生有4人，记为，女生有1人，记为，从这5人中再随机抽取3人，有，，共10个结果，其中3人都是男生的结果有4个，所以3人都是男生的概率为.

20.（1）

（2）

【分析】（1）求出点的坐标，根据可得出关于的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值；

（2）由（1）可得出椭圆的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，利用三角形的面积公式可求得的值，即可得出椭圆的方程.

【详解】（1）解：将代入椭圆的方程可得，解得，

因为直线的斜率为，易知点，

所以，，所以，，

等式两边同时除以可得，

因为，解得.

因此，该椭圆的离心率为.

（2）解：由（1）知，，故椭圆方程为，由题意，则直线的方程为，

联立，消去并化简可得，显然，

设点，解得或，

故点，

所以，，解得，

因此，椭圆的方程为.

21.（1）极大值为-3，无极小值

（2）

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定函数的极值情况；

（2）将问题化为，构造并用导数研究单调性得到恒成立，再构造，利用导数求其最大值，即可得参数范围.

【详解】（1）当时，

则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时取得极大值，，故的极大值为-3，无极小值.

（2）由，可得，则，即

.

令，则，

因为在上单调递增，所以，则.

令，则，

在上单调递增，在上单调递减，即

，

所以，则的取值范围为.

22.（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；

（2）

【分析】（1）由已知结合参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标方程的互化即可求解；（2）首先得到直线参数方程的标准形式，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，然后结合直线的参数方程中参数的几何意义可求.

【详解】（1）直线的参数方程为（为参数）消去参数可得，即直线的普通