几种常用辅助线的做法

PAGE6常见辅助线的作法有以下几种：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．倍长中线法有以线段中点为端点的线段、有三角形中线时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例1.在△ABC中，已知AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD例2.CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD。例3.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．例4.如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

二、截长补短法

例1、如图，已知在ΔABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AC=AB+BD练习、如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.例2、如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且.(1)求证：与互补；(2)若，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明。六、全等三角形综合练习例1、如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC.M是BC的中点，ME∥AD交AB于F，交CA延长线于E，AB>AC，求证：BF=CE.例2、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数例3、（1）如图，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

例4、如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．例5、如图1，在△ABC中，,的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线于，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：BN=CD(2)当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系练习、已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且,,,直线与相交于点．（1）如图①，若,则=;如图②，若,则=