2022-2023学年北京海淀区清华附初二（上）期中数学试卷及答案

2022北京清华附初二（上）期中数学一．选择题（本大题共30分，每小题3分）1.第届冬季奥林匹克运动会，将于年月日～2022年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.下列计算正确的是（）A.a+a2=a3B.a3a2=a6()2D.−2a)(2a3=a6=−4a2C.3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠＝°，平分∠ABC交于点D，则∠CDB等于（）A.°B.°C.75°）D.85°4.x22mx9是完全平方式，则的值为（++m63A.6B.C.3D.5.一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7，则此三角形的周长为（）A.cmB.17cmC.7或13cmD.不确定6.设am=，an=8，则am−n的值是（）A.2B.8C.24D.7.如图，已知直线是线段的垂直平分线，∠APC＝°，则∠＝（）A40°B.°C.55°D.60°8.在下列各式中，能运用平方差公式计算是（A.(a-b)(b-a)B.(a-1)(-a+1)）C.(2a-b)(a+2b)D.(-a-b)(-b+a)9.1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（）(a−2=a2−6a+9B.(a+(a+3)(a−=aD.2=a2+a+9A.C.a(a+3)=a2+a2−910.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△为等腰三角形，所有符合条件的点C有（）A.3个C.5个B.4个D.6个二．填空题（本大题共16分，每小题2分）(−)=1，则a需要满足的条件是a0若a2______．12.一个等腰三角形，它的顶角度数是一个底角度数的4倍，它的底角是______°．13.xa=7，xb=3，则xa+b=______．中，和CD分别平分和14.D作∥，于点E，F，若=3，=4，则线段的长为______．1202215.求值：2022−3.14)=______．016.点M(a，与点N(-3b)关于y轴对称，则2a-b=______．17.如图，在Rt△中，∠ACB=90°CD于D，∠BCD=50°B对称点是，则∠ACE=______°．+与x+3相乘所得的多项式中不含x的一次项，则m=18.若关于x的多项式2xm______．三．解答题（本大题共54分，第19题16分，第20~21题每题4分，第22~23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题8分）19.2x2(x2−3x−2)（1）；（2）(x−2)(x−5)；（3）m3−m)+mm；2（4）(a+b−2a−b+2)．)(=D，=中，与交于点EA，求证：20.如图，在与=．(−)2−(2x+3)(2x−3)+3x(x+2)，其中x=5．21.先化简，再求值：x2(−)(−)(−)A4B1C3，．22.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，（1）的面积是______；△ABC△ABC△ABC与关于x轴对称，请在坐标系中画出111222y（2）已知与关于轴对称，111△ABC△ABC；2和11122△PA1B周长最短，请画出点P2y（3轴有一点P，使得x−y和x+y2=34，x+y=2，求值．223.24.在等边中，D为直上一动点，以为边在的右侧作等边，连接．=（1）如图，若点D在线段上，求证：；=7，=3，直接写出CD（225.先阅读下面材料，再解决问题：的长度．已知x2+bx+c=0，在求关于的代数式的值时，可将xbx+c=0变形为x2x2+=c，就可以将x表示−2x为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”．(+)2+2x−4=0，求代数式xx4的值．2例如：已知x解：∵x2+2x−4=0，∴2x=−2x+42x4x4=(−+)(+)=−2x28x4x−++=2x2−4x+∴原式=−(−+)−22x44x4x−8−4x8+=+=(+)=x48x2∴请用“降次代换法”，完成下列各小题：(+)(−)x4x3（1x（2x2+x−150，则代数式=的值为______；()(+x7x−))(xx2+5x+2+5x+1=0，则代数式的值为______；（3）已知x2+2x−1=0，求代数式2x4+8x3+12x+8x+3的值．2=至D=的右侧作线段26.在AE=AB接交于点P．（1）如图，在线段上取点Q，使=，连接=，求证：；AQ（2）若=，依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．四、附加题（本题共分，第、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）27.−2021=______．28.如图，在2中，，==，平分交于点D，点E是上一动点，以为边向上作等边．则=______°，连接29.定义一种新运算(b)ac(b)=()=()=()+()=x)57，=bc83814，则的值为______x．=，B=，=2，D为上一动点，垂直平分分30.如图，△中，EF的最大值为____．别交于、交于，则P为点A31.及其内部任意一点PP且(40)．关于的“邻近点”．在平面直角坐标系中，点M坐标为（1）如图，点在x轴上方，若N为等边三角形，(−)()()中，点O①在点Q0Q1Q2，，关于的“邻近点”是______；123②已知点Q是点O关于Q的横坐标为1长度的取值范围是______；（2）已知点N的坐标为(4)，①若n=4，在图中画出所有点M关于的“邻近点”组成的图形；1n9m的“邻近点”中有个整M关于m点，请直接写出所有可能取值的和为______参考答案一．选择题（本大题共30分，每小题3分）1.【答案】D【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．2.【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐项判断即可得．【详解】解：A、与a2a2不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；B、a3a2=a5，则此项错误，不符合题意；=a6，则此项正确，符合题意；()a23C、(−)=4a2，则此项错误，不符合题意；2D、2a故选：．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．3.【答案】C【解析】【分析】由ABAC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C，再根据三角形内角和定理得到∠ABC==（180°﹣40°）÷2=70°，然后利用角平分线的定义求出∠DBC，最后根据三角形内角和定理可求出∠BDC．【详解】解：∵ABAC，∴∠ABC∠，∵∠A=40°，∴∠ABC∠（180°﹣40°）÷2=70°，而为∠ABC的平分线，12∴∠DBC=×70°=35°，∴∠BDC=180°﹣70°﹣35°=75°．故选：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握定理和性质．4.【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式的特点即可求解．【详解】解：已知x22mx9是完全平方式，++m=3或m=3，D故选：．【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．5.【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义分类讨论、再用三角形的三边关系判断，最后求周长即可；【详解】解：①当3为底时，则7+3＞，故腰为，则周长为7+7+3=17；②当7为底时，则3+3，不能构成三角形；故答案为B.【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解答本题的关键.6.【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂除法的逆运算法则计算即可．amn8am−n===2．【详解】解：a故选A．【点睛】本题主要考查同底数幂除法的逆运算．掌握同底数幂除法的逆运算法则是解题关键．7.【答案】A【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PB，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可．【详解】是线段的垂直平分线，∴PCAB，＝PB，∴∠B＝∠，∠PCA90°，∵∠APC＝50°，∴∠B＝∠＝90°﹣∠APC＝40°，故选：．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角．8.【答案】D【解析】【分析】运用平方差公式（a+ba﹣=a2﹣2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．【详解】A（aba）中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；Ba－a+1）中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；C2aba+2b）中不存在相同和相反的项，故不能用平方差公式计算；D－bb+）符合平方差公式．故选D．【点睛】本题考查了平方差公式应用，熟记公式是解题的关键．9.【答案】D【解析】【分析】用代数式分别表示图、图2阴影部分面积即可得出答案．【详解】解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−32=a−9，2(+)(−)a3a3图2是长为＋3a的长方形，因此面积为，∵两个图形阴影部分面积相等，(+)(−)=a3a3a2−9D正确．∴故选：D．【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，用代数式表示两个图形中阴影部分的面积是正确解答的关键．10.【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：如图所示：1=AB，故为等腰三角形，AC2=BC2，故△ABC为等腰三角形，23=3，故△为等腰三角形，3BC4=，故△ABC为等腰三角形，45=5，故△ABC为等腰三角形，4则一共有5个等腰三角形，故选：．【点睛】本题考查了作图——与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题．二．填空题（本大题共16分，每小题2分）【答案】2【解析】=1成立的条件是a0，列式计算即可．【分析】根据a0(−)=1，0【详解】因为a2a−20所以所以，a2，故答案为：2．=1成立的条件是a0是解题的关键．【点睛】本题考查了零指数幂的意义，熟练掌握a012.【答案】30【解析】【分析】设这个等腰三角形的底角度数为的等式，解出x即可．x(4x【详解】解：设这个等腰三角形的底角度数为x，则它的顶角度数是(4，由三角形内角和定理可得：x+x+4x，=解得：x，=∴它的底角是．故答案为：30．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的实际应用．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题关键．13.【答案】【解析】【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解．【详解】解：∵xa=7，xb=3，∴xa+b=xaxb=73=21．故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．14.【答案】7【解析】==BCD．根据角平分线的定义可得出【分析】由平行线的性质可求出，FDC=，FCD====，BCD=，最后即可求出的长．∥【详解】解：∵，=，FDC=BCD．∴∵和CD分别平分和，==BCD，∴，FCD=，=∴，==，∴，∴=+=+=3+4=7．故答案为：7．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定．能结合角平分线的定义和平行线的性质证明与15.是等腰三角形是解决此题的关键．【答案】2022【解析】1【分析】先将原式中的改为20222021和计算零指数幂，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．12022【详解】2022−3.14)0=202220221=1=故答案为：2022【点睛】本题考查同底数幂的乘法，负整数指数幂和零指数幂．根据逆用负整数指数幂得出同底数幂的乘法是解题关键．16.【答案】1【解析】【分析】直接利用关于y轴对称点的性质，即横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出b的值，再利用有理数的运算法则求出答案．【详解】解：∵点（a5（−3，）关于y轴对称，∴a＝，＝5，∴2−b2×3−5＝．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出b的值是解题关键．17.【答案】10【解析】【分析】根据=，=，求出=，根据对称的性质得到==，即可求出的度数．【详解】解：∵=，==∴∵B关于CD对称点是E∴==∴=−=故答案为：10【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算、轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解答本题的关键．18.【答案】-6【解析】【分析】先根据多项式乘以多项式法则计算，即可确定一次项，再根据一次项的系数=0，求出答案即可．+m)(x+==22+++++m+3m．因这个多项式不含有一次项，6+m=0所以解得，m=6．故答案为：．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式法则，理解多项式中不含有某一项是指该项的系数为0是解题的关键．三．解答题（本大题共54分，第19题16分，第20~21题每题4分，第22~23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题8分）19.）2x4−6x3−4x2（2）x2−7x+10（3）4m2−2m+1（4）9a2−b+b−42【解析】）根据单项式乘多项式法则计算即可；（2）根据多项式乘多项式法则计算即可；（3）根据多项式除以单项式法则计算即可；（4）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可．【小问1详解】2x2(x2−3x−2)解：=2x4−6x3−4x2；【小问2详解】解：(x−2)(x−5)=x−7x+102；【小问3详解】解：m3−m)+mm2=4m2−2m+1；【小问4详解】解：(a+b−2)(a−b+2)=+−−−abab=9a=9a=a222−b−2)−b−b+4)−b+b−4222．则是解题关键．20.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据两个三角形全等的判定定理找到条件即可得出结论．和中，【详解】证明：在ACB=DBCA=D=，≌DCB(AAS)，∴∴=．【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握判定两个三角形全等的条件是解决问题的关键．21.【答案】2x，23+【解析】【分析】根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将x=5代入化简后的式子求值即可．【详解】解：x22x32x33xx2(−)−(+)(−)+(+)2=(x2−+−4x4)(2x)2−+9(3x+6x)2=x=2x+x=5代入2x+，得：原式=25+=2−4x+4−4x2+9+3x2+6x将．【点睛】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解题关键．22.）4（3）见解析【解析】（2）见解析S=S−S−S−S）根据求解即可；（2）根据轴对称的性质作图即可；ABAB与y轴的交点即为点P．2（3）根据轴对称的性质可连接，则2【小问1详解】如图，S=S−S−S−S∴，111=ADAF−ADCD−AFBF−BECE222111=33−31−31−2222233=9−−−222=4．故答案为：4．【小问2详解】△ABC△ABC即为所作；2如图，和11122【小问3详解】如图，点P即为所作．【点睛】本题考查利用网格求三角形面积，作图轴对称变换，轴对称的性质．利用数形结合的思想是解题关键．23.=，x−y=8【答案】【解析】=，再利用完全平方公式求得(x−y)=642【分析】先利用完全平方公式变形求得即可．x+y=2【详解】解：∵，(x+y)2=4x2+y+2=4．2∴∵，即x2+y=34，2∴34+2=4，=解得：．∵∴(x−y)2=x2+y−2=34−2(=64，2x−y=8．【点睛】本题考查了完全平方公式以及平方根，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．24.）证明见解析（2）CD4的长度为或．【解析】1==,=AC,=AE,根据证明S)，≌则结论得证；（2）分三种情况，当D在线段上时，结合（）可得答案，当1D在的延长线上时，如图，证明在的延长线上时，如图，可得此情况S)D≌，利用全等三角形的性质可得答案，当不符合题意，从而可得答案．【小问1详解】证明：∵都为等边三角形，==,=AC,=AE,∴∴=，=在△和=CAE,中，=≌S)∴∴，=.【小问2详解】==7,CE==上时，由（）得：当D在线段1∴=7−3=当D在的延长线上时，如图，∵∴∴都是等边三角形，AB=AC=BC=7,AD=AE,BAC==,=，=在△和=CAE,中，=≌S)∴∴，=CE=∴=+=7+3=当D在的延长线上时，如图，=CE==7,此时不符合题意，舍去，同理可得：综上：CD而4的长度为或．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．25.）3（3）9（2）−8【解析】(+)(−)x+x=再计算x4x3，再整体代入即可；2）先由条件变形可得()()()()x12+5x+x+7x−1（2x2+5x=xx化为−+x2−x+7x7−后再整体代入即可；（3）先由条件变形可得【小问1详解】x2=1−2x,再连续降次代入2x4+8x3+12x+8x+3即可得到答案．2x2+x−15=0，解：∵∴x2+x=(+)(−)x4x3∴=x−3x+4x−122=x+x−122=−=故答案为：3.【小问2详解】∵x2+5x+1=0，x2+5x=∴∴(+5x+x+7x−))()(xx2=(−)+−+x1x2x7x7−=x2+5x−7=1−7=故答案为：【小问3详解】∵x2+2x−1=0，∴x2=1−2x,∴2x4+8x3+12x2+8x+3=(−)212x2+(−)+(−)+8x12x1212x8x3+8x−16x+−24x+8x+3−16x+17+=2−8x+8x22=−8x2812x16x=−(−)−+=8+16x−16x+=9.【点睛】本题考查的是降次代入求解代数式的值，完全平方公式的应用，整式的乘法运算，熟练的使用降次代入即整体代入求解代数式的值是解本题的关键．26.）见解析（2）补全图形见解析，=+【解析】=1）根据线段垂直平分线的性质可得出，从而可得出=．再根据等边对等角可，即得出ADP=AEQ)=，从而得出得出，即易证；．由（）所证AP=PQ，最后即可证（2）根据题意可求出BAC=EAQ，从而得出PAQ=60=，DP=EQ，从而即得出为等边三角形，推出PE=PQ+=PA+PD．【小问1详解】=，=证明：∵，∴．=∵AE=AB，∴，=ADP=AEQ∴．=又∵∴，)，=∴；【小问2详解】解：如图，即为补全的图形．∵，=∴=．又∵==，=∴∵∴∴．，DAC=EAQ，DP=EQ，BAC=EAQ．∵==+，∴+=，即PAQ60=．=由（）可知∴，为等边三角形，AP=PQ∴∴，PE=PQ+=PA+PD．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质．根据题意找出能证明解题关键．的条件和能证明为等边三角形的条件是四、附加题（本题共分，第、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）27.【答案】1【解析】211−(−)(+)【分析】将原式变形为，再利用平方差公式化简即可．−(−)(+)211()−−1=1，22【详解】原式=故答案为：1．=【点睛】本题考查平方差公式的运算，解题的关键是对算式进行准确变形运用平方差公式进行计算．28.【答案】30【解析】【分析】连接并延长交G，根据等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，得到1EB=EFEC，从而得到=，计算即可．2【详解】解：连接并延长交于点G，=，=平分，因，BD=DC,BC所以，所以直线是线段=的垂直平分线，所以；因为是等边三角形，=所以，所以，=所以∠EBF=∠EFB,∠EBC=∠ECB，所以=+=++++∠=∠=∠22，1=所以，2因为是等边三角形，所以，=所以CBF30．=故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握上述基本性质是解题的关键．29.【答案】35【解析】()+()=+57mnm+n=(3x)，【分析】设3m=5，3n=7，根据新定义运算的法则可知，即得出从而再根据新定义运算的法则得出3m+n=x，最后根据同底数幂乘法的逆运算计算即可．()+()=+，则57mn．【详解】设3m=5，3n=7m+n=x)∴，mm++nn==x．∴3∵33m3n=57=，∴x=．故答案为：35．【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关键．30.8【答案】．3【解析】【分析】以F为圆心，AF为半径作一个圆FAF逐渐增大时，到值，即最大值，计算即可．与BC相切时，即为AF【详解】如图所示：本题实际上相当于，以F为圆心，AF为半径作一个圆F，当与相切或相交时，使AF=DF=半径，据题意，当AF逐渐增大时，到即为AF最小值，即BF最大值，与BC相切时，⊥2=，此时，，，:=1:2∴∵∴=，B==2，，=2=4，2283==4=∴，3383故答案为：．【点睛】本题主要考查了在直角三角形的基础上，作出以点F为圆心，圆的综合题目，读懂题意是解题的关键．31.）①2；②02．（2）①画图见解析；②【解析】）①根据“邻近点”的定义可直接判断点Q不是点O关于的“邻近点”；分别计算12O2N2MO3N3M的长，再根据“邻近点”的定义判断即可；②设Q，t)，，，，，，和QN分别求出，的长，再根据“邻近点”的定义即得出关于的不等式，解出即可．tt（2）①由图可知PM2．根据“邻近点”的定义即得出关于N(44)，M(40)．设点PM关于的“邻近点”．分别求出OP，，22xPyxPy和即可画图；②设点PMP和的不等式，解出P关于解．的“邻近点”．根据“邻近点”的定义可求出2xP9，0yP4．再画出图形即可求【小问1详解】(−)①由图可知点Q0在外部，1∴点Q不是点O关于的“邻近点”；1()M0∵，为等边三角形，∴===4，1x=OM=2∴，N2y=