2022-2023学年北京海淀区高三(上)期中数学试卷及答案

2022北京海淀高三（上）期中数学150120分钟考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.U=xxAx2x3=1.已知全集，集合，则（）(0,2(2)A.C.B.(+)()(+),2,2D.2.在同一个坐标系中，函数y=ax与y=ax(aa1)且的图象可能是（0）A.B.C.D.3.已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则ab=（）−4D.−42A.4B.42C.和等比数列满足=，==，=，则公比为（）anb1b122248b4.若等差数列A.2nn−24D.B.C.4a,bab，则下列不等式中正确的是（5.已知实数满足）ababB.A.C.a2abD.abb235与角均以终边关于直线y=xsin=，6.在平面直角坐标系cos=则（）45433A.−B.C.D.555()．甲同学将()的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将()的图象上fxfx1fx恰好重合，则下列给出的fx7.已知函数所有点的横坐标变为原来的符合题意的是（112()中C．若C与C221）()=fx1x()=fxlog2xA.C.B.2x1f(x)=2x()=D.fx2()=fxaexbe−xab0+()，则“a+b=0”是“()为奇函数”的（）fx8.已知函数A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件xy9.若P是内部或边上的一个动点，且=xAB+yAC，则的最大值是（）112A.B.C.1D.2410.112nn的最小值为（（参考数据：）20.301，30.477）A.9B.10C.11D.12第二部分（非选择题二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.共分）=−，则z=若复数z1i．__________1x−1()=12.fx+x的定义域是____________.()，=(+)．若存在实数，使得a与的方向相同，则的一个取值为xtbabx,tx213.已知向量__________．πgxx()=fxsin+)和()=2(+)−2(+)的图象的对称中心完全重合，sinxx014.若函数6π6则==g__________；__________．−2+ax+x1x()=fx15.已知函数．ax,x1f(x)①当a1时，=极值点个数为__________；②若()恰有两个极值点，则的取值范围是__________．fxa三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.的前项和为(==，Sn)，且a2=ann3S525．16.已知等差数列n（1）求的通项公式；an（2）等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得q的每一项都是中bnbann()，求的式子表示）的项．若bak,m=Nmkkmq；条件③：q=3．条件①：注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分．fx2sinxx2cosx1q=−1；条件②：()=+2−．17已知函数πf−（1的值；4（2()的最小正周期；fxπ（3()在区间fx上的最大值和最小值．213()=18.已知函数fxx3−x2．（1()的单调区间；fx43()在区间(−mfx上的取值范围是−,0m（2，求的取值范围．19.某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观测站A和，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得BAC=30，ABC=60，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得BAD=75，ABD=45，D在同一平面内）（1）求△ABD的面积；（2）求点，D之间的距离．fxexasinx()=−20.已知函数．=()在点f(0))fx（1a2时，求曲线=y处的切线方程；（2a1时，证明：函数=y=f(x)−2在区间(π)上有且仅有一个零点；xπ，不等式fx2x()−（3）若对任意21.对于一个m行n列的数表（i=，恒成立，求的取值范围．a(m≥n≥3)a表示数表中第i行第j列的数，i,jAai,j，用mnj=AA满足以下两个条件，则称数表n；，若数表具n有性质()：pta=10j,n=(=)am,j①②，；ji−i+i,2−i1,2++i,n−i1,n=ti=,m−)．（1）以下给出数表1和数表2．数表1100110010数表210011101101010110000（）数表1是否具有性质()？说明理由；p2（）是否存在正整数，使得数表2具有性质()？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由；pt()？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；p6Am2023（2）是否存在数表具有性质（3）给定偶数n(n3)，对每一个t,n−n具有性质mApt，将集合中的最小元素记为()．求()的最大值．ftft参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.+)，A=2,32)【详解】.故选：B.2.【答案】A【解析】y=x【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于对称可确定结果.y=axy=x与ya图象关于=x对称，【详解】由指数函数和对数函数性质可知：由选项中图象对称关系可知A正确.故选：A.3.【答案】C【解析】a,b,a,b【分析】由图形可求得【详解】由图形可知：，由向量数量积定义可求得结果.=22，b2，a,b=+=a222，2442ababab42−=−4.2故选：C.4.【答案】B【解析】a=b=−1【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得.11【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，anbna=8=a+2d=2+2d则，42所以d=3，a=b=2=a+3a=b=−1，∴，221112b1q==2.所以故选：B.5.【答案】A【解析】aa【分析】由A正确；通过反例可知BCD错误.（当且仅当a0ab【详解】对于A，，A正确；=−1，b=2aabB对于Ba对于Ca时，时，，错误；=−1，b=22=1，ab=2a2ab，则C错误；对于Da=1，b=2时，ab=2，b2=4，则abb2D.故选：A.6.【答案】D【解析】【分析】根据对称关系可得+=+2k(kZ)，利用诱导公式可求得结果.2y=x+2k(kZ)，+=2+2k=【详解】的倾斜角为，与满足4422235=+2k−=−=sin=.故选：D.7.【答案】B【解析】【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即可.()+=+()==+=−C:fx1x1C:f2x2xx2x1【详解】对于A，，A错112212121212误；C:fx+1=x+1C:f2x2xx2x+1，正确；B()()==+=对于B，对于C，，1222222C:fx+1=2()x+1C:f2x22x=4x，错误；C()=，12x2xx121214()+=+()==对于D，C:fx11，C:f2xD错误.12故选：B.8.【答案】C【解析】a+b=0可得()由此可构造方程求得a+b=0，知必要性成立，由此可得结论.()为奇函数可知(−)=−()，fxfxfxfx【详解】当a+b=0时，()fxae=x−ae−xf(−x)=ae−x−ae=−f(x)，xfx为奇函数，充分性成立；当()为奇函数时，由(−)=−()得：fxfxfxae−xbex+=−aex−be−x，a=−b，即a+b=0，必要性成立；()为奇函数”的充分必要条件.“a+b=0”是“fx故选：C.9.【答案】A【解析】【分析】由题设及向量的线性关系知x+y1，且0x,y1，再应用基本不等式求最大值，注意取值条件.【详解】由P是内部或边上的一个动点，且=xAB+yAC，所以x+y1，且0x,y1，(x+y)2141由x=y=，当且仅当时等号成立.42故选：A10.D【解析】n2n32n993100的线段长度总和为1，由−1−，结合对数运算可解不等式求得，由此可得结果.n11.412【详解】第1次操作，去掉的线段长度为；第2次操作，去掉的线段长度为；第3次操作，去掉的线39n1412n段长度为，依次类推，可知第次操作去掉的线段长度为33，即每次去掉的线段长度成等比数列，n13231−n2第n次后，去掉的线段长度总和为，=1−321−32n9931002n1由1−得：，31001lg10022n=−=−−11.42323−−1002lg30.3010.477，n的最小值为12.故选：D.第二部分（非选择题二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【答案】5共分）【解析】【分析】由共轭复数概念写出z=1+，再求其模长.z=1+4=5【详解】由题设z=1+，则.故答案为：512.【答案】()+).【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.x−10【详解】由题意得，x0()0,1故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13.【答案】0（答案不唯一，小于1的实数均可）【解析】21−t=a()x==，由0可求得满足题【分析】由两向量同向可知b，由此可构造方程组求得t意的的范围，进而得到结果.x=21−t=()ba0x==，【详解】与b方向相同，，，tx+2=21−t0得：t1，由==存在实数t0，x2，使得a与b方向相同.故答案为：0（答案不唯一，小于1的实数均可）.14.【答案】【解析】①.2②.1或1g(x)=cos2(x+)，由对称中心完全重合知两函数最小正周期相同即可确定π【分析】由题设，进而求f(x)的对称中心代入g(x)求，注意讨论参数，最后求出对应.g6g(x)=cos2(x+)−sin2(x+)=cos2(x+)，与()的对称中心完全重合，fx【详解】由π6所以两函数的最小正周期相同，故=2，则f(x)=sin2x+，πππππ2x+=πkZx=−kZ(−,0)且kZ，令且，故且，则对称中心为6212212πππππ−++)=cos(π−+)=0π−+=kπ+k1Zcos2(所以=，故且，则1212662(1−k)ππk−kZ，，123πππ6k−k=0，此时=g(x)=2(x+)g=π=−1；令令，所以，故133π5ππ6k−k=1，此时=1g(x)=cos2(x+πg=cos2π=1；)，故，所以66g=1.由余弦函数的周期性、对称性知：6故答案为：2，－1或1①.2②.(0,2)15.【答案】【解析】1()和x=1是fx()fxx=2此可得极值点个数；a②验证分段处函数值可知()为连续函数，根据一次函数和二次函数单调性可确定x=1和x=必为fx2a()1()在(+)上单调递fxfx2增，即a0；由此可得的范围.a−++2xxx1【详解】①当a=1时，fx()=；x,x11x，连续函数；1212−,,+)上单调递增，在(在,1上单调递减，12f(x)()fx的极值点个数为2；x==和x1是的极值点，即为连续函数，ax②，()为单调函数，axx1在(+)上无极值点；fx又f(x)=−x2+ax+1在(−)上至多有一个极值点，,1aax=1和x=必为f(x)的两个极值点，1，解得：，a222a2又()在(+)上单调递增，a0；fx,1上单调递减，x在综上所述：实数的取值范围为()0,2.a故答案：(2).【点睛】易错点睛：本题考查函数极值点的定义、根据极值点个数求解参数范围的问题；本题易错的点在a于根据极值点个数求解参数范围时，确定x=1和函数单调性需发生改变，导致丢失a0的范围.x=为()的两个极值点后，忽略在极值点左右两侧fx2三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.a=2n−1n16.）（2）见解析【解析】a）利用等差数列求和公式和通项公式可求得公差d，进而得到；n（2）利用等比数列通项公式可得b，由b=a可得kmm与k之间关系；若选条件①，可知当k为偶数时，n3k−1+1m=0mNm=mN，2由此可得结果.【小问1详解】设等差数列的公差为d，an(+)51a5=d3a2−=2=53=25a=53，解得：，，2=+(−)=+(−)=ana2n2d32n22n1−.【小问2详解】若选条件①，n=(n1，k=(−)1，又am=2m−1，k(−k11+1b=akk1m=2m−1=(−)由得：m；2−1+1m==0当k为偶数时，，不符合mN，则不能选择条件①；2若选条件②，n=2n1k=2k1，又，a=2m−1m，2k−1+1；b=ak−=k1m=得：2m12m由2当k1且kN时，2k1+1为奇数，则mN，不合题意，则不能选择条件②；若选条件③，n=n13k=k1，a=2m−1，又，m3k−1+1b=ak−=k1m=得：2m13m由；2N时，k1+1为偶数，mN，满足题意；当k3k−1+1综上所述：m=.2π（2）；17.）-；（3）最大值为2，最小值为1．【解析】）自变量直接代入求值；（2）应用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由正弦型函数性质求最小正周期；（3）利用正弦型函数性质求区间最值即可【小问1详解】πf−π4π4π42222+2−1=−1．=2sin−−+2cos2−−1=2−4222【小问2详解】πfx=sin2x+2x=2sin2x+由题设()．42π所以()的最小正周期为T=fx=π．2【小问3详解】πππ5π因为0x，所以2x+，2444πππf(x)时，取得最大值，2x+=x=当，即428ππ所以()在区间=2；fxf上的最大值为2x=π8π5ππ2x+=时，()取得最小值，fx当，即442π所以()在区间=−1．fxf上的最小值为2218.）单调递增区间为(,0)，(2,+)；单调递减区间为(2)（2）2,3【解析】）求导后，根据()的正负即可确定()的单调区间；fxfx4()=−fx()=fxm(−1,2)m2,3m+)、和的0x（）分别令，可求得的临界值，分别在3情况下，根据值域确定满足题意的范围.【小问1详解】由题意知：()定义域为R，fxfxx22x=x(x−2)()=−，x(−,0)x(2)(x)当时，f；当时，f0；的单调递增区间为(,0)，(2,+)；单调递减区间为(2).【小问2详解】143()=fxx3x2−=−−+=(+)(−)=0，233x24x1x2由得；x3解得：x=−1或x=2；112()=fxx3−x2===()=−=−0x0x3f11由得：或；；33343m(−1,2)()()=−fxf2①当时，，不合题意；4−,0f(2)≤f(x)≤f(0)f(x)，即m2,3时，②当③当值域为，满足题意；3m()时，fm()()=0，不合题意；f3m综上所述：实数的取值范围为3.();36+123km219.）（2）215km．【解析】）由正弦定理求得AD的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出AC和，由余弦定理即可求得答案.【小问1详解】在△ABDBAD=75，ABD=45，所以60．=sin60==由正弦定理：，得，sin452sin45sin6023AD=AB=12=46(km),所以223126+2sinsin75sin45==(+)=+=，2241216+2所以△ABD的面积为S【小问2详解】()36+123km2．=ABADsinBAD=1246=24由BAC=30，ABC=60，得CAD=45，且ACB=90,AC=12cos30=63．在中由余弦定理，得2CD2=AC2+AD2−2ACADCAD=363+166−26346=60,2=()CD215km．所以即点CD之间的距离为215km．x+y−1=020.）；（2）证明见解析；3）(−.【解析】()f0()=1可得切线方程；f0）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合gx=fx−2（2）令()()gx0，由此确定gx()()(π)，求导后可知在上单调递增，结合零点存在定理可得结论；hx=fx−2+xh(x)a0时，h(x)（）()()0a1()在(x)h(x)h(0)=0hx0h(x)h(0)0=，知单调递增，满足题意；当a()hx题意；当a1时，可得=1时，采用放缩法得hxexsinxcosx−2，结合a=1时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果.()−+【小问1详解】fxex2sinx()=−，则f(x)=ex2cosx，−当a2时，=f0121，又()=−=−f(0)=1，(())f0=−x+1x+y−1=0.，即fxy在点处的切线方程为：【小问2详解】gx=fx−=a=1时，令()()2esinx−x−2gxex−cosx()=，则；当当xπ()时，exe0=1，x1，即gx()0，()gx(π)上单调递增，又()=−=−，()=−g01210gπe20，()gx在(π)上有唯一零点，即()−在(π)上有且仅有一个零点.fx2【小问3详解】hx=fx−2+cosx=e−asinx+cosx−2，令()()xxπ，()恒成立；又()=hxhxexacosxsinx，0−−则对任意tx=hx令()()，则t(x)=exasinxcosx；+−当a0时，若xπ，则exe0()π上单调递增；=1，cosx1，sinx0，tx()在π0hx在上恒成立，则()=−()=+，①当a1时，h01a0hπeπa0，(π)xh(0)=0，且当x(x)h(x)0时，，，使得00()(x)hx()()=hxh00，不合题意；在上单调递减，此时0h(x)=e−sinx+cosx−2；x②当a1时，=xπ()时，()()=hxh00，则()πhx当在上单调递增，()()=hxh00恒成立，满足题意；hxexasinxx−2esinxx−2，()=−+x−+1时，③当axπ，h(x)exsinxx−20，满足题意；−+由②知：对任意a综上所述：实数的取值范围为(−,1.【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求解切线方程、函数零点个数问题、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为含参数函数单调性的讨论问题，进而由单调性和函数最值确定满足题意的参数范围.()）存在．t=3p221.1）数表1不具有性质.（2）不存在，理由见解析（3）n+1．【解析】1t=3时满足条件，即得答案；具有性质()不具有性质()（p21Aptn（2）假设存在m使得数表具有性质()，根据题意可推出任意两行中，1的个数的奇偶性相同，p6Am2023Am2023与数表第一行有2023个，最后一行有0个1矛盾，可得结论；（3m−1行n列的数表Bij列为b=a−aiji=，(mni,ji,jj=，,ft≤n1），在其条件下先证明()+，再证t=n−1时，()+，综合可得，ft≥n1（(−)=+，从而得()的最大值的为n+1．fn1n1ft【小问1详解】（）数表1不具有性质()．p2a−a+2,2−3,2+a2,3−3,3=12．理由：（ⅱ）存在．由图表可知i−i+i,2−i1,2++i,4−i1,4=3i=2,3,4)，故t=3时，数表2具有性质()．pt【小问2详解】不存在数表具有性质()．p6Am2023假设存在m使得数表具有性质()，p6Am2023i−i+i,2−i1,2++−=(=−)．则ii,即在这两行中