核态方程中核态能量密度泛函的解析形式

核态方程中核态能量密度泛函的解析形式

1密度对对称能的密度依赖形式的探索作为核物质研究的中心主题之一，核方程是确定核物质研究的中心主题之一。通过运用不同平均空间的重离子微观输运理论模型的计算结果和实验数据，我们可以间接确定核态方程的形式。在这方面进行了广泛的研究，但很难确定特定的核方程的具体形式，例如，通用对称核方程中对称能元素的密度依赖形式。目前的理论预测，对称能的密度依赖性比密度的依赖性高。另一方面，这种对称能的密度依赖性对许多物理问题（如矩阵爆发机制和中子星冷却速度）的研究有很大影响。因此，正确理解对称能的密度依赖性是当前核物理研究的热点之一。Furnstahl用不同的理论模型和不同的参数计算中子皮厚度,发现原子核的能量密度泛函的对称能项与中子皮厚度之间存在着直接的关联,而且这种关联不论是在相对论模型还是非相对论模型的计算中都保持一致.根据这种关联就能够通过测量原子核的中子皮厚度对核态方程的对称能项作出一定的限制.因此中子皮厚度可作为研究核态方程对称能项的有效途径.2基于密度的泛函和关于核子密度的参数基于Hohenberg-Khon思想的密度泛函理论(DensityFunctionalTheory)被广泛地用于处理多体问题.采用SkyrmeHartree-Fock(SkyrmeHF)的能量密度公式,结合拓展的Thomas-Fermi近似,可以得到能量密度泛函的解析形式.根据变分原理,能量密度泛函对核子定域密度作变分,寻找总能量的最小值,可以确定原子核的基态能量以及相应的基态密度.根据Hohenberg-Khon定理,一旦体系密度确定,体系所有的基态性质即可唯一确定.原子核的结合能是能量密度的积分:E=∫h[ρp(r),ρn(r)]dr,(1)能量密度h包含Skyrme能量密度hsky和质子-质子库仑能密度hcoul两部分:h=hsky+hcoul.(2)Skyrme能量密度是核子定域密度ρq(r),动能密度τq(r),自旋-轨道耦合密度Jq(r)(q=p,n)的泛函:hsky=ℏ22m(τp(r)+τn(r))+t02[(12x0+1)ρ2-(x0+12)(ρ2p+ρ2n)]+t312ρσ[(12x3+1)ρ2-(x3+12)(ρ2p+ρ2n)]+14[t1(12x1+1)+t2(12x2+1)]τρ+14[t2(x2+12)-t1(x1+12)](τpρp+τnρn)+116[3t1(12x1+1)-t2(12x2+1)](Δρ)2-116[3t1(x1+12)+t2(x2+12)][(Δρn)2+(Δρp)2]+12W0[J⋅Δρ+Jn⋅Δρn+Jp⋅Δρp]‚(3)t0、t1、t2、t3、x0、x1、x2、x3、σ是Skyrme力参数,式中最后一项是自旋-轨道耦合对能量的贡献,W0表征自旋-轨道耦合强度.空间一点上核子密度为质子、中子密度在该处的叠加ρ=ρp+ρn.动能密度τ=τp+τn,自旋-轨道耦合密度J=Jp+Jn.库仑能密度是质子定域密度的泛函,我们考虑了交换项的修正:hcoul(r)=e22ρp(r)∫ρp(r)|r-r′|dr′-3e24(3π)1/3(ρp(r))4/3.(4)对于动能密度τq(r)以及自旋-轨道耦合密度Jq(r)(q=p,n)根据拓展的托马斯费米(Extended-Thomas-Fermi)近似,对他们按?h做半经典展开到二阶项,可以写成核子密度ρq(r)及其梯度的泛函:τq(EΤF)=35(3π2)2/3ρq5/3+[136(Δρq)2ρq+13Δρq+16ΔρqΔfq+ρqΔfqfq-112ρq(Δfqfq)2+12ρq(2mℏ2W02Δ(ρ+ρq)fq)2]‚(5)式中的有效质量因子fq源于动量相关的Skyrme势的ρτ项:fq(r)=1+2mℏ2{14[t1(12x1+1)+t2(12x2+1)]ρ(r)+14[t2(x2+12)-t1(x1+12)]ρq(r)}‚(6)对核子密度分布采用Fermi-Dirac分布:ρq=ρq01+e(r-Rq)/aq,待定参数Rq为q类核子的半密度半径,aq为表面弥散参数,中心密度ρq0通过核子数守恒条件由Rq,aq确定:ρq0=Νq/∫dr1+e(r-Rq)/aq.这样能量对密度的变分求最小就转变成在核子数守恒条件约束下,求解能量的最优化问题:∂E∂Rq=0‚∂E∂aq=0.遍寻待定参数Rq和aq,找到使能量达到最小值的Rminq和aminq,即得到核子的基态密度分布,从而通过能量的密度泛函求出原子核的基态能量.这种方法称约束的密度半分法(RDA).对于球对称核,最优化的自变量为:Rp、ap、Rn、an.用这个方法我们检验了一系列有限核的基态能量,核基态密度分布,电荷密度分布均方根半径,质子、中子密度分布均方根半径等物理量,能够很好地再现实验数据,可参看文献.为我们进一步计算丰中子核的中子皮厚度的可靠性提供保证.3密度对对称能在饱和密度的影响对于较重的原子核,由于中子数超过质子数较多,质子运动的位阱更深,虽然它会被质子所受的平均库仑排斥力稍微抵消掉一些,同时由于库仑位垒的影响,在渐近区质子单粒子波函数比中子的衰减得更快,所以在核表面区域中子数与质子数之比大于平均值的N/Z.因此,重核的中子分布的均方根半径稍大于质子分布的均方根半径,在核表面形成所谓的“中子皮”.由于丰中子核的中子皮厚度与核态方程对称能项之间存在直接关联,我们可以从中子皮厚度获取对称能的信息.我们选择了47组Skyrme参数,考查丰中子核中子皮厚度与对称能之间的关系.这47组Skyrme参数按发表时间的先后顺序为:SI、SII、SIII、FitB、SGI、SGII、SkM*、SKT1-SKT9、SkP、Z、Es、Zs、SkMP、SkSC4、SkI1-SkI3、SkI5、SLy0-SLy10、SkM1、SLy230a、MSk1-MSk6、V110、BSk1.非对称无限核物质态方程可以写成经验的展开式:e(ρ,δ)=e(ρ,δ=0)+esym(ρ)δ2+ϑ(δ4)‚(7)e(ρ,δ=0)是同位旋标量部分,esym(ρ)是体对称能,在饱和密度ρ0附近体对称能可展开成:esym(ρ)=esym(ρ0)+L3(ρ-ρ0ρ0)+Κsym18(ρ-ρ0ρ0)2+⋯‚(8)esym(ρ0)是体对称能在饱和密度的大小,即对称能系数esym(ρ0)=as.L=3ρ0(∂esym∂ρ)ρ=ρ0‚Κsym=9ρ20(∂2esym∂ρ2)ρ=ρ0分别是对称能在饱和密度的斜率和曲率.图1是用选定的47组Skyrme参数计算208Pb,112～124Sn的中子皮厚度.圆圈是计算结果,不同方法提取的实验结果分别用实心圆点(反质子湮灭法),五角星(SDR法),空心三角(GDR法),空心方块(质子散射法)表示在图中.中子皮厚度的计算结果明显依赖于所选择的参数,由于实验数据的模型依赖性,大部分参数的计算结果都落在实验预言的范围内.以反质子湮灭法的数据作为参考,对于112,116,124Sn核,SkI1-3、SkI5、SkT4,5(GroupⅡ)参数的计算结果能比较靠近实验值,这几组参数的核态方程的对称能是所有选择的47组参数中最硬的,对称能随密度增大迅速地单调增大,参看图2(b);对于208Pb和120Sn核大部分参数计算的中子皮厚度能够在统计误差范围内与实验数据相符,这些参数是:SkM*、SkP、SLy0-SLy10、SLy230a、SkT1-3、SkT6-9、MSk1-2、SII、SGI(GroupⅠ).从图2(a)我们可以看到GroupⅠ中的Skyrme参数,核态方程的对称能较GroupⅡ的软,除SLy系列的参数外,对称能随密度变化的行为与GroupⅡ的不一样,随密度增大对称能增大到一极大值后开始减小,从某一密度(称为ρneg)开始变为负值.SLy系列参数的对称能随密度增大也是单调增大,但是变化的斜率比GroupⅡ参数的小,对称能稍软.以SDR方法2004年的新数据SDR2作为参考,也有相似的结果,SDR2确定的Sn同位素的中子皮厚度明显比相同分析法提出的较早的结果(SDR1)大,也比其他分析法的实验结果大,只有对称能最硬的几组Skyrme参数GroupⅡ才能再现或靠近SDR2的实验结果.可见即便用同一实验方法,由于在提取中子皮厚度时是模型相关的,对不同核体系的中子皮厚度所提供的核态方程的对称能的信息却很不相同.图3给出计算的124Sn、208Pb、48Ca、96Zr、18O的中子皮厚度与对称能系数as,对称能在饱和密度附近的斜率L、曲率Ksym的关系.中子皮厚度随as,L,Ksym的变化呈现明显的线性增长的趋势,说明对称能越硬的核态方程确定的中子皮厚度越大.如果能够精确地测量丰中子核的中子皮厚度,就能够确定对称能在饱和密度附近的大小,斜率和曲率,从而了解对称能在这个密度范围的变化规律,给对称能的软硬程度做出限制.但是实验上抽取的不同核体系的中子皮厚度给出对称能随密度变化的信息却存在分歧.反质子湮灭法测量208Pb核的中子皮厚度为0.15±0.02fm,由此得到对称能系数在32±1MeV之间,斜率L在60±16MeV之间,曲率Ksym在-89±70MeV之间;测量124Sn的中子皮厚度为0.19±0.02fm,得到的as,L,Ksym的范围分别为:35±1.4MeV,97±20MeV,61±90MeV.SDR2法测量208Pb核的中子皮厚度为0.12±0.07fm,由此得到对称能系数在30±5MeV之间,斜率L在32±64MeV之间,曲率Ksym在-223±284MeV之间;测量124Sn核的中子皮厚度为0.26±0.01fm,得到的as,L,Ksym的范围分别为:40±0.5MeV,169±10MeV,378±44MeV.从上面的分析可以看到,就同一确定的核体系而言,由不同的实验方法抽取对称能系数,对称能在饱和密度附近的斜率、曲率存在很大分歧,因此要想从中子皮厚度获取核态方程对称能项的信息,实验上提供精确的、模型无关的中子皮厚度的数据是至关重要的.由于SDR1和SDR2的差别太大,相对而言用反质子湮灭法得到的丰中子核的中子皮的数据较多,且与其他的一些实验方法的结果比较一致,所以在本文中我们采用反质子湮灭法的数统计误差后拟合得出中子皮厚度与核体系同位旋不对称度δ=(N-Z)/A之间的线性关系为:Δrnp=(-0.04±0.03)+(1.01±0.25)δ.我们计算了Z=8～120,A=5Z/3～3Z一系列核的中子皮厚度,图4给出计算的中子皮厚度与同位旋不对称度之间的关系,以及拟合出的中子皮厚度与同位旋不对称度δ的线性关系:Δrnp=-0.053+1.016δ.与反质子湮灭法预言的结果非常一致.理论计算结果与实验拟合结果的一致性,使我们可以利用中子皮厚度与同位旋不对称度之间的关系对核态方程的对称能作出限制.我们用反质子湮灭法拟合的线性关系,计算图3中所有核体系的中子皮厚度,并对计算值考虑±0.03fm的系统误差,以此作为参考的实验值,在相应图中用水平实线表示.对于选定的所有核体系,部分Skyrme参数计算的中子皮厚度在这个参考实验值附近形成一个平台,这些参数主要是GroupⅠ中的参数,其中SLy系列参数、SkP、SkM*等经常被用于核结构与核反应的计算.以参考实验值为标准抽取对称能在饱和密度附近的大小、斜率和曲率,124Sn、208Pb、48Ca、96Zr、18O等选定核体系都给出一致的范围:as=(30～35)MeV,L=(20～100)MeV,Ksym=(-256～70)MeV.对称能的三个参数同时满足这三个条件的Skyrme参数有:SLy0-SLy10、SkM*、SkP、SLy230a、SkMP、SKT1-3、SkI3、MSk1-2、SII.4与同位旋不对称度间的线性关系基于Skyrme能量密度泛函结合拓展的Thomas-Fermi近似(展开到h的二阶项),我们用约束的密度变分法可以很好地再现原子核的基态能量,核电荷分布和质子、中子密度分布的均方根半径等基态性质.为进一步研究丰中子核的中子皮厚度的可靠性提供保证.我们计算了Z=8～120,A=5Z/3～3Z等一系列核的中子皮厚度,拟合出中子皮厚度与同位旋不对称度δ间的线性关系,与反质子湮灭法对所有测量核的中子皮厚度考虑系统误差拟合的的线性关系相吻合.选择47组Skyrm