人教版高中物理新教材同步讲义必修第二册 第5章 专题强化　小船渡河问题（含解析）

小船渡河问题[学习目标]1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题.2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求最短时间和最短位移问题.3.建立小船渡河模型的一般思路和解法．导学探究如图所示，一条宽为d的大河，小明驾着小船从码头A出发，欲将一批货物运送到对岸的码头B.已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船．(1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？(2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？(4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？答案(1)①船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同．②船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．(2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t短＝eq\f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向满足tanθ＝eq\f(v船,v水).(3)情况一：v水<v船最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸．船头与上游河岸夹角θ满足：v船cosθ＝v水，如图所示．渡河所用时间t＝eq\f(d,v船sinθ).情况二：v水>v船如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短航程为x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝eq\f(v船,v水).(4)无关例1一轮船以一定的速度垂直河流向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是()A．水速越大，路程越长，时间越长B．水速越大，路程越短，时间越短C．水速越大，路程和时间都不变D．水速越大，路程越长，时间不变答案D例2(2021·临沂市高一检测)小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是5m/s，求：(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(3)如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，应如何航行？答案(1)40s正对岸下游120m处(2)船头指向与岸的上游成53°角50s(3)船头指向与岸的上游成60°角解析(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40m＝120m，即小船经过40s，在正对岸下游120m处靠岸．(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝eq\r(v船2－v水2)＝4m/s，经历时间t′＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s.又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角．(3)如果水流速度变为10m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cosθ′＝eq\f(v船,v水′)＝eq\f(1,2)，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角．双人划艇决赛中，中国组合徐诗晓/孙梦雅以1分55秒495夺得冠军，创造了奥运会纪录．假设在一段平直的河道中水流速度为v0，皮划艇在静水中的速度为v，河道宽为d，小刘和小张划动皮划艇过河，则下列说法正确的是()A．若皮划艇过河时间最短，则皮划艇船头对着正对岸B．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对岸C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间变长D．若皮划艇能到达河的正对岸，则皮划艇过河时间为eq\f(d,\r(v2－v02))答案AD解析河宽d一定，皮划艇船头对着河的正对岸时，皮划艇垂直河岸的分速度最大，过河时间最短，根据运动的独立性，即使水流速度增大，最短过河时间也不变，故A正确，C错误；当v<v0时，由三角形定则可知皮划艇一定不能到达河的正对岸，故B错误；若皮划艇能到达河的正对岸，则合速度为v合＝eq\r(v2－v02)，过河时间为t＝eq\f(d,\r(v2－v02))，故D正确．1.(2021·南通市高一期末)如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸．若水流速度减小，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是()A．减小船速，过河时间变长 B．减小船速，过河时间不变C．增大船速，过河时间不变 D．增大船速，过河时间缩短答案A解析船头始终垂直于河岸，河宽一定，若水流速度减小，为保持航线不变，根据运动的合成，船的速度必须减小，再根据t＝eq\f(d,v船)，可知渡河的时间变长，故选A.2．(2021·济南市高一期末)小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直．若小船相对水的速度大小不变时，小船的运动轨迹如图所示，则()A．由M到N水流速度一直增大B．由M到N水流速度一直减小C．由M到N水流速度先增大后减小D．由M到N水流速度先减小后增大答案B解析从轨迹曲线的弯曲形状可知，加速度的方向水平向左，知由M到N水流速度减小，即越靠近对岸水速越小．故选B.3.(2021·盐城市高一期末)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，摩托艇在静水中的航速为v1，洪水沿江向下游流去，水流速度为v2.如图，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为()A.eq\f(dv2,\r(v22－v12)) B．0C.eq\f(dv1,v2) D.eq\f(dv2,v1)答案D解析战士想在最短时间内将人送上岸，则船头指向正对岸，此时d＝v1t，x＝v2t，解得x＝eq\f(dv2,v1)，故选D.4．(多选)(2022·张家口市高一期末)在一次渡河的实战演练中，指挥部要求红、蓝两个连队按不同的要求渡过一条宽200m的河道，假设河中水流是均匀的，水的流动速度为3m/s，战士用的渡船在静水中的速度为5m/s，现要求红队以最短时间到达对岸，蓝队到达正对岸，忽略船启动及减速的时间，下列说法中正确的是()A．蓝队要到达正对岸应使船头方向朝着正对岸划船B．红队要以最短时间到达对岸应使船头朝着正对岸划船C．蓝队完成任务到达对岸用时40sD．红队完成任务到达对岸的最短时间为40s答案BD解析蓝队要到达正对岸，则合速度方向应该指向正对岸，则应使船头方向朝着对岸偏上游方向划船，选项A错误；红队要以最短时间到达对岸，则船头应该指向正对岸，即应使船头朝着正对岸划船，选项B正确；蓝队完成任务到达对岸用时t1＝eq\f(d,v合)＝eq\f(d,\r(v船2－v水2))＝eq\f(200,\r(52－32))s5.(2022·辽阳市高一期末)2021年7月，河南中北部出现暴雨，部分地区出现特大暴雨，国家防总启动防汛Ⅲ级应急响应，举国驰援战洪灾，尤其解放军和武警部队奋战在救援第一线．救援人员发现一被困在车顶的人员，车不动但周围的水在流动，水流方向与安全区域平行，如图所示，已知车离安全区域最近的距离d＝20m，救援人员乘皮筏从安全区域边缘去救援，皮筏相对静水的速度大小v1＝1m/s，水流速度大小v2＝2m/s，皮筏和车均视为质点，求：(1)皮筏运动到车旁的最短时间t；(2)在(1)中皮筏运动的位移大小x.答案(1)20s(2)20eq\r(5)m解析(1)皮筏方向垂直于水流方向时时间最短，t＝eq\f(d,v1)解得t＝20s.(2)由题意知皮筏垂直水流方向的位移大小x1＝d＝20m沿水流方向的位移大小x2＝v2t解得x2＝40m由几何关系知x＝eq\r(x12＋x22)解得x＝20eq\r(5)m.6.如图所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为l1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为l2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则()A．t1＞t2，l1＜l2 B．t1＜t2，l1＞l2C．t1＝t2，l1＜l2 D．t1＝t2，l1＞l2答案D解析因为AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝eq\f(d,v静⊥)，所以两次渡河时间相等．设AB、AC与河岸的夹角为θ，船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向v1＝v静cosθ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向v2＝|v－v静cosθ|＜v1，则沿河岸方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，l1＞l2，故D正确，A、B、C错误．7.如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，拉弓放箭射向他左侧的固定目标．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道到固定目标的最近距离OA＝d.若不计空气阻力的影响，要想命中目标(靶心)且射出的箭在空中飞行时间最短(不考虑箭的竖直运动)，则()A．运动员放箭处到目标的距离为eq\f(v1,v2)dB．运动员放箭处到目标的距离为eq\f(\r(v12＋v22),v2)dC．箭射到靶的最短时间为eq\f(d,\r(v12＋v22))D．箭射到靶的最短时间为eq\f(d,\r(v22－v12))答案B解析要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则运动员射出的箭速度v2的方向与OA线段平行，运动员骑马奔驰的速度v1和运动员相对静止时射出的箭速度v2的合速度v3的方向指向固定目标(如图所示)，箭射到靶的最短时间为eq\f(d,v2)，运动员放箭处到目标的距离为l＝eq\r(v12＋v22)t＝eq\f(\r(v12＋v22),v2)d，故选B.8．(2022·遂宁市绿然国际学校高一月考)一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)若船在静水中的速度为v2＝5m/s.①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？(2)若船在静水中的速度v2′＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？答案(1)①船头应朝垂直河岸方向36s90eq\r(5)m②船头与上游河岸成60°角24eq\r(3)s180m(2)船头应朝上游与河岸成53°角方向150s300m解析(1)若v2＝5m/s，船速大于水速．欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图所示tmin＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36sv合＝eq\r(v12＋v22)＝eq\f(5,2)eq\r(5)m/sx1＝v合tmin＝90eq\r(5)m②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图所示有v2sinα＝v1得α＝30°所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短x2＝d＝180mt＝eq\f(d,v合′)＝eq\f(d,v2cos30°)＝24eq\r(3)s(2)若v2′＝1.5m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游