数学与应用数学专业《数学分析》“专升本”考试大纲

PAGEPAGE1《数学分析》“专升本”考试大纲一.考试形式及适用对象本考试采用客观试题与主观试题相结合、计算技能测试与综合技能测试相结合的形式。考试对象为参加选拔考试的数学与应用数学专业的考生，主要考查抽象思维能力、逻辑理解能力、空间想象能力和科学计算能力等。二.题型及比例本考试由四个部分组成：填空20%、选择20%、计算40%、综合或证明20%。三.考试时间和分数本课程考试时限为60分钟，考试满分为75分。四.考试内容与要求第一部分实数集与函数（一）考核知识点1.实数、数集、确界原理2.函数的概念3.函数的四则运算4.复合函数与反函数5.基本初等函数6.初等函数7.具有某些特性的函数（二）考核要求理解函数的概念，了解函数的类型，熟练掌握函数的性质；第二部分极限（一）考核知识点1.数列的极限，收敛数列的性质，数列极限存在的条件2.函数的极限的概念和性质，极限存在的准则3.两个重要极限4.无穷小与无穷大（二）考核要求理解极限的概念，了解数列与函数的极限的区别与联系，掌握求极限的方法第三部分函数的连续性（一）考核知识点1.函数在一点连续2.函数在区间连续3.间断点的分类4.连续函数的局部性质5.闭区间上连续函数的性质6.一致连续性7.初等函数的连续性（二）考核要求理解函数连续与间断的概念，掌握运用连续函数的性质第四部分导数与微分（一）考核知识点1.导数的概念.导函数.导数的几何意义2.求导法则及基本初等函数的求导公式3.复合函数求导法，隐函数及参数方程所表示函数的求导法4.微分及其运算5.不可导函数举例6.高阶导数与高阶微分.微分的应用（二）考核要求1.理解导数和微分的概念，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系2.掌握求导法则及基本初等函数的求导公式.复合函数的求导法，了解微分的运算法则和一阶微分的形式不变性，了解微分在近似计算中的应用3.了解高阶导数的概念，会求简单的阶导数4.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一.二阶导数，会求反函数的导数第五部分微分学的基本定理及其应用（一）考核知识点1.拉格朗日中值定值和函数的单调性2.柯西中值定理和未定式的极限3.泰勒公式（带皮亚诺余项.带拉格朗日余项）4.函数的极值与最值5.函数的凸性与拐点6.函数的图象讨论7.方程的近似解（二）考核要求1.理解并会用Rolle定理.Lagrange中值定理和Taylor定理2.了解并会用Cauchy中值定理3.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数单调性和求函数极值的方法，掌握函数最值的求法及其简单应用4.会用导数判断函数的凹凸性，会求函数的拐点.渐近线，会描绘函数的图形5.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法6.了解曲率和曲率半径的概念，会求曲率和曲率半径7.了解求方程近似解的二分法和切线法第六部分实数的完备性（一）考核知识点1.关于实数完备性的基本定理及等价性2.闭区间上连续函数性质的证明（二）考核要求1.知道实数完备性的基本定理及等价性2.知道闭区间上连续函数性质的证明第七部分不定积分（一）考核知识点1.不定积分的概念和基本积分式2.换元积分法和分部积分法3.有理函数和可化为有理函数的不定积分（二）考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分的概念2.熟练掌握不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分的性质及换元积分法和分部积分法3.会求有理函数.三角函数有理式及简单无理函数的不定积分第八部分定积分（一）考核知识点1.定积分的概念2.定积分的牛顿—莱布尼兹公式3.定积分的性质4.微分学基本定理5.定积分的计算6.可积化理论补叙（二）考核要求1.理解定积分的概念，了解定积分中值定理2.熟练掌握定积分的性质及换元积分法和分部积分法3.理解变上限定积分及其求导定理，熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式4.了解反常积分的概念会计算简单反常积分第九部分定积分的应用（一）考核知识点1.平面图形的面积2.由平行截面面积求体积3.曲线的弧长.曲率4.旋转曲面的面积5.定积分在物理中的某些作用6.定积分的近似计算（二）考核要求1.熟练掌握用“微元法”求平面图形的面积和旋转体的体积2.会求简单的已知平行截面面积的立体的体积3.会求平面曲线和空间曲线的弧长4.能求变力所做的功，变速运动的路程等简单的物理问题第十部分广义积分（一）考核知识点1.无穷限的广义积分2.无界函数的广义积分（二）考核要求1.会无穷限的广义积分2.会无界函数的广义积分第十一部分数项级数（一）考核知识点1.级数的收敛性及其基本性质2.正项级数及各种判别法3.任意项级数4.绝对收敛数与条件收敛级数的性质（二）考核要求1.理解无穷级数收敛.发散以及和的概念；了解无穷级数收敛的必要条件；知道无穷级数的基本性质。2.熟悉几何级数.级数的收敛性及调和级数和发散性。3.掌握正项级数的比较审敛法；熟练掌握正项级数的比值审敛法。第十二部分函数列与函数项级数（一）考核知识点1.函数项级数的一致收敛2.一致收敛函数列与函数项级数的性质（二）考核要求1.会用交错级数的莱布尼兹定理2.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念；以及绝对收敛.条件收敛与收敛的关系3.了解函数项级数的收敛域以及和函数的概念掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质第十三部分幂级数（一）考核知识点1.幂级的收敛半径.收敛区间2.幂级数的的连续性.逐项积分与逐项微分3.函数的幂级数形展开（二）考核要求1.熟练掌握幂级数收敛半径.收敛域的求法2.了解幂级数在其收敛区间内和一些性质及函数展开为泰勒级数的充要条件3.掌握基本初等函数的麦克劳林展开式，会用这一展开式将一些简单的初等函数展开为幂级数第十四部分富里埃级数（一）考核知识点1.三角级数.正交函数系2.富里埃级数以2π为周期的函数的富里埃级数，收敛定理，以2L（二）考核要求了解函数展开为傅里叶级数的充分条件，会将定义在区间和上的函数展开为傅里叶级数；并能将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数第十五部分多元函数的极限与连续（一）考核知识点1.平面点集与多元函数2.二元函数的极限和连续性（二）考核要求1.了解多元函数的概念2.掌握二元函数的极限求法，了解连续性的概念第十六部分多元函数的微分学（一）考核知识点1.偏导数和全微分的概念及几何意义，全微分存在的充分条件：全微分在近似计算中的应用2.求复合函数偏导数的链式法则3.由方程（组）所确定的函数的求导法4.方向导数与梯度5.泰勒公式与极值问题（二）考核要求1.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充要条件和全微分在近似计算中的应用2.了解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法3.掌握复合函数一阶.二阶偏导数的求法，会求隐函数的偏导数4.了解曲线的切线和法平面及曲线的切平面和法线的概念，会求其方程，了解二元函数的二阶泰勒公式5.理解多元函数的极值，熟练掌握求极值的方法，了解条件极值的概念，了解多元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大和最小值并会解决一些简单的应用问题第十七部分隐函数定理及其应用（一）考核知识点1.隐函数概念及存在定理2.几何应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线条件极值（二）考核要求1.会求隐函数的偏导数2.了解曲线的切线和法平面及曲线的切平面和法线的概念，会求其方程，了解二元函数的二阶泰勒公式第十八部分含参变量积分（一）考核知识点1.含参变量的常义积分2.含参变量的广义积分，一致收敛及判别法.连续性.可积性和可微性3.欧拉积分（二）考核要求1.了解含参变量的常义积分2.了解含参变量的广义积分.一致收敛及判别法.连续性.可积性和可微性3.知道欧拉积分第十九部分曲线积分（一）考核知识点1.第一型曲线积分2.第二型曲线积分两类曲线积分的联系（二）考核要求1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系2.掌握两类曲线积分的计算方法3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线与路径无关的条件，会求全微分的原函数第二十部分重积分（一）考核知识点1.二重积分.三重积分概念与性质2.直角坐标下二重积分的计算，格林公式，曲线积分与路径的无关3.二重积分的变量替换4.三重积分的计算5.重积分的应用6.广义重积分（二）考核要求1.理解二重积分.三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理2.熟练掌握二重积分（直角坐标.极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标.柱面坐标.球面坐标）3.会用重积分计算一些几何量与物理量（平面图形的面积.体积.质量.重心和转动惯量等）第二十一部分曲面积分（一）考核知识点1.第一型曲面积分的概念和计算2.第二类曲面积分的概念和计算3.高斯公式和斯托克斯公式4.场论初步（二）考核要求1.了解两类曲面积分的概念.性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分的计算方法。2.了解高斯公式.斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分3.了解散度与旋度的概念，并会计算五、样题例如：《数学分析》样题一、填空题（