上海中考压轴题综合

中考压轴题综合复习一1.如图1，在Rt△ABC中，，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE//BC，交AD于点E。（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，求的正切值；（3）将△ABD沿AD翻折，得到，联结．如果∠ACE=∠BCB/，求AP的值。【满分解答】（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，∵PE//BC，∴,∴，∴,∴，即，（）（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有DE=PE+BD，即，解之得，∴，∵PE//BC，∴∠DPE=∠PDC，在Rt△PCD中，tan=；∴tan=延长AD交BB/于F，则AF⊥BB/，∴，又，∴∴～，∴BF=，所以BB/=，∵∠ACE=∠BCB/，∠CAE=∠CBB/，∴～，∴,∴。2。已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作，与∠DCE的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG。（1）求证：；（4分）（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试证明⊙P与⊙G外切；（5分）（3）当BP取何值时，PG//CF。（5分）【满分解答】（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH=PC，联结PH．由正方形ABCD，得∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=AD．……（1分）∵∠APF=90°，∴∠APF=∠B．∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APF+∠FPC，∴∠PAH=∠FPC．…（1分）又∵∠BCD=∠DCE=90°，CF平分∠DCE，∴∠FCE=45°．∴∠PCF=135°．又∵AB=BC，AH=PC，∴BH=BP，即得∠BPH=∠BHP=45°．∴∠AHP=135°，即得∠AHP=∠PCF．………………（1分）在△AHP和△PCF中，∠PAH=∠FPC，AH=PC，∠AHP=∠PCF，∴△AHP≌△PCF．∴AP=PF，即………（1分）（2）解：延长CB至点M，使BM=DG，联结AM．由AB=AD，∠ABM=∠D=90°，BM=DG，得△ADG≌△ABM，即得AG=AM，∠MAB=∠GAD．………………（1分）∵AP=FP，∠APF=90°，∴∠PAF=45°．∵∠BAD=90°，∴∠BAP+∠DAG=45°，即得∠MAP=∠PAG=45°．（1分）于是，由AM=AG，∠MAP=∠PAG，AP=AP，得△APM≌△APG．∴PM=PG．即得PB+DG=PG．………（2分）∴⊙P与⊙G两圆外切．……（1分）（3）解：由PG//CF，得∠GPC=∠FCE=45°．…………………（1分）于是，由∠BCD=90°，得∠GPC=∠PGC=45°．∴PC=GC．即得DG=BP．（1分）设BP=x，则DG=x．由AB=2，得PC=GC=2–x．∵PB+DG=PG，∴PG=2x．在Rt△PGC中，∠PCG=90°，得．……………（1分）即得．解得．………（1分）∴当时，PG//CF．………（1分）3.已知，，（如图1）。是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点。（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长。BBADMEC图1BADC备用图【参考教法】（1）取中点，联结，为的中点，，．又，．，得；（2）由已知得．以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，，即．解得，即线段的长为；（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．①当时：，．．，易得．得；②当时：，．．又，．，即，得．解得，（舍去）．即线段的长为2．综上所述，所求线段的长为8或2。4.已知：中，,,,四边形的边在边上，，顶点、分别在边、上，于,，如图。设，四边形的面积记为。（1）当时，求的长；（2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）能与相似吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由。CCAMNBQP【满分解答】（1）∵，∴又，∴,∵，∴∴（2）由（1）知：，，又，∴，∵，，∴，∴，又∵,∴（3）能．当时，有∽∽,此时，可得：，∴当时，有∽∽,此时，可得：，∴所以，当或1时，能与相似5.已知△ABC中，AB=4，BC=6，AC＞AB，点D为AC边上一点，且DC=AB，E为BC边的中点，联结DE，设AD=x。当DE⊥BC时（如图1），求x的值；设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；取AD的中点M，联结EM并延长交BA的延长线于点P，以A为圆心AM为半径作⊙A，试问：当AD的长改变时，点P与⊙A的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由。【满分解答】解：（1）联结BD，过点B作BH⊥AC于H，∵DE⊥BC，E为BC中点，∴BD=DC，∵AB=DC，∴AB=BD，∴AH=BH=，∵AB2-AH2=BC2-CH2，∴，∴x=1（2）连BD，∵点E为BC中点，∴∴∵，∴，即∴（0＜x＜6）（3）点P在⊙A上。证明：取AC中点N，则AN=，∵M为AD中点，∴MN=∵E为BC中点，∴NE//AB,且EN=2，∴MN=EN，∵NE//AB，∴，∴AP=AM∴点P在⊙A上.6.如图，已知梯形，∥，，．为射线上一动点，过点作∥交射线于点．联结，设，。（1）求的长；（2）当点在线段上时，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）联结，若△与△相似，试求的长。【满分解答】（1）过点作⊥于点，∵∥，，∴．在中，∵，∴．∴．∴．（2）∵∥，∴．∵△与△同高，∴．由∥可得：△∽△．∴．∴，（3）∵∥，∴．∵△与△相似，①，可证四边形是平行四边形．∴．②，∴．可求得：．综上所述，当△与△相似时，的长为5或．7.如图，在中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点。（1）求和的长；（2）当∥时，求的长；（3）联结，当和相似时，求的长。AACFEDBACB（备用图）ACB（备用图）【满分解答】（1）在中，∵，∴设，∴，∴∴，（2）过点作，垂足为。易得∽设，，∵∥∴∵∴∽∴∴即化简，得解得（负值舍去）∴（3）过点作，垂足为．易得∽设，∵∴∵∴∽∴当和相似时，有两种情况：∴即解得∴∴即解得∴综合、，当和相似时，的长为或．8.如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F。（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长。(备用图)(备用图)【满分解答】∵，又，∴，∵AB=AC，∴,∴△DBE∽△ECF．（2）由△DBE∽△ECF，得．设BE长为，则，解得，．∴BE的长为2或3．（3）1º当时，DF∥BC，∴，∴．2º解一：当时，作EO⊥DF，EP⊥BD，EQ⊥CF，垂足分别为O、P，Q，∵，∴EO=EP．∵，∴EO=EQ．∴EP=EQ，∴AE是的平分线．∵AB=AC，∴由△DBE∽△ECF，得，∴综上所述，FC的长为或时，△DEF与△DBE相似解二：当时，，由△DBE∽△ECF，得，∴，∴由△DBE∽△ECF，得，∴综上所述，FC的长为或时，△DEF与△DBE相似。9.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A。设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y。（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积。【满分教研】（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC．∴．∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴．∴AE=2PE．（2）由△EPD∽△EAP，得，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．作EH⊥AB，垂足为点H．∵AP=x，∴．∵PD∥HE，∴．∴．又∵，∴，即．定义域是．另解：由△EPD∽△EAP，得，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴．∴S△ABE=．∴，即．∴．定义域是．（3）由△PEH∽△BAC，得，∴．当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．（i）当∠BEP=90°时，，∴．解得．∴．（ii）当∠EBP=90°时，同理可得，则。10.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12。设E在AD上，AE=2，F为AB上一个动点（不与A、B重合），过F作FG∥EC，交BC于G。（1）求梯形的面积；（2）设BF=x，四边形的面积等于y，写出y与x之间的函数解析式，并求出这个函数的定义域.（3）当与相似时，求四边形的面积。【满分解答】解：⑴作AM⊥BC，DN⊥BC，分别交