2023-2024学年浙江省温州市九校高二数学第一学期期末达标检测试题含解析

2023-2024学年浙江省温州市九校高二数学第一学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列中，若，则（）A.42 B.45C.48 D.512．某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的标准差；C.，，，…，的中位数； D.，，，…，的众数；3．早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现:光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子(即便镜面是曲面)反射到另一点，仍然选择最短路径.已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则（）A. B.C. D.4．空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（）A. B.C. D.5．已知三棱柱中，，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则（）A. B.C. D.6．已知数列满足，且，那么（）A. B.C. D.7．设，直线与直线平行，则（）A. B.C. D.8．函数在区间上的最小值是（）A. B.C. D.9．已知向量，若，则（）A. B.5C.4 D.10．复数的共轭复数是A. B.C. D.11．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）12．如图，D是正方体的一个“直角尖”O-ABC（OA，OB，OC两两垂直且相等）棱OB的中点，P是BC中点，Q是AD上的一个动点，连PQ，则当AC与PQ所成角为最小时，（）A. B.C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________.14．狄利克雷是十九世纪德国杰出的数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函数”.若，根据“狄利克雷函数”可求___________.15．已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是_________.16．已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为，则_________．X1491625Y2a3693142三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和18．（12分）某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：单价（元）1819202122销量（册）6156504845（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，，，.19．（12分）已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.20．（12分）已知双曲线C：(a>0，b>0）的离心率为，且双曲线的实轴长为2（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x－y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB中点在圆x2＋y2=17上，求m的值21．（12分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量.22．（10分）如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，（1）求异面直线所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】结合等差数列的性质求得正确答案.【详解】依题意是等差数列，，.故选：C2、B【解析】根据平均数、标准差、中位数及众数的概念即得.【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.故选：B.3、B【解析】记椭圆的右焦点为，根据椭圆定义，得到，由题中条件，确定本题的本质即是求的最小值，结合题中数据，即可求出结果.【详解】记椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，，所以，因为，当且仅当三点共线时，，即；由题意可得，求的值，即是求最短路径，即求的最小值，所以的最小值为，因此.故选：B.【点睛】思路点睛：求解椭圆上动点到一焦点和一定点距离和的最小值或差的最大值时，一般需要利用椭圆的定义，将问题转化为动点与另一焦点以及该定点距离和的最值问题来求解即可.4、D【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为，故选：D.5、A【解析】在三棱柱中，，转化为结合已知条件计算即可.【详解】在三棱柱中，满足，且，则，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则，由向量的减法运算得，.故选：A【点睛】关键点点睛：在三棱柱中，，由向量的减法运算得，再展开利用数量积运算.6、D【解析】由递推公式得到，，，再结合已知即可求解.【详解】解：由，得，，又，那么故选：D7、C【解析】根据直线平行求解即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，经检验，满足题意.故选：C8、B【解析】求出导函数，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值【详解】解：因为，于是函数在上单调递增，在上单调递减，，，得函数在区间上的最小值是故选：B9、B【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】由于，所以.故选：B10、B【解析】因,故其共轭复数.应选B.考点：复数的概念及运算.11、A【解析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.12、C【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，求得AC与PQ夹角的余弦值关于点坐标的函数关系，求得角度最小时点的坐标，即可代值计算求解结果.【详解】根据题意，两两垂直，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：设，则，不妨设点的坐标为，则，，则，又，设直线所成角为，则，则，令，令，则，令，则，此时.故当时，取得最大值，此时最小，点，则，故，则故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】由题意，求出，然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及即可求解.【详解】解：因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以.故答案为：8.14、1【解析】由“狄利克雷函数”解析式，先求出，再根据指数函数的解析式求即可.【详解】由题设，，则.故答案：115、【解析】确定，，利用点到平面的距离为，即可求得结论.【详解】由题意，，，设与的夹角为，则所以点到平面的距离为故答案为：16、17【解析】根据回归直线必过样本点中心即可解出【详解】因为，，所以，解得故答案为：17三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）将代入可求得.根据通项公式与前项和的关系,可得数列为等比数列,由等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式.（2）由（1）可得数列的通项公式,代入中,结合裂项法求和即可得前n项和.【详解】（1）当时,由得；当时,由得是首项为3,公比为3的等比数列当,满足此式所以（2）由（1）可知,【点睛】本题考查了通项公式与前项和的关系,裂项法求和的应用,属于基础题.18、(1)(2)当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【解析】（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到（2）计算利润为：计算最大值.【详解】解：（1），，，所以对的回归直线方程为：（2）设获得的利润为，，因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.19、（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解析】（1）首先求出函数的导函数，再令、，分别求出函数的单调区间；（2）先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论【小问1详解】解：当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】解：，，，因为存在两个极值点，，所以存在两个互异的正实数根，，所以，，则，所以，所以，令，则，，，在上单调递减，，而，即，20、（1）；（2）【解析】（1）由实轴长求得，再由离心率得，从而求得得双曲线方程；（2）直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理求得中点坐标，代入圆方程可求得值【小问1详解】由已知，，又，所以，，所以双曲线方程为；【小问2详解】由，得，恒成立，设，，中点为，所以，，，又在圆x2＋y2=17上，所以，21、【解析】建立空间直角坐标系，由向量法求法向量即可.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则设平面ACD1的法向量.，又为平面ACD1的一个法向量，化简得令x=1，得y=z=1.平面ACD1的一个法向量.【