高三北师大版数学（理）一轮导学案 10.2 排列与组合VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学案64排列与组合导学目标:1。理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。3.能解决简单的实际问题．自主梳理1．排列的定义：__________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．排列数的定义：_____________________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al（m,n)表示．2．排列数公式的两种形式：(1)Aeq\o\al(m，n）＝n（n－1）…(n－m＋1)，(2）Aeq\o\al(m,n）＝eq\f（n!，n－m！），其中公式(1)(不带阶乘的）主要用于计算；公式(2)(阶乘形式）适用于化简、证明、解方程．说明：①n!＝________________________，叫做n的阶乘；②规定0！＝______；③当m＝n时的排列叫做全排列，全排列数Aeq\o\al(n,n）＝______.3．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素合成一组，叫做_____________．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的________,用________表示．4．组合数公式的两种形式：（1）Ceq\o\al(m，n）＝eq\f（A\o\al（m，n),A\o\al(m，m）)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1，mm－1·…·3·2·1）;(2）Ceq\o\al（m,n)＝eq\f(n!,m!n－m！)，其中公式(1）主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且m≤eq\f(n，2）的情况,公式(2)适用于化简、证明、解方程等．5．Ceq\o\al（m,n）＝Ceq\o\al(k，n)⇔______________，m、k∈N，n∈N*.6．组合数的两个性质:(1)Ceq\o\al（m,n）＝__________,(2)Ceq\o\al（m,n＋1）＝____________________.自我检测1．(2010·北京）8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为（)A．Aeq\o\al（8，8)Aeq\o\al(2，9） B．Aeq\o\al（8,8)Ceq\o\al（2,9) C．Aeq\o\al(8，8）Aeq\o\al(2，7) D．Aeq\o\al(8，8）Ceq\o\al(2,7）2．（2011·广州期末七区联考)2010年上海世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件,在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有（）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种3．从4台甲型与5台乙型电视机中任选3台，其中至少要有甲、乙型电视机各一台,则不同的取法共有（)A．140种 B．84种 C．70种 D．35种4．（2011·烟台期末)2008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播,观看后组织全体学生进行关于“神舟七号"的论文评选,若三年级文科共4个班，每班评出2名优秀论文（其中男女生各1名)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有（)A．576种 B．1152种 C．720种 D．1440种5．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（)A．12种 B．18种 C．36种 D．54种6．（2010·重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人,每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日，则不同的安排方法共有（)A．30种 B．36种 C．42种 D．48种探究点一含排列数、组合数的方程或不等式例1（1）求等式eq\f（C\o\al(5,n－1）＋C\o\al(3，n－3）,C\o\al(3,n－3））＝3eq\f（4，5）中的n值；（2）求不等式eq\f(1,C\o\al(3,n））－eq\f（1，C\o\al(4,n))〈eq\f(2，C\o\al（5，n）)中n的解集．变式迁移1（1）解方程：Aeq\o\al（4，2x＋1）＝140Aeq\o\al(3,x);(2)解不等式：Aeq\o\al（x,9)〉6Aeq\o\al(x－2,6)。探究点二排列应用题例2（2011·莆田模拟)六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法?（1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻；（3)甲、乙不相邻； （4)甲、乙之间恰间隔两人；（5）甲、乙站在两端； （6)甲不站左端,乙不站右端．变式迁移2用1,2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．探究点三组合应用题例3男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？(1）男运动员3名，女运动员2名;(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加;（4)既要有队长，又要有女运动员．变式迁移312名同学合影,站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是（）A．Ceq\o\al(2，8）Aeq\o\al(2，3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6，6）C．Ceq\o\al（2,8)Aeq\o\al(2，6） D．Ceq\o\al（2，8）Aeq\o\al（2，5）1．解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步．2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：（1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；（2）以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3）先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．3．关于排列组合问题的求解,应掌握以下基本方法与技巧:（1）特殊元素优先安排；(2）合理分类与准确分步；(3）排列组合混合问题先选后排；（4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；（7)分排问题直排处理；(8)“小集团"排列问题先整体后局部；(9)构造模型；（10）正难则反,等价转化．(满分:75分）一、选择题(每小题5分，共25分）1．(2009·湖南）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（)A．85 B．56 C．49 D．2．（2010·全国Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有（）A．30种 B．35种C．42种 D．48种3．（2010·重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有(）A．504种 B．960种C．1008种 D．1108种4．（2011·济宁月考)6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2,2,3,4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有（)A．13种 B．14种 C．15种 D．16种5．五人排成一排,甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是()A．24 B．36 C．48 D．二、填空题(每小题4分,共12分)6．(2011·北京)用数字2，3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答)7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐3、4名，则大师赛共有________场比赛．8．（2011·马鞍山调研)参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人，其中男同志5人，女同志3人．现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作，要求在选出的3人中男、女同志都有，则不同的选法共有________种(用数字作答)．三、解答题（共38分）9．(12分）（1)计算Ceq\o\al（98，100）＋C199200；(2）求Ceq\o\al（28－n，3n）＋Ceq\o\al(2n,21－n)的值；（3)求证：Ceq\o\al（m,n）＝eq\f（m＋1,n＋1）Ceq\o\al（m＋1，n＋1)＝eq\f（n，n－m)Ceq\o\al（m，n－1）。10．（12分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数．(1)有女生但人数必须少于男生；（2）某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．11．(14分)从1,3，5，7,9五个数字中选2个，0,2，4,6,8五个数字中选3个,能组成多少个无重复数字的五位数？学案64排列与组合自主梳理1．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数2。①n·(n－1)·…·2·1②1③n！3.从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数Ceq\o\al（m,n）5.m＝k或m＋k＝n6.(1）Ceq\o\al(n－m,n)（2)Ceq\o\al（m,n）＋Ceq\o\al(m－1，n)自我检测1．A［不相邻问题用插空法,先排学生有Aeq\o\al(8,8）种排法，老师插空有Aeq\o\al(2，9）种方法,所以共有Aeq\o\al(8，8）Aeq\o\al（2,9)种排法．]2．A［2件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有Aeq\o\al（2，2)种不同排法，让两件绘画作品插空有Aeq\o\al（2,3）种插法，两件书法作品之间的顺序也可交换，因此共有2Aeq\o\al（2,2)Aeq\o\al（2,3）＝24（种)．］3．C［从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，有Ceq\o\al（2，4）Ceq\o\al(1，5）＋Ceq\o\al（1，4)Ceq\o\al（2,5）＝70(种)选法．］4．B［女生论文有Aeq\o\al(4,4）种展览顺序，男生论文也有Aeq\o\al(4,4)种展览顺序，男生与女生论文可以交换顺序，有Aeq\o\al（2,2）种方法，故总的展览顺序有Aeq\o\al（4，4)Aeq\o\al(4，4)Aeq\o\al(2，2）＝1152（种)．］5．B［先将1，2捆绑后放入信封中，有Ceq\o\al（1,3）种方法,再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中,有Ceq\o\al（2，4）Ceq\o\al（2，2）种方法，所以共有Ceq\o\al（1,3)Ceq\o\al（2,4)Ceq\o\al（2，2）＝18（种)方法．]6．C［若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有Ceq\o\al（1，4)种选法，然后14日、15日有Ceq\o\al（2，4）Ceq\o\al（2,2）种安排方法，共有Ceq\o\al（1,4）Ceq\o\al（2,4）Ceq\o\al（2,2)＝24(种)安排方法；若甲在15日值班,乙在14日值班，余下的4人有Ceq\o\al（1,4）Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2，2)种安排方法,共有12(种）；若甲、乙都在15日值班，则共有Ceq\o\al(2,4）Ceq\o\al（2,2）＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42（种）安排方法．］课堂活动区例1解题导引（1）在解有关Aeq\o\al（m，n)、Ceq\o\al(m,n)的方程或不等式时要注意运用n≥m且m、n∈N＊的条件；（2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时,应首先应用性质和排列、组合的意义化简，然后再根据公式进行计算．注意最后结果都需要检验．解（1)原方程可变形为eq\f(C\o\al（5，n－1）,C\o\al（3,n－3)）＋1＝eq\f(19,5）,Ceq\o\al(5,n－1)＝eq\f(14，5)Ceq\o\al（3，n－3），即eq\f（n－1n－2n－3n－4n－5，5！）＝eq\f(14，5）·eq\f(n－3n－4n－5，3！)，化简整理得n2－3n－54＝0，解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，∴n＝9。(2)由eq\f（6,nn－1n－2）－eq\f（24,nn－1n－2n－3）〈eq\f(240，nn－1n－2n－3n－4），可得n2－11n－12〈0,解得－1<n〈12.又n∈N*且n≥5，∴n∈｛5,6,7，8,9,10,11｝．变式迁移1解（1）根据原方程，x（x∈N*)应满足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋1≥4，，x≥3，）)解得x≥3.根据排列数公式，原方程化为（2x＋1)·2x·(2x－1）·（2x－2）＝140x·（x－1)·(x－2）,因为x≥3,两边同除以4x（x－1),得(2x＋1）(2x－1）＝35（x－2),即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝eq\f(23，4)（x∈N＊，应舍去)．所以原方程的解为x＝3。（2）根据原不等式,x(x∈N*)应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤9,，x－2≤6，,x〉0,，x－2〉0，))故2<x≤8。又由Aeq\o\al(x，9）〉6Aeq\o\al（x－2,6），得eq\f(9！,9－x！）〉6×eq\f(6!,8－x！）,所以eq\f(84，9－x）〉1，所以－75〈x<9.故2〈x≤8,所以x∈｛3,4，5,6，7,8｝．例2解题导引（1）求排列应用题最基本的方法有直接法：把符合条件的从正面考虑解决，直接列式计算；间接法：根据正难则反的解题原则,如果问题从正面考虑情况比较多，容易重或漏，那么从整体中去掉不符合题意的情况，就得到满足题意的排列种数．(2）相邻问题，一般用捆绑处理的方法．(3)不相邻问题，一般用插空处理的方法．(4)分排问题，一般用直排处理的方法．（5）“小集团”排列问题中,先整体后局部的处理方法．解(1）方法一要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有Aeq\o\al(1，4)种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有Aeq\o\al(5，5)种站法,根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al（1，4)·Aeq\o\al（5,5）＝480(种)站法．方法二若对甲没有限制条件共有Aeq\o\al(6,6）种站法，甲在两端共有2Aeq\o\al(5,5)种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有Aeq\o\al（6,6）－2Aeq\o\al（5，5)＝480(种)站法．（2）先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人,有Aeq\o\al(5,5）种站法，再把甲、乙进行全排列，有Aeq\o\al(2，2)种站法，根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al（2，2)＝240（种)站法．(3)因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有Aeq\o\al（4，4)种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有Aeq\o\al(2,5）种站法，故共有Aeq\o\al（4，4)·Aeq\o\al(2，5）＝480（种)站法．(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有Aeq\o\al（2,4）种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列,有Aeq\o\al(3,3）种站法；最后对甲、乙进行排列,有Aeq\o\al(2,2)种站法，故共有Aeq\o\al(2，4)·Aeq\o\al(3，3）·Aeq\o\al（2，2）＝144(种）站法．（5)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端，有Aeq\o\al（2，2)种站法，再让其他4人在中间位置作全排列,有Aeq\o\al（4，4)种站法，根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2，2)·Aeq\o\al(4，4)＝48(种）站法．(6)甲在左端的站法有Aeq\o\al（5,5)种站法,乙在右端的站法有Aeq\o\al（5，5）种，且甲在左端而乙在右端的站法有Aeq\o\al(4,4）种站法,共有Aeq\o\al(6，6）－2Aeq\o\al（5，5)＋Aeq\o\al（4，4）＝504（种)站法．变式迁移2解依题意先排列除1和2外的剩余4个元素有2Aeq\o\al(2，2)·Aeq\o\al（2,2）＝8(种）方案，再向这排好的4个元素中选1空位插入1和2捆绑的整体，有Aeq\o\al(1，5）种插法，∴不同的安排方案共有2Aeq\o\al（2，2）·Aeq\o\al（2，2)·Aeq\o\al（1,5）＝40(种）．例3解题导引（1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序"，无序的问题，用组合解答,有序的问题属排列问题．(2)解组合问题时,常遇到“至多"、“至少"问题，解决的方法常常用间接法比较简单，计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当,特别对限制条件比较多的问题．解(1)第一步：选3名男运动员,有Ceq\o\al（3，6）种选法．第二步：选2名女运动员，有Ceq\o\al（2,4)种选法．共有Ceq\o\al(3，6)·Ceq\o\al(2，4)＝120（种）选法．（2)“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有Ceq\o\al（5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq\o\al（5,6)种．所以“至少有1名女运动员”的选法有Ceq\o\al（5,10）－Ceq\o\al（5,6）＝246（种)．(3)从10人中任选5人，有Ceq\o\al(5，10）种选法．其中不选队长的方法有Ceq\o\al(5,8)种．所以“至少1名队长”的选法有Ceq\o\al（5，10)－Ceq\o\al(5,8)＝196（种)．（4)当有女队长时，其他人选法任意，共有Ceq\o\al（4,9)种选法．不选女队长时，必选男队长，共有Ceq\o\al（4，8)种选法．其中不含女运动员的选法有Ceq\o\al（4,5）种，所以不选女队长时共有Ceq\o\al（4,8)－Ceq\o\al(4,5）种选法．故既要有队长，又要有女运动员的选法有Ceq\o\al(4,9）＋Ceq\o\al(4,8）－Ceq\o\al(4，5）＝191(种)．变式迁移3C［从后排8人中选2人有Ceq\o\al（2,8）种，这2人插入前排4人中且前排人的顺序不变,则先从4人中的5个空位插一人有5种；余下的一人则要插入前排5人的空档有6种，故为Aeq\o\al（2,6）.∴所求总数为Ceq\o\al(2,8）Aeq\o\al(2，6）。]课后练习区1．C[丙不入选的选法有Ceq\o\al(3，9）＝eq\f(9×8×7，3×2×1)＝84(种)，甲乙丙都不入选的选法有Ceq\o\al(3，7）＝eq\f(7×6×5，3×2×1）＝35(种）．所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84－35＝49（种）．］2．A[方法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有Ceq\o\al(1，3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3）Ceq\o\al（1,4)＝18＋12＝30(种)选法．方法二总共有Ceq\o\al(3,7)＝35(种)选法，减去只选A类的Ceq\o\al(3，3)＝1（种)，再减去只选B类的Ceq\o\al（3，4)＝4（种)，故有30种选法．］3．C［不考虑丙、丁的情况共有Aeq\o\al(2，2）Aeq\o\al(6，6)＝1440（种)排法．在甲、乙相邻的条件下，丙排10月1日有Aeq\o\al(2，2)Aeq\o\al(5，5)＝240（种）排法，同理，丁排10月7日也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日也有Aeq\o\al（2，2)Aeq\o\al（4，4）＝48(种）排法，则满足条件的排法有Aeq\o\al（2,2）Aeq\o\al（6,6）－2Aeq\o\al（2,2)Aeq\o\al（5，5）＋Aeq\o\al（2,2）Aeq\o\al(4，4）＝1008（种）．]4．C[当选用信息量为4的网线时有Ceq\o\al(2，5）种;当选用信息量为3的网线时有Ceq\o\al(1，2)Ceq\o\al（1，2）＋1种，共Ceq\o\al(2，5）＋Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al(1，2)＋1＝15(种)．]5．B[五人中不排甲、乙、丙，另2人排列有Aeq\o\al（2,2）种方法,这两人中有3个空,按甲在两头和中间分为两类，当甲在两头中的一头时，乙有2种插空法,乙插入后有3个空供丙插，因此有Aeq\o\al（2，2）·Ceq\o\al(1，2）·Ceq\o\al（1，2)·Ceq\o\al(1，3）＝24（种)，当甲在中间时，乙有2种插法，乙插入后也有3个空供丙插，所以共有Aeq\o\al（2，2）·Ceq\o\al（1，2）·Ceq\o\al（1，3)＝12(种)，由分类加法计数原理得：共有24＋12＝36(种)．］6．14解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3"出现3次,共可组成Ceq\o\al（1，4)＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次,共可组成Ceq\o\al（2，4)＝6(个）四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成Ceq\o\al（3，4)＝4（个）四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数．7．16解析每组有Ceq\o\al（2，4)场比赛，两组共有2Ceq\o\al(2，4)场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，决出冠军和第3名各1场,所以共有2Ceq\o\al(2，4)＋2＋1＋1＝16(场)．8．45解析从3名女同志和5名男同志中选出3人，分别参加灾后防疫工作，若这3人中男、女同志都有，则从全部方案中减去只选派女同志的方案数Ceq\o\al（3，3)，再减去只选派男同志的方案数Ceq\o\al(3,5）,合理的选派方案共有Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al（3，3)－Ceq\o\al(3，5）＝45（种)．9．（1）解Ceq\o\al（98,100)＋Ceq\o\al（199，200)＝Ceq\o\al（2，100）＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f（100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150。（4分）（2)解eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0≤28－n≤3n，，0≤2n≤21－n,)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(7≤n≤28，，0≤n≤7，）)又n∈N＊,∴n＝7，∴Ceq\o\al（28－n，3n）＋Ceq\o\al(2n，21－n)＝2。(8分）（3）证明∵eq\f（m＋1,n＋1）Ceq