高三北师大版数学（理）一轮复习小题专项集训（8）平面向量 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精小题专项集训（八）平面向量（时间:40分钟满分：75分）一、选择题（每小题5分,共50分)1．（2013·西宁模拟)对于向量a，b,c和实数λ，下列命题中的真命题是（)．A．若a·b＝0,则a＝0或b＝0B．若λa＝0,则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析当向量a,b的夹角为直角时,满足a·b＝0，但不一定有a＝0或b＝0，故A不正确；当a2＝b2时，有(a＋b)·(a－b)＝0,但不一定a＝b或a＝－b,故C不正确；D中向量的数量积不能同时约去一个向量．综上，B正确．答案B2．(2012·伽师二中二模）已知向量a＝（1,1)，b＝（2，x)．若a＋b与a－b平行，则实数x的值是 (）．A．－2 B．0 C．1 D．2解析由a＝（1，1），b＝(2，x),知a＋b＝（3,1＋x）；a－b＝(－1，1－x）；若a＋b与a－b平行，则3（1－x）＋（1＋x）＝0，即x＝2，故选D。答案D3.（2013·武汉期末）如图所示，已知eq\o（AB,\s\up6（→）)＝2eq\o（BC,\s\up6(→）），eq\o(OA，\s\up6(→)）＝a，eq\o（OB，\s\up6(→)）＝b，eq\o（OC，\s\up6(→)）＝c，则下列等式中成立的是 ()．A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a B．c＝2b－aC．c＝2a－b D．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1，2)b解析由eq\o（AB，\s\up6（→））＝2eq\o（BC,\s\up6(→))，得eq\o(AO，\s\up6（→))＋eq\o(OB,\s\up6（→）)＝2（Beq\o(O，\s\up6(→)）＋eq\o（OC,\s\up6(→)）），即2eq\o（OC，\s\up6（→))＝－eq\o（OA，\s\up6（→)）＋3eq\o(OB,\s\up6(→)),即c＝eq\f（3,2)b－eq\f(1,2）a.答案A4．若向量a与b不共线，且a·b≠0,且c＝a－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a·a,a·b)））b，则向量a与c的夹角为(）．A．0 B.eq\f（π，6) C.eq\f（π，3） D。eq\f(π,2）解析因为c＝a－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a·a,a·b）)）b，则有a·c＝a·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(a－\f（a·a,a·b）b）)＝｜a|2－eq\f(a·a,a·b）a·b＝0.故两向量垂直,其夹角为eq\f(π，2）.答案D5．（2012·开封二模）在△ABC中，已知D是AB边上一点,若eq\o(AD,\s\up6(→)）＝2Deq\o（B，\s\up6（→)），eq\o（CD，\s\up6(→))＝eq\f(1,3）eq\o（CA，\s\up6（→））＋λeq\o(CB，\s\up6(→）)，则λ＝ （)．A．－eq\f(1,3） B．－eq\f(2，3） C。eq\f(1，3） D.eq\f(2，3)解析如图所示，其中D，E分别是AB和AC的三等分点，以EC和ED为邻边作平行四边形，得eq\o（CD,\s\up6（→)）＝eq\o（CE，\s\up6(→)）＋eq\o（CF，\s\up6（→)）＝eq\f（1，3）eq\o（CA,\s\up6(→）)＋eq\f（2,3)eq\o(CB，\s\up6(→）)，∴eq\o(CF,\s\up6（→))＝eq\f（2,3）eq\o（CB,\s\up6(→))。故λ＝eq\f（2,3），所以选D。答案D6．（2013·济南模拟)已知向量a＝（1，－1）,b＝（1，2)，向量c满足（c＋b）⊥a，（c－a）∥b,则c＝ (）．A．(2,1) B．（1,0）C。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2）)) D．(0，－1）解析设c＝（x，y），则c＋b＝(x＋1，y＋2），c－a＝(x－1，y＋1），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋1－y＋2＝0，，2x－1－y＋1＝0，)）解得x＝2,y＝1.∴c＝(2,1)．答案A7．（2012·长沙质检)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点,O为圆心,且eq\o(OA,\s\up6（→）)·eq\o(OB,\s\up6(→））＝0，存在实数λ，μ使得eq\o（OC,\s\up6(→)）＝λeq\o（OA，\s\up6（→)）＋μeq\o（OB，\s\up6(→))，实数λ，μ的关系为 (）．A．λ2＋μ2＝1 B.eq\f（1，λ)＋eq\f(1,μ)＝1C．λ·μ＝1 D．λ＋μ＝1解析由eq\o(OC，\s\up6（→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o（OB，\s\up6（→))，得｜eq\o（OC，\s\up6（→）)|2＝(λeq\o(OA,\s\up6（→）)＋μeq\o(OB，\s\up6(→)）)2＝λ2|eq\o（OA,\s\up6（→）)｜2＋μ2｜eq\o(OB,\s\up6（→))|2＋2λμeq\o(OA,\s\up6（→))·eq\o(OB,\s\up6（→））。因为eq\o（OA,\s\up6(→))·eq\o（OB,\s\up6(→））＝0,所以λ2＋μ2＝1.所以选A.答案A8．设向量a＝（cosα,sinα），b＝（cosβ，sinβ)，其中0<α<β〈π,若｜2a＋b|＝|a－2b｜，则β－α＝ ()．A。eq\f(π，2) B．－eq\f（π，2） C。eq\f(π,4） D．－eq\f(π,4）解析由｜2a＋b｜＝|a－2b|两边平方整理，得3｜a｜2－3|b|2＋8a·b＝0.∵｜a|＝|b|＝1，故a·b＝0，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即cos（α－β)＝0，∵0〈α〈β〈π,故－π<α－β〈0,∴α－β＝－eq\f（π,2)，即β－α＝eq\f(π，2）。答案A9．（2011·辽宁）若a，b，c均为单位向量,且a·b＝0,(a－c)·（b－c）≤0，则｜a＋b－c｜的最大值为 （）．A.eq\r（2）－1 B．1 C。eq\r(2) D．2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c）·(b－c）≤0,可以知道,（a＋b)·c≥c2＝1,因为｜a＋b－c｜2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有｜a＋b－c|2＝3－2（a·c＋b·c)≤1，则｜a＋b－c｜≤1。故选B。答案B10．(2013·北京东城区期末)已知△ABD是等边三角形，且eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\f(1，2)eq\o(AD，\s\up6(→））＝eq\o（AC，\s\up6(→)）,|eq\o(CD,\s\up6(→))｜＝eq\r(3)，那么四边形ABCD的面积为 (）．A.eq\f（\r(3）,2) B.eq\f(3，2)eq\r(3) C．3eq\r(3） D。eq\f(9，2）eq\r（3）解析如图所示，eq\o（CD,\s\up6(→））＝eq\o(AD，\s\up6(→))－eq\o（AC,\s\up6（→）)＝eq\f（1，2)eq\o(AD，\s\up6（→）)－eq\o（AB,\s\up6（→）），∴eq\o(CD，\s\up6(→))2＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)\o(AD，\s\up6（→））－\o（AB，\s\up6（→))））2，即3＝eq\f（1,4）eq\o(AD，\s\up6（→））2＋eq\o（AB，\s\up6（→))2－eq\o（AD，\s\up6（→）)·eq\o（AB,\s\up6(→）)，∵｜eq\o（AD,\s\up6（→））｜＝｜eq\o(AB，\s\up6（→)）｜,∴eq\f(5，4)｜eq\o(AD，\s\up6（→)）｜2－｜eq\o(AD，\s\up6(→))|｜eq\o(AB，\s\up6(→）)|cos60°＝3，∴|eq\o(AD,\s\up6（→)）|＝2。又eq\o(BC,\s\up6（→)）＝eq\o(AC，\s\up6(→））－eq\o（AB，\s\up6（→））＝eq\f（1，2)eq\o(AD,\s\up6(→）),∴|eq\o(BC，\s\up6(→））|＝eq\f（1,2)|eq\o(AD,\s\up6（→))｜＝1，∴｜eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o（CD,\s\up6（→）)｜2＝｜eq\o(BD，\s\up6(→）)|2,∴BC⊥CD.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2）×22×sin60°＋eq\f(1，2）×1×eq\r(3)＝eq\f（3,2）eq\r(3），故选B。答案B二、填空题(每小题5分，共25分)11．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m）b共线，则实数m的值为________．解析由题意知ma－3b＝λ[a＋(2－m）b]，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝λ,，－3＝λ2－m，)）解得m＝－1或m＝3。答案－1或312．(2013·江西红色六校联考）已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b，d＝a－2b。如果c∥d,则k＝________。解析由题意可得c＝k（1，0）＋(0,1)＝（k,1),d＝（1,0)－2（0,1）＝(1,－2)，如果c∥d，那么－2k－1＝0，即k＝－eq\f（1，2)。答案－eq\f（1，2）13．（2012·安徽）设向量a＝（1,2m)，b＝(m＋1，1），c＝(2，m）．若（a＋c）⊥b，则|a｜＝________。解析∵a＋c＝（3，3m）,∴(a＋c）·b＝3(m＋1）＋3m＝0⇔m＝－eq\f（1，2）⇒|a｜＝eq\r（2）。答案eq\r（2）14．已知向量n＝(1，sin2x),g（x）＝n2。则函数g(x）的最小正周期是________．解析g(x）＝n2＝1＋sin22x＝1＋eq\f（1－cos4x,2)＝－eq\f(1,2)cos4x＋eq\f(3,2)，∴函数g(x）的最小正周期T＝eq\f（2π,4)＝eq\f(π，2).答案eq\f(π，2)15．(2013·烟台调研)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点,则eq\o（AP,\s\up6(→))·（eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\o(AC,\s\up6(→）)）＝________.解析如图，作平行四边形ABDC，则eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\o（AC,\s\up6(→)）＝eq\o(AD,\s\up6(→）)＝2eq