高三北师大版数学（理）一轮复习小题专项集训（10）数列（二） 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精小题专项集训(十）数列(二)（时间:40分钟满分：75分）一、选择题（每小题5分，共50分)1．在等比数列｛an｝中，各项都是正数，且a1，eq\f(1，2)a3，2a2成等差数列，则eq\f(a9＋a10,a7＋a8）＝()．A．1＋eq\r（2) B．1－eq\r（2） C．3＋2eq\r(2） D．3－2eq\r(2）解析设等比数列{an｝的公比为q（q＞0)，则由题意得a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q,所以q2－2q－1＝0，解得q＝1±eq\r（2）.又q＞0，因此有q＝1＋eq\r(2),故eq\f（a9＋a10,a7＋a8）＝eq\f（q2a7＋a8，a7＋a8)＝q2＝(1＋eq\r（2)）2＝3＋2eq\r（2).答案C2．设{an}为各项均是正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，则 ()．A.eq\f（a4,S4)＝eq\f(a6,S6) B.eq\f（a4，S4)〉eq\f(a6,S6)C。eq\f（a4，S4)〈eq\f（a6,S6) D.eq\f（a4，S4)≤eq\f(a6,S6）解析由题意得q>0，当q＝1时,有eq\f（a4，S4)－eq\f（a6，S6）＝eq\f（1,4)－eq\f(1，6）>0，即eq\f（a4,S4）>eq\f（a6,S6）；当q≠1时，有eq\f(a4,S4）－eq\f（a6，S6)＝eq\f（a1q31－q,a11－q4)－eq\f（a1q51－q，a11－q6)＝q3(1－q）·eq\f(1－q2,1－q41－q6）＝eq\f（q3，1＋q2)·eq\f（1－q,1－q6)>0,所以eq\f(a4，S4)>eq\f(a6，S6）。综上所述,应选B.答案B3．(2013·广东六校联考）在等差数列｛an｝中，a3＋a11＝8，数列｛bn｝是等比数列,且b7＝a7，则b6·b8的值为 （）．A．2 B．4 C．8 D．16解析∵{an｝为等差数列,∴a7＝eq\f（a3＋a11,2)＝4＝b7。又｛bn｝为等比数列,∴b6·b8＝beq\o\al（2,7)＝16.答案D4．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，并且S10〉0，S11〈0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立,则正整数k的取值为 （）．A．5 B．6 C．4 D．7解析由S10>0,S11〈0，知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6〈0，又a5＋a6〉0，所以a5〉0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大,则k＝5，选A。答案A5．等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2＋a6＋a10为一个确定的常数,则下列各数中也可以确定的是 (）．A．S6 B．S11 C．S12 D．S13解析若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.由a2＋a6＋a10＝3a6为常数，则a6为常数,∴S11＝eq\f(11×a1＋a11,2)＝11a6为常数．答案B6．等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为319,偶数项之和为290，则其中间项等于 (）．A．145 B．203 C．109 D．29解析因为等差数列共有奇数项，项数为2n＋1，所以S奇＝（n＋1)a中,S偶＝na中，中间项a中＝S奇－S偶＝319－290＝29.答案D7．已知数列｛an｝的首项a1＝1，并且对任意n∈N＊都有an>0.设其前n项和为Sn，若以(an，Sn）(n∈N*）为坐标的点在曲线y＝eq\f(1，2）x(x＋1）上运动，则数列｛an}的通项公式为 （）．A．an＝n2＋1 B．an＝n2C．an＝n＋1 D．an＝n解析由题意,得Sn＝eq\f(1,2）an（an＋1），∴Sn－1＝eq\f（1，2）an－1(an－1＋1）（n≥2)．作差，得an＝eq\f(1,2)(aeq\o\al（2，n)－aeq\o\al(2,n－1)＋an－an－1)，即(an＋an－1）(an－an－1－1)＝0。∵an>0（n∈N*），∴an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1(n≥2)．∴数列{an｝为首项a1＝1，公差为1的等差数列．∴an＝n(n∈N*）．答案D8．在等差数列｛an}中，若3a5＝8a12>0，Sn是等差数列｛an}的前n项之和,则Sn取得最大值时，n＝ （）．A．12 B．14 C．16 D．18解析因为在等差数列中，3a5＝8a12，所以5a5＋56d＝0，又因为a5〉0，所以a1>0，d〈0且d＝－eq\f(5,76)a1，Sn＝na1＋eq\f(nn－1，2）d＝eq\f（a1，152)(157n－5n2)，当n＝15。7时，Sn取得最大值，因为n∈N*，所以Sn取得最大值时n＝16.答案C9．如果函数f(x）对任意a,b满足f(a＋b）＝f（a)·f（b），且f（1)＝2，则eq\f(f2，f1）＋eq\f(f4,f3）＋eq\f(f6,f5)＋…＋eq\f(f2012，f2011）＝ （)．A．4016B．1004C．2008D．2012解析由f（a＋b）＝f（a)·f（b)，可得f(n＋1)＝f(n)·f（1），eq\f（fn＋1,fn）＝f（1)＝2，所以eq\f（f2,f1）＋eq\f（f4,f3)＋eq\f(f6，f5）＋…＋eq\f(f2012,f2011）＝2×1006＝2012.答案D10．定义运算“＊”,对任意a，b∈R,满足①a*b＝b＊a;②a*0＝a；(3）(a*b）＊c＝c＊（ab)＋(a＊c)＋（c*b）．设数列｛an｝的通项为an＝n*eq\f(1，n）*0，则数列{an｝为()．A．等差数列 B．等比数列C．递增数列 D．递减数列解析由题意知an＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(n*\f(1，n）)）*0＝0］n·eq\f（1,n)＋（n＊0)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0]1，n））)＝1＋n＋eq\f（1,n)，显然数列{an｝既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋eq\f(1，x)在［1，＋∞)上为增函数，所以数列{an}为递增数列．答案C二、填空题(每小题5分,共25分）11．等比数列{an｝的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3,得4(a1＋a1q)＝a1＋3（a1＋a1q＋a1q2），即3q2－q＝0，又q≠0,∴q＝eq\f（1,3).答案eq\f（1,3)12．设数列｛an｝的通项公式为an＝2n－7(n∈N＊），则｜a1｜＋|a2|＋…＋｜a15｜＝________。解析由an＝2n－7≤0，得n≤eq\f(7，2)，即ai≤0（i＝1，2，3），记Sn为数列｛an}的前n项和，易得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2＋n－7n＝n2－6n.所以｜a1｜＋｜a2｜＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝－2S3＋S15＝－2×(－9)＋135＝153。答案15313．数列an＝eq\f（1，nn＋1），其前n项之和为eq\f(9，10），则在平面直角坐标系中，直线（n＋1）x＋y＋n＝0在y轴上的截距为________．解析数列的前n项和为eq\f(1，1×2)＋eq\f(1，2×3）＋…＋eq\f（1,nn＋1)＝1－eq\f(1，n＋1)＝eq\f(n，n＋1）＝eq\f（9,10),∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0。令x＝0,得y＝－9,∴在y轴上的截距为－9.答案－914．在数列｛an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1,an＋1＝eq\f（1，3)Sn(n≥1），则an＝________。解析∵3an＋1＝Sn（n≥1），∴3an＝Sn－1（n≥2）．两式相减，得3(an＋1－an）＝Sn－Sn－1＝an（n≥2）⇒eq\f(an＋1，an)＝eq\f（4，3)（n≥2)⇒n≥2时，数列｛an}是以eq\f(4,3)为公比,以a2为首项的等比数列，∴n≥2时，an＝a2·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（4，3）))n－2。令n＝1,由3an＋1＝Sn，得3a2＝a1，又a1＝1⇒a2＝eq\f（1，3），∴an＝eq\f（1，3)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4，3))）n－2(n≥2），故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f（1，3）\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4,3))）n－2，n≥2.）)答案eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1，n＝1,\f(1，3)\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（4，3))）n－2,n≥2）)15．（2013·南通模拟)在数列{an｝中,若aeq\o\al(2，n）－aeq\o\al（2,n＋1)＝p(n≥1,n∈N*，p为常数)，则称｛an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列"的判断：①若｛an｝是等方差数列，则｛aeq\o\al(2,n）}是等差数列；②｛（－1)n｝是等方差数列；③若｛an}是等方差数列，则｛akn｝（k∈N＊,k为常数）也是等方差数列．其中真命题的序号为________（将所有真命题的序号填在横线上）．解析①正确,因为aeq\o\al（2,n）－aeq\o\al（2，n＋1）＝p，所以aeq\o\al（2,n＋1）－aeq\o\al（2，n)＝－p，于是数列{aeq\o\al（2，n)}为等差数列．②正确，因为（－1)2n－(－1)2（n＋1)＝0为常数,于是数列{（－1）n}为