人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质

12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的作法及性质1.掌握角的平分线的作法.2.会利用角平分线的性质.3.经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.4.通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】角平分线的性质及其应用.【教学难点】灵活应用两个性质解决问题.一、情境导入，初步认识活动1学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.活动2让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:1.角平分线上的点到角两边的距离相等.2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.例1如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）?【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？(2)比例尺为1∶20000是什么意思？(3)图形上，表示500m的是个什么距离？例2如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC,点P、D分别在BF上，PM⊥AD于M,PN⊥CD于N，求证：PM=PN.【分析】从一条线引两条垂线，要证明两条垂线段相等，可联想到角平分线的性质，将证线段相等转化为找角平分线，即证角相等.根据△ABD≌△CBD即可得证.【证明】∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.即射线DP为∠ADC的平分线.又∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.例3如图，点P是∠AOB的平分线OM上一点，作PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D、C，点E、F分别在线段OD,OC上，且∠PED=∠PFC,求证：OP平分∠EPF.【分析】欲证OP平分∠EPF，可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.【证明】∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D，C，∴PD=PC，∠ODP=∠OCP=90°.在Rt△ODP与Rt△OCP中，∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.在Rt△EDP与Rt△FCP中，∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.三、运用新知，深化理解1.角的平分线上的点到这个角的两边的______相等.2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.第2题图第3题图3.已知在△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.【答案】1.距离2.130°3.∠EDA∠CDA∠CAB四、师生互动，课堂小结1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.第2课时角的平分线的判定1.掌握角的平分线的判定.2.会利用三角形角平分线的性质.3.通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.4.锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】角平分线的判定.【教学难点】三角形的内角平分线的应用.一、情境导入，初步认识问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上.二、思考探究，获取新知三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？例1如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数.【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD,∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=125°.【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质.例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S△DCE=S△DBF，求证：AD平分∠BAC.【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC.【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N.∵S△DCE=S△DBF,即CE·DN=BF·DM.又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.例3如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=BD.求证：BD是∠ABC的平分线.【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可.【证明】延长AE、BC交于点F.∵AE⊥BD,∠ACB=90°,∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,即∠2=∠FAC.在△BDC与△AFC中，,∴△BDC≌△AFC(ASA),∴BD=AF.又∵AE=BD,∴AE=AF,∴AE=EF.在△ABE和△FBE中，,∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2.即BD是∠ABC的平分线.例4(青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：方案一：∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P置于射线OA,OB之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.方案二：∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）方案一中，在PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行.证明：在△OPM和△OPN中，∴△OPM≌△OPN(SSS).∴∠AOP=∠BOP.∴OP是∠AOB的平分线.（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角平分线上，∴OP是∠AOB的平分线.三、运用新知，深化理解1.如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=________.第1题图第2题图2.如图，以△ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE,CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.【答案】1.150°2.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE,∴△DAC≌△BAE，∴DC=BE,又∵S△DAC=S△BAE,∴AM=AN.又∵AM⊥DC,AN⊥BE,∴OA平分∠DOE.四、师生互动，课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.4.角