2023届高考数学复习圆锥曲线微专题-椭圆双曲线抛物线的基本性质专项训练一选择题含解析

Page232023届高考复习圆锥曲线微专题——椭圆、双曲线、抛物线的基本性质专项训练一（选择题）1、(2022·淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.eq\r(2)－1 B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)＋12、(2022·宿州质检)已知椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝eq\f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)3、(多选)(2022·海南模拟)设椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜eq\r(3))与椭圆交于A，B两点，则()A.|AF|＋|BF|为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m＝eq\f(\r(3),2)时，△ABF为直角三角形D.当m＝1时，△ABF的面积为eq\r(6)4、(2022·合肥市名校联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(7,3)5、(2022·山东滨州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则不能使双曲线C的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的条件是()A．双曲线的离心率为eq\f(5,4)B．双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0D．双曲线的实轴长为46、(2022·亳州模拟)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，则＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)7、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则下列结论错误的是()A．∠FQP＝60°B．|QM|＝1C．|FP|＝4D．|FR|＝28、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为()A．2 B．4C．6 D．89、(2020·高考全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1，0) D．(2，0)10、(2021·北京卷)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq\r(2)，eq\r(3))，离心率为2，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,3)－y2＝1 B.x2－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝111、(多选)(2021·重庆诊断)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝req\o\al(2,1)和C2：(x－2)2＋y2＝req\o\al(2,2)，其中常数r1，r2为正数且满足r1＋r2＜4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()A.两个椭圆B.两个双曲线C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线12、(2021·高考全国卷乙)设B是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))13、(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A.长轴长为eq\f(1,2) B.焦距为eq\f(\r(3),4)C.短轴长为eq\f(1,4) D.离心率为eq\f(\r(3),2)14、(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A.13 B.12 C.9 D.615、(2022·广东六校联考)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝116、(2022·陕西省咸阳市质检)已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．217、(2022·盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段PF与抛物线交于点M，则下列判断正确的是()A．△OMF可能是等边三角形B．△OMF可能是等腰直角三角形C.eq\f(|PF|,|PM|)＝1＋eq\f(2,|PF|)D.eq\f(|PF|,|MF|)－|PF|＝118、(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) C.(1，0) D.(2，0)19、(多选)(2022·长沙调研)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A.双曲线C的渐近线方程为y＝±xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C.点P的横坐标为±1D.△PF1F2的面积为eq\r(2)20、(多选)(2022·福州调研)设F1，F2为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过左焦点F1且斜率为eq\f(\r(15),7)的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是()A.直线l倾斜角的余弦值为eq\f(7,8)B.若|F1P|＝|F1F2|，则C的离心率e＝eq\f(4,3)C.若|PF2|＝|F1F2|，则C的离心率e＝2D.△PF1F2不可能是等边三角形21、设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)22、(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是()A.eq\r(3)x±y＝0 B.2x±eq\r(7)y＝0C.eq\r(3)x±2y＝0 D.2x±eq\r(3)y＝023、(2022·山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是()A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小24、(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A．eq\f(5,2) B．eq\r(6)C．eq\r(5) D．225、(2018·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－126、(2021·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)27、(2022·石家庄模拟)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，＋∞) B.(1，2)C.(1，1＋eq\r(2)) D.(2，1＋eq\r(2))28、(2018·全国卷Ⅱ)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为(A)A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x29、(2021·江西赣州期末)若F1，F2是双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),4)xC．y＝±eq\f(\r(7),3)x D．y＝±eq\f(3\r(7),7)x30、(2021·山东、湖北重点中学联考)已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的斜率之积等于－4，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(\r(5),2) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(10),2) D．eq\r(10)31、(2021·江苏无锡质检)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(3) B．eq\f(2\r(3),3)C．2 D．eq\r(2)32、(2021·河北邯郸模拟)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，＋∞)C．(1,1＋eq\r(2)] D．[1＋eq\r(2)，＋∞)33、(多选)(2021·烟台调研)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()A.C的准线方程为x＝－4B.F点的坐标为(0，4)C.|FN|＝12D.三角形ONF的面积为16eq\r(2)(O为坐标原点)34、设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值为()A.1 B.2 C.3 D.435、设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)36、(2021·全国高考)设B是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))37、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)38、(2021·云南昆明模拟)△ABC为等腰三角形，且∠C＝90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(3)－1 D．eq\r(2)－139、设B是椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A.eq\f(5,2) B.eq\r(6)C.eq\r(5) D．240、(2022·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝eq\f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))2023届高考复习圆锥曲线微专题——椭圆、双曲线、抛物线的基本性质专项训练一（选择题）（解析版）1、(2022·淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.eq\r(2)－1 B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)＋1解析：不妨设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2eq\r(2)c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.故选A.2、(2022·宿州质检)已知椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝eq\f(\r(2),4)x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：选A.设直线与椭圆在第一象限的交点为A(x，y)，则直线y＝eq\f(\r(2),4)x.由|AB|＝2c，可知|OA|＝eq\r(x2＋y2)＝c，即eq\r(x2＋（\f(\r(2),4)x）2)＝c，解得x＝eq\f(2\r(2)c,3)，y＝eq\f(1,3)c，即A(eq\f(2\r(2),3)c，eq\f(1,3)c)，把点A的坐标代入椭圆方程，得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)·(2e2－3)＝0，所以e＝eq\f(\r(3),2).3、(多选)(2022·海南模拟)设椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜eq\r(3))与椭圆交于A，B两点，则()A.|AF|＋|BF|为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m＝eq\f(\r(3),2)时，△ABF为直角三角形D.当m＝1时，△ABF的面积为eq\r(6)解析：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的取值范围是(0，6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；将y＝eq\f(\r(3),2)与椭圆方程联立，可解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，又∵F(eq\r(6)，0)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\f(3\r(3),2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)－\f(3\r(3),2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝0，∴AF⊥BF，∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－eq\r(6)，1)，B(eq\r(6)，1)，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×2eq\r(6)×1＝eq\r(6)，D正确.4、(2022·合肥市名校联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(7,3)解析：设P(xP，yP)，则双曲线的焦半径|PF1|＝exP＋a，|PF2|＝exP－a，由|PF1|＝4|PF2|可得exP＋a＝4(exP－a)，即3exP＝5a，所以xP＝eq\f(5a,3e).由于点P在双曲线的右支上，则xP＝eq\f(5a,3e)≥a，从而e≤eq\f(5,3)，即此双曲线的离心率e的最大值为eq\f(5,3).5、(2022·山东滨州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，则不能使双曲线C的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的条件是()A．双曲线的离心率为eq\f(5,4)B．双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0D．双曲线的实轴长为4解析：选D.由题意可得焦点在x轴上，且c＝5，A选项，若双曲线的离心率为eq\f(5,4)，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(25,a2)－\f(\f(81,16),b2)＝1，,a2＋b2＝25，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝16，,b2＝9，))此时双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1，故D错误．故选D.6、(2022·亳州模拟)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，则＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝eq\f(2,3)π，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq\f(1,2)×2a×4a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2.由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝eq\f(\r(3),4)|AB|2＝eq\f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq\r(3)a2，所以＝eq\f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq\f(1,2).故选B.7、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则下列结论错误的是()A．∠FQP＝60°B．|QM|＝1C．|FP|＝4D．|FR|＝2解析：选B.如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°，由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，|FN|＝eq\f(1,2)|PF|＝2，则△FRN为等边三角形，所以|FR|＝2.故选B.8、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B.如图，不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，A(x1，2eq\r(2))，则x1＝eq\f(（2\r(2)）2,2p)＝eq\f(4,p)，由题意知|OA|＝|OD|，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)))eq\s\up12(2)＋8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))eq\s\up12(2)＋5，解得p＝4.9、(2020·高考全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1，0) D．(2，0)解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2eq\r(p)，不妨设D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，由OD⊥OE，可得eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).10、(2021·北京卷)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq\r(2)，eq\r(3))，离心率为2，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,3)－y2＝1 B.x2－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1解析：双曲线离心率e＝eq\f(c,a)＝2，故c＝2a，b＝eq\r(3)a，将点(eq\r(2)，eq\r(3))代入双曲线方程，得eq\f(2,a2)－eq\f(3,3a2)＝1，故a＝1，b＝eq\r(3)，故双曲线方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.11、(多选)(2021·重庆诊断)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝req\o\al(2,1)和C2：(x－2)2＋y2＝req\o\al(2,2)，其中常数r1，r2为正数且满足r1＋r2＜4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()A.两个椭圆B.两个双曲线C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线解析：由题意得，圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为r1，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r2，所以|C1C2|＝4，设动圆P的半径为r.因为r1＋r2＜4，所以两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切.①若均内切，则|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r－r2，此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上.②若均外切，则|PC1|＝r＋r1，|PC2|＝r＋r2，此时||PC1|－|PC2||＝|r1－r2|，则点P的轨迹与①相同.③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则|PC1|＝r－r1，|PC2|＝r＋r2，|PC2|－|PC1|＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，|PC1|－|PC2|＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.12、(2021·高考全国卷乙)设B是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：选C.依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝a2－eq\f(a2,b2)yeq\o\al(2,0)，则|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－b)2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2by0＋b2＝－eq\f(c2,b2)yeq\o\al(2,0)－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－eq\f(b3,c2)≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(2),2)，故选C.13、(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A.长轴长为eq\f(1,2) B.焦距为eq\f(\r(3),4)C.短轴长为eq\f(1,4) D.离心率为eq\f(\r(3),2)解析：把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq\f(x2,\f(1,16))＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，所以a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(\r(3),4)，则长轴长2a＝1，焦距2c＝eq\f(\r(3),2)，短轴长2b＝eq\f(1,2)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，故选D.14、(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A.13 B.12 C.9 D.6解析：由椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))eq\s\up12(2)＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.15、(2022·广东六校联考)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1解析：由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①.因为直线AB经过点(1，－1)，F(3，0)，所以kAB＝eq\f(－1－0,1－3)＝eq\f(1,2).设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减，得eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2)＋eq\f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2)＝0.因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，且kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2②.由①②，得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.16、(2022·陕西省咸阳市质检)已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．2解析：选C.如图，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,2)，过点Q作QQ′垂直准线于点Q′，|MQ|－|QF|＝|MQ|－|QQ′|，显然当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|MQ|－|QF|＝|2＋3|－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))＝eq\f(5,2).17、(2022·盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段PF与抛物线交于点M，则下列判断正确的是()A．△OMF可能是等边三角形B．△OMF可能是等腰直角三角形C.eq\f(|PF|,|PM|)＝1＋eq\f(2,|PF|)D.eq\f(|PF|,|MF|)－|PF|＝1解析：选C.若△OMF是等边三角形，则边长为1，且点M的横坐标为eq\f(1,2)，纵坐标为±eq\r(2)，此时|OM|＝eq\r(\f(1,4)＋2)＝eq\f(3,2)≠1，所以△OMF不可能是等边三角形，故A不正确；若△OMF是等腰直角三角形，则只可能是∠OMF＝90°，|OM|＝|FM|＝eq\f(3,2)，所以|OM|2＋|FM|2≠|OF|2，故B不正确；过点M作准线的垂线交准线于点N，则|MF|＝|MN|，eq\f(|PF|,|PM|)＝eq\f(|PM|＋|MF|,|PM|)＝1＋eq\f(|MF|,|PM|)＝1＋eq\f(|MN|,|PM|)＝1＋eq\f(2,|PF|)，故C正确，D不正确．18、(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) C.(1，0) D.(2，0)解析：将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2eq\r(p)，不妨设D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，由OD⊥OE，可得eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).19、(多选)(2022·长沙调研)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A.双曲线C的渐近线方程为y＝±xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C.点P的横坐标为±1D.△PF1F2的面积为eq\r(2)解析：等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq\r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)，故D正确.20、(多选)(2022·福州调研)设F1，F2为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过左焦点F1且斜率为eq\f(\r(15),7)的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是()A.直线l倾斜角的余弦值为eq\f(7,8)B.若|F1P|＝|F1F2|，则C的离心率e＝eq\f(4,3)C.若|PF2|＝|F1F2|，则C的离心率e＝2D.△PF1F2不可能是等边三角形解析：设直线倾斜角为α，则tanα＝eq\f(\r(15),7)，所以cosα＝eq\f(7,8)，A正确；P在第一象限内，若|F1P|＝|F1F2|，则|F1P|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c－2a，由余弦定理得eq\f(4c2＋4c2－（2c－2a）2,8c2)＝eq\f(7,8)，整理得3e2－8e＋4＝0，解得e＝2或e＝eq\f(2,3)(舍去)，B错误；若|PF2|＝|F1F2|，则|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，由余弦定理得cos∠PF1F2＝eq\f(4c2＋（2c＋2a）2－4c2,8c（c＋a）)＝eq\f(7,8)，整理得3e2－e－4＝0，解得e＝eq\f(4,3)或e＝－1(舍去)，C错误；由|PF1|＞|PF2|，知△PF1F2不可能是等边三角形，D正确.21、设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)，将圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)与圆x2＋y2＝a2的方程相减得cx＝a2，即x＝eq\f(a2,c)，所以点P，Q的横坐标均为eq\f(a2,c).由于PQ是圆x2＋y2＝a2的一条弦，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PQ|,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\f(c2,4)＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2,c2)))＝eq\f(a2b2,c2)，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故选A.22、(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是()A.eq\r(3)x±y＝0 B.2x±eq\r(7)y＝0C.eq\r(3)x±2y＝0 D.2x±eq\r(3)y＝0解析：∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos60°＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，即eq\f(1,2)＝eq\f(（3a）2＋a2－4c2,2×3a×a)，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),2)x，即eq\r(3)x±2y＝0.23、(2022·山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是()A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小解析：选C.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的向径长度更大，由面积守恒规律，时间更长，B正确；eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(1－e,1＋e)＝eq\f(2,1＋e)－1，当比值越大，e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．24、(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为()A．eq\f(5,2) B．eq\r(6)C．eq\r(5) D．2解析：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆eq\f(x2,5)＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝eq\f(25,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y＋\f(1,2)))2．当2y＋eq\f(1,2)＝0，即y＝－eq\f(1,4)(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值eq\f(25,4)，所以|PB|max＝eq\f(5,2)．故选A．25、(2018·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D)A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1解析：设|PF2|＝x，则|PF1|＝eq\r(3)x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋eq\r(3))x,2c＝|F1F2|＝2x，于是离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2x,1＋\r(3)x)＝eq\r(3)－1.26、(2021·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：不妨设直线l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(2b,4)⇒e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故选B．27、(2022·石家庄模拟)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，＋∞) B.(1，2)C.(1，1＋eq\r(2)) D.(2，1＋eq\r(2))解析：由题意易知点F的坐标为(－c，0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a)))，E(a，0)，因为△ABE是锐角三角形，所以eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＞0，即eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－a，\f(b2,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－a，－\f(b2,a)))＞0，整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)＜0，∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2)，又e＞1，∴e∈(1，2).28、(2018·全国卷Ⅱ)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为(A)A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x解析：由题意e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，故选A．29、(2021·江西赣州期末)若F1，F2是双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),4)xC．y＝±eq\f(\r(7),3)x D．y＝±eq\f(3\r(7),7)x解析：由题意知c＝eq\r(25－16)＝3，如图，∴|PF1|＝|F1F2|＝6，且|PF2|＝10－6＝4，∴a＝eq\f(6－4,2)＝1，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(2)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),4)，∴双曲线渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),4)x，故选B．30、(2021·山东、湖北重点中学联考)已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的斜率之积等于－4，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(\r(5),2) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(10),2) D．eq\r(10)解析：因为双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))×eq\f(a,b)＝－4，即a＝2b，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2).故选A．31、(2021·江苏无锡质检)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(3) B．eq\f(2\r(3),3)C．2 D．eq\r(2)解析：圆x2＋y2－4y＋2＝0的圆心为(0,2)，半径为eq\r(2)，由题意知圆心到渐近线bx－ay＝0的距离为1，即eq\f(2a,\r(a2＋b2))＝1，∴eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)＝2，故选C．32、(2021·河北邯郸模拟)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，＋∞)C．(1,1＋eq\r(2)] D．[1＋eq\r(2)，＋∞)解析：∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝|PF1|－2a，∴c(|PF1|－2a)＝a|PF1|，∴|PF1|＝eq\f(2ac,c－a)，又|PF1|≥a＋c，∴eq\f(2ac,c－a)≥c＋a，整理得e2－2e－1≤0，解得1－eq\r(2)≤e≤1＋eq\r(2)，又e>1，∴1<e≤1＋eq\r(2)，故选C．33、(多选)(2021·烟台调研)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()A.C的准线方程为x＝－4B.F点的坐标为(0，4)C.|FN|＝12D.三角形ONF的面积为16eq\r(2)(O为坐标原点)解析：不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4，0)，A正确，B错误.故|AN|＝4，|FF′|＝8，在直角梯形ANFF′中，中位线|BM|＝eq\f(|AN|＋|FF′|,2)＝6，由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|FM|＋|NM|＝6＋6＝12，C正确，而|ON|＝eq\r(122－42)＝8eq\r(2)，SONF＝eq\f(1,2)×8eq\r(2)×4＝16eq\r(2)，D正确.34、设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，所以x1＋x2＋x3＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2)))＝(x1＋x2＋x3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.35、设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)解析：由已知得焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，因此直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq\r(3)y－3＝0.方法一：联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－12eq\r(3)y－9＝0，则yA＋yB＝3eq\r(3)，yAyB＝－eq\f(9,4)，故|yA－yB|＝eq\r(（yA＋yB）2－4yAyB)＝6.因此S△OAB＝eq\f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×6＝eq\f(9,4).方法二：联立直线方程与抛物线方程得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0，故xA＋xB＝eq\f(21,2).根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，同时原点到直线AB的距离为d＝eq\f(|－3|,\r(42＋（－4\r(3)）2))＝eq\f(3,8)，因此S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,4).36、(2021·全国高考)设B是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(C)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1