2023届新高考数学一轮复习基本不等式专题基础训练含解析

Page13基本不等式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）制作一个面积为，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济够用，且耗损最少的是(

)A. B. C. D.设x，，，，若，的最大值为(

)A.2 B. C.1 D.《几何原本》卷2的几何代数法以几何方法研究代数问题成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为(

)

A. B.

C. D.若a，且，则下列不等式中，恒成立的是(

)A. B.

C. D.已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为.(

)A. B.1 C.2 D.8已知关于x的不等式的解集为，则的最大值是(

)A. B. C. D.二、多选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题有多项符合题目要求）设正实数a，b满足，则(

)A. B.

C. D.已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是(

)A. B.

C. D.的最小值为4已知，且，则(

)A. B.

C. D.下列函数中最小值为6的是(

)A. B.

C. D.下列说法不正确的是(

)A.不等式的解集为

B.已知p：，q：，则p是q的充分不必要条件

C.若，则函数的最小值为2

D.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）实数a，b满足，则ab的最小值为____________________.若，则的最小值是__________.已知，且满足，则当__________，__________时，的最小值为__________.四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分

围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙利用的旧墙需维修，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元，新墙的造价为180元设利用的旧墙长度为单位：，修建此矩形场地围墙的总费用为单位：元

围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙利用旧墙需维修，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元，新墙的造价为180元，设利用的旧墙的长度为xm，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．将y表示为x的函数；试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.本小题分

已知函数，，

若关于x的不等式的解集为，求实数a，b的值；

若关于x的不等式在上能成立，求实数a的取值范围.

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式的实际应用，属于基础题.

设一条直角边为x，求出周长l的表达式，利用基本不等式求出最小值即可.【解答】解：设一条直角边为x，则另一条直角边是，斜边长为，

故周长，

当且仅当时等号成立，

故最合理够用，且浪费最少是7m，

故选

2.【答案】C

【解析】【分析】本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查转化能力，属于基础题.

将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值.【解答】解：，

，，

，

当且仅当时取等号.

故选：

3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由图形可知，，在中，由勾股定理可求CF，结合C与O不重合，即可得出．【解答】解：由图形可知：，，

在中，由勾股定理可得：

，

当C与O不重合时，，

，

故选：

4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查不等式与不等关系，以及基本不等式求最值或取值范围，属于基础题.

解题的关键是熟练掌握不等式成立判断的方法以及基本不等式适用的范围，根据不等关系与不等式以及基本不等式等相关知识对四个选项逐一判断得出正确选项．【解答】解：因为，当

时，，，则A、B选项错误；

由于恒成立，当且仅当时，取“=”，故D错；

由于，则，即，当且仅当，即时取“=”，故C对，

故选

5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系，也考查了利用基本不等式求最值的问题，属于中等题．

根据不等式的解集求出a的值和b的取值范围，再代入中利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：关于x的不等式的解集为，其中，

所以m和是方程的实数根，

由根与系数的关系知，解得

所以，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为

故选：

6.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了基本不等式性质的运用能力和计算能力．

根据不等式的解集为，利用韦达定理求出，，利用基本不等式的性质求解．【解答】解：不等式的解集为，

故，为对应方程的两个根，

根据韦达定理，可得：，，

那么：，

，

，

即，当且仅当时等号成立，

故的最大值为

故选：

7.【答案】BD

【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式及应用条件的简单应用，属于中档试题．

结合基本不等式及不等式的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为正实数a，b满足，

所以，当且仅当时取等号，

，A错误；

令在上单调递减，

当时取得最小值，B成立；

，

当且仅当，时取等号，C不成立；

正实数a，b满足，

，

则，D成立．

故选：

8.【答案】BC

【解析】【分析】

对于A，结合不等式的性质，即可求解，对于B，结合作差法，即可求解，对于C，结合作差法，即可求解，对于D，根据已知条件，运用不等式的公式，即可求解．

本题主要考查不等式的性质，以及作差法，属于中档题．【解答】解：对于A，，，，

，故A错误，

对于B，，

，即，故B正确，

对于C，，，，

，即，故C正确，

对于D，，当且仅当，即时，等号成立，

，

取不到最小值4，故D错误．

故答案选：

9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题主要考查指数函数的性质，对数运算，基本不等式的应用等，属于中档题.

利用指数函数的单调性、不等式性质、对数运算法则、基本不等式等依次验证每个选项的正误，进而得到正确选项.【解答】解：，

即，故A正确；

，不妨设，

，故B错误；

，

由于，则等号不成立，

，故C正确；

当时，

当时，

由于，则等号不成立，

综上可得：，故D正确.

故选

10.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质，注意“一正二定三相等”的应用，属于中档题.

利用基本不等式的性质逐项进行判定．【解答】解：当时，，最小值不可能为6，故A错误；

B.，，当且仅当时取等号，故B正确；

C.，，，当且仅当，即时取等号，故C正确；

D.，，

，当且仅当时取等号，而，其取不到6，故D错误.

故选

11.【答案】ACD

【解析】【分析】求出不等式的解集判断A；得到p是q的充分不必要条件，判断B；基本不等式判断C；反例判断

本题考查不等式的解集，基本不等式，充分不必要条件，不等式恒成立，是基本知识的考查．【解答】解：对于A，不等式的解集为或，所以A不正确；

对于B，p：，整理q：，得q：，

则p是q的充分不必要条件，所以B正确；

对于C，若，则函数，当且仅当时取等号，显然不正确，所以C不正确．

对于D，当时，时，不等式恒成立，所以D中k的取值范围是是不正确的，所以D不正确；

故选：

12.【答案】8

【解析】【分析】本题考查了对数的运算，以及基本不等式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．

根据条件，运用对数的性质，可得，再结合基本不等式，即可求解．【解答】解：因为，

所以，且，，

所以

故，当且仅当，即，时取等号，

所以ab的最小值为

故答案为

13.【答案】8

【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

把所求式子化为，利用基本不等式，即可求出结果.【解答】解：，，

，

当且仅当即时取等号，

时，

取最小值

故答案为：

14.【答案】314

【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值的问题，属于中档题.

根据题意，由指数幂的运算性质可得，即，变形可得，进而可得，由基本不等式的性质分析可得答案.【解答】解：根据题意，已知，且满足，则有，则，

变形可得：，

则，

当且仅当，时等号成立.

故答案为：3；1；4

15.【答案】解：设矩形的另一边长为am，

则

由已知，得，

所以

因为，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立．

即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

【解析】本题主要考查函数模型的应用和利用基本不等式求最值，属于中档题.

设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元，新墙的造价为180元，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；

根据中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．

16.