数学归纳法的应用

数学归纳法的应用数学归纳法的应用数学归纳法的应用非常广泛,在实际的教学研究中也得到了很大的重视接下来为你整理了数学归纳法的应用，一起来看看吧。数学归纳法的原理数学归纳法是一种研究与自然数有关的证实，它可以巧妙的证实结果含有n的结论。它避免了无穷次的步骤推导引起的逻辑问题，是一种严格的演绎推理，所以它与一般的归纳法有着很大的区别。已知最早的使用数学归纳法的证实出现于F·莫罗利科(FrancescoMaurolico)的《算数》(Arithmeticorumlibriduo)(1575AD)。莫罗利科利用递推关系巧妙地证实出前n个奇数的总和是n，由此总结出了数学归纳法。数学归纳法最基本格式为：(1)n=n0时，成立。(2)假设n=k时成立，当n=k+1时命题也成立。于是依据(1)(2)可知命题关于任意n成立。举个例子，就像一排多米诺骨牌(这个例子很经典形象)，我们知道第一个被推倒了，我们也知道每一个与之相邻的下一个骨牌要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。如：证1+2+3++n=n*(n+1)/2。按顺序1.当n=1时，显然成立。2.假设n=k时成立，当n=k+1时，S=k*(k+1)/2+(k+1)=(k+2)(k+1)/2.于是结果成立。数学归纳法的应用1.所有马都一个颜色。(即任意n匹马都只有一个颜色)证：当只有1匹马，命题成立。假设任意k匹马都只有一个颜色，当n=k+1时，我从中任意挑取k匹马，这k匹马颜色相同;我再用剩下的那只马去换掉这群马中的任意一只，组成新的马群，依旧有k匹马，颜色还是相同;依据集合交并原理，可知k+1时也成立。证毕。原来真的所有马都一种颜色吗?怎么可能!现在，我们来分析一下究竟是哪里出的错。我们可以看到，在第二步，当k=1时，两匹马不能出现交集，不能推出k=2时成立。这个证实链在第二节断掉了，虽然后面是连着的，但却推不出正确结论了。所以这提示我们，即使前面第一步证实了n=1成立，第二步依旧要保证n=k对任意所涉及的数也成立，包括1.2.n人一人一顶帽子，有m顶白帽子，其余都是黑帽子。每次敲钟，都要求所有能推断自己为白帽子的人离开。正在这n个无聊的人苦苦思索的'时候，突然来了一个人，说：“这里居然有人带白帽子!〞，然后飘走了。黑帽子的人很想说“废话!〞，却发现过了一会所有白帽子的人都走了(他们推断出自己的帽子颜色了)，这是怎么回事?好吧，我们还是用数学归纳法做一做：命题1：我们假设只有1人白帽子，他发现所有人都戴黑帽子，当飘走的那个人说完话后，他可以马上知道自己是白的。于是第1声钟响后这1个白帽可确认。命题2：假设只有2个人白，其中一个人发现有只有1个人白帽，如果命题1成立，即只有他是白帽，他应该钟响1下后马上离开，可他不走。所以说明命题1不成立，一定有2个白帽——自己和他!于是第2声钟响后这2个白帽可确认。假设命题k成立，命题n=k+1时，假设只有k+1个白帽，其中一人发现：有k个白帽，如果是命题k，他们在第k声钟响后应该全部离开，可是没走，所以一定自己是白帽子让他们不能推断。于是在第k+1声钟响后，k+1白帽可全部确认离开。结论成立。所以，那句废话虽然对黑帽子没有，但对白帽子而言是却是归纳法的第一块多米诺骨牌。3.在《不可思议?》这本书里还有一个更那啥的题，经改编如下：有一个杀人狂把两个人分别关在两个密室，分别告诉他们两个相邻正自然数，两个人虽然知道数字相邻，却不知道对方的数。计时开始后，每分钟他们都有一次机会选择确认按钮，确认的消息可以被双方闻声。只有知道另一方数字是多少的人才能出去。快快，生路在哪里?这看起来好像无解，假如我知道自己的数是27，怎么推断对方究竟是26还是28，难道出去的概率是50%?不，概率是100%，唯一的生路在那个每分钟一次确认按钮上(且确认消息可通知双方)。当A的数是1，则在第1分钟便可知道B的数是2(因为不是0)。当A的数是2，则有两种状况，B是1或3，如果是1，B在第一分钟会确认，如果B没确认，则B是3。所以假设当A为k时，A会在第k分钟推理出B的数字，则当A=k+1时，如果第k分钟B没有动静，则可以推断B的数不是k，而是k+2，所以在下一分钟即k+1分钟时A推理出数字，结论成立。谈数学归纳法在物理中的应用谈数学归纳法在物理中的应用谈数学归纳法在物理中的应用应用数学方法处理物理问题是高中物理教学大纲明确指出的一项重要教学内容，也是高考能力视察的重要组成部分，同时也体现了数学这门学科的工具性和有用性，强化学科间的渗透，强化对同学能力的考查。例：我们在火车站常看到载重列车启动时，机车要往后倒退一下，目的是使各节车厢之间的挂钩都离开一段距离，以便于启动，这是因为机车和车厢与铁轨之间的最大静摩擦力大于它们之间的动摩擦力，假设机车不倒退直接启动，启动以后机车和车厢与铁轨之间的摩擦力由静摩擦力变为动摩擦力，当列车加速到一定的速度后，列车的机车就必必须减少牵引力使列车匀速直线运动，资源不能得到充分的利用，所以载重列车常常采纳我们所见到的启动方式启动。今有一列载重列车，假设它不倒退以恒定的牵引力直接启动，机车的`牵引力能带动49节车厢〔不含机车〕，那么它利用倒退后用同样大小的恒定牵引力启动，该机车启动59节同样质量的车厢以后，恰好做匀速直线运动，已知机车与各节车厢的质量均为m，机车和各节车厢与铁轨之间的动摩擦力为μmg，假设机车倒退后，各节车厢之间的挂钩离开相同的距离s，机车加速后，每拉动一节车厢的瞬间可近似地认为满足动量守恒定律的条件。求：〔1〕每一节车厢与铁轨之间的最大静摩擦力？〔2〕列车采纳机车倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度？〔最终结果可以用根式表示〕解：〔1〕设每节车厢所受最大静摩擦力为fm，机车的牵引为为F直接启动时，有F=〔49+1〕fm〔1〕当采纳倒退方式启动时，有F=〔59+1〕μmg〔2〕由①、②μmg〔3〕〔2〕设第一节车厢被拉动前，机车的速度为V1，被拉动后，机车的速度为V1′由动能定理有〔4〕由动量守恒定律有〔5〕由④、⑤得〔6〕设第二节车厢被拉动前，机车的速度为V2，被拉动后，机车的速度为V2′，由动能定理有〔7〕由动量守恒定律有〔8〕由⑦、⑧得〔9〕同理可得〔10〕由数学归纳法有〔11〕∴〔1