求和问题的解决

求和问题的解决求和问题的解决〔配合义务教材第七册使用〕［问题情景］学校组织看电影了。数学老师让同学们留心观察影剧院的座位排数和每排座位数，并要求算出影剧院共有多少个座位。第二天，同学们先把观察到的状况向老师汇报如下：这个影剧院第一排有２２个座位，每排的后一排都比前一排多２个座位，最后一排有６８个座位，共２４排。老师听后，问：你们算出了这个影剧院共有多少个座位吗？同学们讲出了各自的解答。但，老师对同学们的解答并不满意，因为他们的解答几乎相同———都较繁锁。［问题诠释］要计算共有多少个座位，也就是求这样一列数“２２，２４，２６，２８……６４，６６，６８〞之和。假设从２２开始一个接一个相加求和，就显得繁锁，但仔细分析这列数，它有一个显然的特点：从第二个数起，后一个数减去前一个数的差都是２，依据这列数的排列特点，在求它们的和时，应用加法交换律和结合律，容易发现：２２＋６８＝２４＋６６＝２６＋６４＝２８＋６２＝……＝９０，即第一个数加最后一个数，第二个数加倒数第二个数，第三个数加倒数第三个数，……，和都等于９０。这２４个数相加，有多少个９０呢？很显然有１２个。所以２２＋２４＋２６＋……＋６４＋６６＋６８＝９０×１２＝１０８０就是说，利用这种方法计算，很快就能知道这个影剧院共有１０８０个座位。［建立模式］上述一列数中，第一个数称为首项，第二个数称为第二项，依此类推，最后一个数称为末项，这列数一共有２４项。如果一列数，从第二项起，每一项减去它前面一项的差都等于同一个定数〔这一个定数叫做公差〕，那么，这样一列数的和，可以用“〔首项＋末项〕×项数÷公差〞来求出，且计算简洁准确。［问题解决］１．小明为测量一座高楼的高度，他站在高楼的顶上，让一物体从他的脚边自由掉下，后测得物体第一秒钟落下４．９米，以后每秒多落下９．８米，经过１０秒钟到达地面。这座高楼共有多高？分析：依据题意，可知第一秒落下：４．９＝４．９＋９．８×〔１－１〕第二秒落下：４．９＋９．８＝４．９＋９．８×〔２－１〕第三秒落下：４．９＋９．８＋９．８＝４．９＋９．８×〔３－１〕……第１０秒落下：４．９＋９．８×〔１０－１〕＝９３．１所以，这座楼的高为〔４．９＋９３．１〕×１０÷２＝４９０〔米〕２．某体育馆的一个侧看台，第一排有３２个座位，后面的每一排都比前一排多２个座位，最后一排是８８个座位，正常状况下，这侧看台可容纳多少人观看节目？简析：依据“项数＝〔末项－首项〕÷公差＋１〞，可求出座位排数为〔８８－３２〕÷２＋１＝２９〔排〕，这侧看台的座位数为〔３２＋８８〕×２９÷２＝１７４０〔个〕，因此，正常状况，这侧看台可容纳１７４０人观看节目。３．小张来到招聘信息中心，想找一个能展示自己特长的理想工作，只见招聘广告琳琅满目，最后他认为这样两家公司能充分发挥自己的才能，这两家公司的招聘广告如下：甲公司凡前来应聘者，一旦应聘，均签订一年的工作合同，在这一年中，月固定工资为７５０元……乙公司凡前来应聘者，一旦应聘，均签订一年的工作合同。在这一年中，第一个月工资为４００元，假设工作表现好，从第二个月起，每月工资都在前一个月的基础上，上浮５０元……小张想，两家公司均为一年合同，在这一年中，究竟到哪家公司工作的总收入高呢？分析〔略〕，答案：到甲公司的总收入高。［问题情景］今年，张大伯家的早稻又丰收了。这不，今天他又晒了１２袋稻谷，准备去交公粮。这１２袋的重量分别是〔单位：千克〕：４５，４８．５，４５，４３．５，４７，４４．５，５０，４２，４７．５，４９．５，４８，４３。你能否很快算出这些稻谷的总重量吗？［问题诠释］求１２袋稻谷的'总重量，当然可以将每袋的重量逐个相加起来。但是，有没有简便的算法呢？仔细观察这１２袋的重量数，最轻的为４２千克，最重的为５０千克，而且都在４６千克上下波动。重于４６千克的有６袋，轻于４６千克的也有６袋。所以，可选取４６千克为基准数，重于４６千克的６袋，每袋超过的千克数之和是２．５＋１＋４＋１．５＋３．５＋２＝１４．５〔千克〕；轻于４６千克的６袋，每袋不够的千克数之和是１＋１＋２．５＋１．５＋４＋３＝１３〔千克〕。因此，１２袋的总重量为：４６×１２＋１４．５－１３＝５５２＋１．５＝５５３．５〔千克〕［建立模式］求一组彼此比较接近的数的和时，可选取其中一个数为基准数。如果大于基准数的那些数，每个数减去基准数，所得差相加的结果用Ｓ超表示；小于基准数的那些数，用基准数分别去减这每一个数，所得差相加的结果用Ｓ不够表示，那么这组数的总和＝基准数×加数的个数＋Ｓ超－Ｓ不够［问题解决］１．学校六一文艺汇演，由１０位评委给每个节目打分，并规定：去掉其中的一个最高分和一个最低分，将其余分数作为该节目的得分。四〔１〕班表演了一个小品节目，１０位评委分别给这个节目的打分是９．５，９．６，９．３，９．７，９．４，９．１，９．７，９．５，９．２，９．６，这个节目的总得分是多少？分析：去掉一个最高分９．７分和一个最低分９．１分后，该节目的总得分是〔以９分为基准数：９×８＋〔０．５＋０．６＋０．３＋０．４＋０．７＋０．５＋０．２＋０．６〕＝７２＋３．８＝７５．８〔分〕２．水果店运进８筐苹果，每筐苹果的重量如下〔单位：千克〕：５２，５０．５，５０，４８，５１．５，４９．５，４８，５２．５。〔１〕当你看完每筐苹果的重量后，能马上估算出８筐苹果的总重量吗？〔２〕平均每筐的重量是多少？分析：〔１〕观察这些数据，都在５０上下，据此可估算出８筐苹果的总重量约为：５０×８＝４００〔千克〕。以５０千克为基准数，平均每筐的重量为：５０＋〔〔２＋０．５＋０＋１．５＋２．５〕－〔２＋０．５＋２〕〕÷８＝５０．２５〔千克〕。《问题的解决》听课反思《问题的解决》听课反思孔子曰：不愤不启,不悱不发。就是说在平常的教学中我们要打破同学的知识平衡区，当同学陷入学习知识的瓶颈时，教师该出手时再出手，充分发挥自己的主导地位。于萍老师在《问题的解决》一课的教学中演绎了一场出色的“导〞，这“导〞犹如蜂蜜越酿越甜，醇酒越品越浓！课中的一个环节，于老师让同学平分一个平行四边形菜地，菜地里挖一个长方形水池，这个图形是〔一个平行四边形里面有一个长方形〕，当水池在平行四边形的中间，同学马上得出画一条直线，继而教师：“在实际中，水池的位置可以在不同的位置〞，然后发给同学上面的图片，让同学小组4人合作，关于有着特别位置的`图形，同学也探讨出来了，可于老师说：“如果这个长方形在平行四边形里再上一点，还能这样画吗？〞初尝试——山穷水尽疑无路同学发现能画的位置动了一下又不能画了，个个愁眉苦脸。于老师说：“是啊！我们顺利地求出它的平均面积，而在实际中却很难解决，说明学知识可不能纸上谈兵啊！〞导——春风细雨温人心“那么你们在平均分中碰到了什么困难呢？〞生大致都说，长方形得到了平均分而平行四边形又得不到了平均分，平行四边形得到了平均分长方形又得不到平均分。于老师说：“我可以用顾此失彼来形容你们此时的感受，那我们退一步从简单开始，就从一个平行四边形开始，会吗？〞平分一个平行四边形，关于五年级的同学来说不难，汇报时教师依据同学的手势表示在课件中演示平分平行四边形，出示了很多的平分线，继而引导得出中心点。