在点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布

点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布姜树青（浙江省平湖中学，浙江平湖314200）摘要：在点电荷形成的电场中，导体处于静电平衡时，由于静电感应，其表面有感应电荷分布．本文拟对球形导体表面感应电荷的分布及相关问题作出定量探讨．关键词：感应电荷面密度最近点最远点界心角关键词：感应电荷面密度最近点最远点界心角切心角角差1问题的提出如右图1所示，导体球半径为R,点电荷与球心相距为r（r〉1问题的提出如右图1所示，导体球半径为R,点电荷与球心相距为r（r〉R）,整个装置置于真空中.试讨论在电键k接通和断开两种情况下，导体球表面感应电荷的分布规律.2求解和讨论点2荷2.1电键k接通情形2.1.1导体球表面感应电荷分布的定量表达式我们知道，导体球外部空间的电场是由点电荷Q和球面感应电荷共同叠加形成的．依据电像理论，球面感应电荷对外部空间的电场贡献，可由点电荷Q的像点电荷q‘等效替代.q‘位于Q与导体球心O连线上，距球心为X.这里q，和X之值为：,R2r=——，

r画出点电荷r为正、负电性两种情形球面某点P的合电场E如图2P甲、乙所示.图中E方向总与球面垂直，当Q为正电性时，E方向PP沿径向指向球心；当Q为负电性时，沿径向指向球心；当Q为负电性时，E方向沿径向指向球外.只要Rq，在P点产生的合场强Ep的大小（推导过程从略）:(r2－(r2－R2)E-PkQ于是P点感应电荷面密度。卩为E （r2－R2）c= —=—p4于是P点感应电荷面密度。卩为E （r2－R2）c= —=—p4兀k 4兀R（（厂2+R2—2rRcos0）3表达式中前面的“一”号表示感应电荷的电性与Q相反.由上式可知，在Q、R及r都确定下，球面上感应电荷的面密度。只与。有关.在。于范围0〜2n以内，。总与Q符号相反，即整个导体球面上都分布着与Q电性相反的感应电荷，且感应电荷的分布关于Q与球心O的连线对称.1）—e关系如图3所示.我们知道，导体球接地时，整个球体电势视

为0，设整个球面感应电荷的总量为q，由电总感磁学知识易得q之值：总感kQ/r+kq /R=0，总感2）2）q总感=－RQ/r．总感一个自然要提出的疑问是：按上述（1）式分布的球面感应电荷，整个球面感应电荷的总量是否也收敛到（2）式的结果呢？对（1）式作球面积分：q =JJcds=JJcR2sin0d申dO总感00sineTOC\o"1-5"\h\z=-QR(r2一R2)J飾L 習 desinec30 0(r2+R2一2rRcosO)QR("—R2)-2兀•[一1(r2+R2-2rRcosO)一2"4兀 rR 0QR(r2一R2) 2=— •2兀•一r(r2—R2)

可见，两种方法所得结果一致．2.1.2球面最近点感应电荷的面密度。近C=一(+RQ近 4兀R(r-R)2如图j如图C=一(+RQ近 4兀R(r-R)2如图j设想Q距球心的距离发生变化：rfR时，|。|f-，即当点电荷Q由远及近以至充分近接近球面时，理论上球面最近点感应电荷面密度的绝对值逐渐增大并趋于无穷大;r—8时，。|f0.画出|。|—r关系如图4所示.近 近2.1.3球面最远点感应电荷的面密度。远如图2中，球面上距Q最远点N，以下简称最远点.令（1）式中e=n，得到球面最远点感应电荷的面密度4)c一(r-R)Q4)远 4兀R(r+R)2画出|。|—r关系如图5所示.在远rfR和rfg两种极端情况下，均有。」一0，故适当取r值，|。一|可取极远； 远；大值.极值点的位置在何处？把（4）式变形为(r-R)Qc=—远 4兀R(r+R)21 ，4R2(r-R)+4R +4R](r-R)可知：当（r-R）=4R2/（r-R），即r=3R时，|取极大值（另远一根r=—R舍弃），此时。为远c=-（r-R）Q]―亠.远max 32nR2如果设想把一Q的电量全部导入一半径为R的中性绝缘导体球，则当—Q在导体球面上均匀分布后，电荷的面密度为。'=—Q/4nR2.显

然，上述最远点处的感应电荷面密度。 也才是。'的1/8.可见远max最远点处感应电荷分布得较“稀疏”.2.1.4感应电荷面密度之比。/o及其随r的变化近远球面最近点和最远点感应电荷面密度的比值为(r+R)Q

4nR(r—R)4兀R(r+R)2

(r+R)Q

4nR(r—R)4兀R(r+R)2

(r—R)Q=(1+5)由（5）式可以看出，当点电荷Q与球心距离r在区间（R,®）内逐渐增大时，o/o从无穷大逐渐近远衰减并趋于1.这表明当点电荷Q与导体球逐渐远离时，o和。一近 远方面均渐减小且趋于0,另一方面球面感应电荷的分布也渐趋均匀.画出。/o——r关系如图6所示.近远表1列出由（5）式求出的几个Ber100R10.0R3.00R2.00R1.50R1.10R1.01Ro/o 近 远—1.0621.8268.00027.00125.092618.121X106r值所对应的0近/o远之值’以便比较.表1 近—远_—: : : : : : 2.1.5右半球面感应电量g一占整个球面感应总电量q的百分比远半 总感在图1中，我们把导体球面分成靠近Q一侧的左半球面和远离Q一侧的右半球面，感应电量分别记为q和qq远半为近半远半.右半球面的电量q远半右半球面）cds= d申 c-r2sin0d0o 企2|冗Q|冗Q(r2—R2)=2兀[2RsinG3(r2+R2—2Rrcos6)2]d6=(r2—R2)QR (r2+=(r2—R2)Rr-[Rr(r2—R2)Q2r

可以证明，在r-R下，上述q-0.前已讨论，当r_R时，远半最远点|。 |—0，最近点|。 I—®;而由球面感应总电量远近q、=—RQ/r知，当r—R时，q——Q.如果我们把上述变化综合总感 总感起来考查，展现在眼前的是这样一幅物理图景：随着点电荷Q逐渐向导体表面移近，整个球面感应电荷的总量逐渐增大并趋于一Q,感应电荷的分布也逐渐向左半球面聚拢，最终感应电荷几乎全部地聚集于最近点处.这是不难理解的，因为当r—R时，点电荷Q非常接近导体球面，对点电荷Q而言，球面则相当于“无穷大的平面”了，它发出的电场线将几乎全部地终止于球面上最近点附近很小的面积区域内.右半球面感应电量q一与整个球面感应总电量q、之比为远半 总感(r2-R2)Q 1 1—. ———q远半= 2r (厂2+R2r+Rq RQ总感 — r)．6)r2—)．6)2R表2列出由⑹求得的几个r值下的q远半人总感百分比之值，供读者比较.表2r1.01R1.10R1.50R2.00R10.0R100Rq一/q、远半 总感(X100%)0.2071%2.063%9.668%17.08%42.54%49.25%由上表可直观地看到，随着点电荷Q逐渐向导体球靠近，导体球远离点电荷Q一侧的半球面所带电量q占整个导体球面感应总远半电量q的百分比越来越小，或者说导体球面感应电荷的分布重心逐总感渐向靠近点电荷Q一侧移动，而当点电荷Q逐渐远离导体球时，远离点电荷Q一侧的半球面所带电量q占整个导体球面感应总电量远半q的百分比越来越趋近于50％.总感2.2电键k断开情形当k断开时，根据电像理论，导体球表面电荷在球外空间的电场贡献可由两个像电荷q'、q〃共同等效替代：q，和“2.1电键k接

通情形”完全相同，而q〃置于球心，电量为导体球带电量与q，之差．以下本文只对整个导体为电中性情形作出讨论．2.2.1整个导体球为电中性情形下，表面感应电荷分布的定量表达式此时球外空间的电场由点电荷Q及两个像电荷q'、q〃共同产生,q，=_q"=—RQ/r.三者在球面外侧附近的合场强E方向沿法线，大小为(r2—R2) kQ 了q"TOC\o"1-5"\h\zE=— - +k—R (r2+R2—2rRcos0)3 r2r2－R2) kQ Q• +k—于是球面某点P感应电荷面密度表达为Q(r2—R2)c=—R (于是球面某点P感应电荷面密度表达为Q(r2—R2)c=—7)故令（77)故令（7）式。=0,得4兀R（r2+R2—2rRcos6）3 4兀rR2.2.2中性导体球面上感应电荷的界心角右图7为中性导体球在点电荷电场中的剖面图，A、A为圆周上正、负感应电荷的12分界点（图中以正点电荷Q为例画出）.我们定义，分界点A、A和圆心O的连线所夹靠12R2+r2—*'r2(r2—R2R2+r2—*'r2(r2—R2)9二arccos—1这里。、1R2+r2—3r2(r2—R2)22, 9二2兀一arccos2Rr 2 2Rr9分别对应图7中A和A两分界点.于是界心角为2128)2RrR2+r2—3：r2r2—R2)2a二29二8)2Rr1可以证明，（8）式在r—R和r—g下，分别有a一。和a一兀，表明随着点电荷Q接近中性绝缘导体球，与Q异性的感应电荷只分布在球面上很小比例的面积区域内；而当Q远离中性绝缘导体球并趋向无穷远时，球面上正、负感应电荷的分布均渐趋占据半个球面.2.2.3中性导体球面感应电荷的界心角和切心角的关系

过点电荷Q向导体球做切线，剖面如图8所示.其中B］、B2为两个切点.为叙述方便，把切点B］、B2和圆心O的连线所夹靠近点电荷Q一侧的角ZBOB叫切心角，用卩表示，有卩=2arccos兰・r有人从“想当然”出发，错误地认为导体球感应电荷的界心角a等于切心角卩.以下我们用反证法证明，只有在r一R和r-g两种极端情况下二者相等外，其它情况下并不相等．a=2arccosm3-2m+—m卩=2arccos—.m亦即1m+—-m2: c 1a=2arccosm3-2m+—m卩=2arccos—.m亦即1m+—-m2: c 1■m3-2m+一m|]

m3'm3-2m+—3 m<m2-1两边同时立方并整理，得到（m2-1）2<0因r>R,必有r/R二m〉l，故上面不等式不成立！结论：只要满足条件g>r>R，必有a>卩，即导体球感应电荷的界心角a总大于切心角卩.2.2.4角差及其极值把界心角a与切心角卩之差叫角差，用y表示.有1■n1