2024届广东省揭阳市惠来一中、揭东一中高二数学第一学期期末统考试题含解析

2024届广东省揭阳市惠来一中、揭东一中高二数学第一学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．点到直线的距离是（）A. B.C. D.2．某校开学“迎新”活动中要把3名男生，2名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位安排一人，其中甲岗位不能安排女生，则安排方法的种数为（）A.72 B.56C.48 D.363．在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的（）A.必要不充分条件 B.充要条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件4．直线的倾斜角为（）A.150° B.120°C.60° D.30°5．已知向量，若，则（）A. B.5C.4 D.6．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）A. B.C. D.7．抛物线的焦点到直线的距离为，则（）A.1 B.2C. D.48．已知函数（是的导函数），则（）A.21 B.20C.16 D.119．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）A B.C. D.11．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在区间内的导函数为，在区间内的导函数为，在区间内恒成立，则称函数在区间内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是（）A. B.C. D.12．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为A. B.1C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列中，，，设（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数14．已知数列满足，，若，则_______15．已知函数，则_________16．已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题p：“，”为假命题，命题q：“实数满足”．若是真命题，是假命题，求的取值范围18．（12分）已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)（1）求椭圆E的方程;（2）过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值19．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是(为参数（1）求直线和曲线的普通方程；（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求20．（12分）已知等差数列}的公差为整数，为其前n项和，，（1）求{}的通项公式：（2）设，数列的前n项和为，求21．（12分）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.（1）求点的轨迹方程；（2）若点与点关于直线对称，求的最大值.22．（10分）已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】直接使用点到直线距离公式代入即可.【详解】由点到直线距离公式得故选：B2、A【解析】以位置优先法去安排即可解决.【详解】第一步：安排甲岗位，由3名男生中任选1人，有3种方法;第二步：安排余下的4个岗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有种方法故安排方法的种数为故选：A3、A【解析】由于在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面，再根据充分、必要条件的概念判断，即可得到结果.【详解】在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面.故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件.故选：A.4、D【解析】由斜率得倾斜角【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选：D5、B【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】由于，所以.故选：B6、B【解析】先用向量与表示，然后用向量表示向量与，即可得解【详解】解：为的中点，故选：【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算，属于基础题7、B【解析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.8、B【解析】根据已知求出，即得解.【详解】解：由题得，所以.故选：B9、D【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.【详解】由题意，，所以在第四象限.故选：D.10、C【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.【详解】设直角边长，斜边，则线段的长度大于的长度的概率.故选：C11、B【解析】根据基本初等函数的导函数公式求各函数二阶导函数，判断其在定义域上是否恒有，即可知正确选项.【详解】A：，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”；B：，则，故是“凸函数”；C：，则，故不是“凸函数”；D：，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”；故选：B12、A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）证明见解析；（2）；（3）2021【解析】(1)将两边都加，证明是常数即可；(2)求出的通项，利用错位相减法求解即可；(3)先求出，再求出的表达式，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）将两边都加，得，而，即有，又，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，，则，，，因此，，所以；（3）由（2）知，于是得，则，因此，，所以不超过的最大的整数是202114、【解析】由递推式，结合依次求出、即可.【详解】由，可得：，又，可得：.故答案为：.15、【解析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.【详解】，，因此，.故答案为：.16、【解析】欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得【详解】∵，球半径为4，∴小圆的半径为，∵小圆中弦长，作垂直于，∴，同理可得，在直角三角形中，∵，，∴，∴，∴故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、或【解析】先假设命题、为真，分别求得实数的取值范围，再由命题、具体的真假，取实数的取值范围或其补集，最终确定实数的取值范围.【详解】若命题p为真，则“，”为假命题则，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命题q为真，则，即∴∴∵是真命题，是假命题∴命题、必为一真一假.①当p真q假时，∴；②当p假q真时，∴.综上所述：a的取值范围是或.18、（1）（2）证明见解析【解析】(1)选①:直线与椭圆联立,利用判别式为0求解;选②:利用通径公式即可(2)用直线参数方程的几何意义求解【小问1详解】选①:由题知,过点且斜率为1的直线方程为联立,得由,得所以椭圆的方程为选②:由题知,所以由,得所以椭圆的方程为【小问2详解】证明:设直线的参数方程为(为参数)设A,B,H对应的参数分别为,显然将代入椭圆,得即.所以将代入直线,得由,得,所以由,得,所以所以所以为定值【点睛】关键点点睛：直线的参数方程作为一种工具，要充分发挥它的作用，参数的几何意义并不局限于加绝对值表示距离，还要注意方向性.请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分19、（1），（2）4【解析】（1）根据，即可将直线的极坐标方程转化为普通方程；消参数，即可求出曲线的普通方程；（2）由题意易知，求出直线的参数方程，将其代入曲线的普通方程，利用一元二次方程根和系数关系式的应用，即可求出结果【小问1详解】解：直线极坐标方程为，即，又，可得的普通方程为，曲线的参数方程是(为参数，消参数，所以曲线的普通方程为【小问2详解】解：在中令得，，倾斜角，的参数方程可设为，即（为参数），将其代入，得，，设，对应的参数分别为，，则，，，异号，.20、（1）（2）【解析】（1）根据题意利用等差数列的性质列出方程，即可解得答案；（2）根据（1）的结果，求出的表达式，利用裂项求和的方法求得答案.小问1详解】设等差数列{}的公差为d，则,整理可得：，∵d是整数，解得，从而，所以数列{}的通项公式为：;【小问2详解】由（1）知，，所以21、（1）（2）【解析】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.【小问1详解】设，由题意，得：，化简得，所以点轨迹方程为【小问2详解】方法一：设，因为点与点关于点对称，则点坐标为，因为点在圆，即上运动，所以，所以点的轨迹方程为，所以两圆的圆心分别为，半径均为2，则.方法二：由可得：所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆轨迹的圆心到直线的距离为：22、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由（1