2023-2024学年广西南宁重点中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西南宁重点中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={(x,y)A.{(0,−1)} B.2.过点(−1,3)且垂直于直线A.2x+y−1=0 B.3.已知a=(−2,1,3)，A.−2 B.−143 C.144.如图，方程y=ax+A. B. C. D.5.已知锐角θ满足2cos2θA.13 B.12 C.2 6.如图，设OA=a，OB=b，OC=c，若ANA.12a+16b−237.如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且<O2M，O1N>=A.65

B.52

C.8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点B(−2,3)，若将军从点A.26 B.31 C.29二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2A.若l1//l2，则两条直线的斜率相等 B.若两条直线的斜率相等，则l1//l2

C.10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BBA.(8,−2,4) B.11.有一组样本数据x1，x2，⋯，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，⋯，yn，其中yA.两组样本数据的众数相同 B.两组样本数据的方差相同

C.两组样本数据的平均数相同 D.两组样本数据的极差相同12.如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1A.线段AC1=11 B.AC1⊥DB

C.直线AC三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线(a−2)x+ay−14.已知直线5x+4y=2a+115.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=116.如图，已知边长为1的正方形ABCD与正方形BCFE所在平面互相垂直，P为EF的中点，Q为线段FC上的动点，当三棱锥P

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知△ABC的顶点A(2,6)，B(4,2)，C18.(本小题12.0分)

已知直线l的方程为(a+1)x+y−5−2a=0(a∈R)．

(1)求直线l过的定点19.(本小题12.0分)

甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三名学生的平时成绩分析，甲、乙、丙三名学生能通过的笔试概率分别为0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75．

(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；

(220.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AB=AA1，∠CAB=90°，M21.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3asinC−ccosA−c=0．

(Ⅰ)22.(本小题12.0分)

如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB/​/AN，NA=AB=2，BM=4，CN=2

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：联立x+y=12x+y−1=0，解得x=0y=1，可得交点(0,1)，故2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查两条直线垂直的斜率关系以及直线的点斜式方程，属于基础题．

根据题意，易得已知直线的斜率为12，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为−2，又知其过定点坐标，由点斜式即可求得所求直线方程．

【解答】

解：根据题意，易得直线x−2y+3=0的斜率为12，

由直线垂直则斜率乘积为−1，可得所求直线的斜率为−2，

又知其过点3.【答案】A

【解析】【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．

【解答】

解：∵a⊥(a+λb)，

∴a4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了一次函数的斜率和截距的意义，属于基础题．

利用一次函数的斜率和截距同号及其意义即可得出．【解答】

解：方程y=ax+1a可以看作一次函数，其斜率a和截距1a5.【答案】A

【解析】解：∵2cos2θ=1+sin2θ，∴2(cos2θ−sin2θ)=(cosθ+si6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了向量数乘和加法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．

根据AN=NB，BM=2MC即可得出M【解答】解：∵AN=NB，BM=2MC，OA=a，OB7.【答案】A

【解析】解：∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，

∴MO2⋅O2O1=0，O2O1⋅O1N=08.【答案】C

【解析】解：由题意可知，点A(2,0)，

则点A(2,0)关于直线x+y=3的对称点为A′(a,b)，

则−1×ba−2=1a+229.【答案】BC【解析】解：l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，

对于A，当α1=α2=90°时，若l1//l2，但两条直线的斜率不存在，故A错误；

对于B，若两条直线的斜率相等，且不重合，则l1//l2，故B正确；

对于C，若l1/10.【答案】AB【解析】解：设正方体的棱长为2，则易得A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，

则AE=(0,2,1),AF=(−1,0,2)，

设平面AEF的法向量为n=(x,y11.【答案】BD【解析】解：有一组样本数据x1，x2，⋯，xn，

由这组数据得到新样本数据y1，y2，⋯，yn，其中yi=xi+c(i=1,2,⋯,n)，c为非零常数，

对于A，两组样本数据的众数不相同，差为c，故A错误；

对于B，原数据的方差为：1n[(x1−x−)12.【答案】AB【解析】解：对选项A，由空间向量运算法则得到：AC1=AB+AD+AA1，

所以则AC12=AB2+AD2+AA12+2AB⋅AD+2AB⋅AA1+2AD⋅AA1

=2+2+1+22×2×12+22×22+22×22=11．

故AC1=11，故A正确；

对选项B，AC1⋅DB=(AB+AD+AA1)⋅(13.【答案】6

【解析】解：直线(a−2)x+ay−1=0与直线2x+314.【答案】(−【解析】解：解方程组5x+4y=2a+12x+3y=a得x=2a15.【答案】6【解析】【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D1EC【解答】

解：∵在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，

点E为AB的中点，

以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

∴B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(1,116.【答案】41π【解析】解：VP−ABQ=VA−PBQ=13AB⋅S△BPQ，结合图象，当Q与C重合时，△BPQ的面积最大，三棱锥P−ABQ的体积最大．

在△PCB中，PB=PC=52，BC=1，所以cos∠CPB=5417.【答案】解：(1)直线BC的斜率为2−04−(−2)=13，直线BC边的高线的斜率为−3，

直线BC边的高线的方程为y−6=−3(x−2)，即3【解析】(1)求出直线BC的斜率，再由垂直关系得出直线BC边的高线的斜率，最后由点斜式写出所求方程；

(2)求出直线AB的方程，再求出点C18.【答案】解：(1)由题意，直线l的方程可化为(a+1)x+y−5−2a=0，

联立方程组x−2=0x+y−5=0，解得x=2y=3，

所以直线l过的定点P(2,3)．

(2)设直线xa+yb=1(a>0,b>【解析】(1)将直线l的方程变形，列出方程组即可求解；

(2)利用直线的截距式方程设出直线l的方程，根据19.【答案】解：(1)甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率为：

P=0.6×0.5×0.6+0.4×【解析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率．

(220.【答案】(1)证明：取AB的中点H，连结HN、B1H，

因为HN是△ABC的中位线，

所以HN//BC，且HN=12BC，

又因为B1M//BC，且B1M=12BC，

所以HN//B1M且HN=B1M

所以四边形HNMB1是平行四边形，

所以MN//B1H，

又因为MN⊄面ABB1A1，B1H⊂面ABB1A1，

所以MN/​/面ABB1A1，

(【解析】(1)取AB的中点H，连结HN、B1H，证明：四边形HNMB1是平行四边形，得到MN//B1H，即可证明MN/​/面ABB1A1．

(21.【答案】解：(Ⅰ)因为3asinC−ccosA−c=0，

所以由正弦定理可得3sinAsinC−sinCcosA=sinC，

因为sinC≠0，所以3sinA−c【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中等题．

(Ⅰ)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A−π6)=12，可求范围A−π6∈(−π22.【答案】(1)证明：