新教材2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差分层作业新人教A版选择性必修第三册

第七章7.3.2离散型随机变量的方差A级必备知识基础练1.[探究点一]设随机变量X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是()A.0和1 B.p和p2C.p和1-p D.p和(1-p)p2.[探究点一]设0<a<1,已知随机变量X的分布列是X0a1P111若D(X)=16,则a=(A.12 B.C.14 D.3.[探究点二]由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好()A.甲 B.乙C.甲、乙均可 D.无法确定4.[探究点一](多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则(A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布C.E(X)=1 D.D(X)=35.[探究点二]已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为,,.

6.[探究点一]设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)=,D(X)=.

7.[探究点一]已知随机变量X的分布列为X01xP11p若E(X)=23(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.B级关键能力提升练8.已知X的分布列如表所示.X-101P111有下列式子:①E(X)=-13;②D(X)=2327;③P(X=0)=13.其中正确的个数是A.0 B.1C.2 D.39.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量X2取值x1+x22,x2+x32,x3+x42,x4+x52,A.D(X1)>D(X2)B.D(X1)=D(X2)C.D(X1)<D(X2)D.D(X1)与D(X2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关10.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则()A.抽取2次后停止取球的概率为3B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为9C.取球次数ξ的均值为2D.取球次数ξ的方差为911.甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则()A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)12.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1<x2,又已知E(X)=43,D(X)=29,则x1+x13.已知随机变量ξ的所有可能取值为m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=m+n2,则E(ξ)=,当D(ξ)取最小值时,14.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.甲:分数X8090100概率P0.20.60.2乙:分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平.15.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X.(1)求X的分布列及方差D(X);(2)若ξ=aX+2,且D(ξ)=33.6,求实数a的值.C级学科素养创新练16.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令X表示走出迷宫所需的时间.(1)求X的分布列;(2)求X的均值和方差.参考答案7.3.2离散型随机变量的方差1.D由X的分布列知,P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,故E(X)=0×(1-p)+1×p=p,易知X服从两点分布,∴D(X)=p(1-p).2.A∵E(X)=0×13+a×13+1×∴D(X)=1+a32×13+(a-1+a3)2×13+(1-1+a3)∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=123.A∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2).则甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好.4.ABD由已知X的可能取值为0,1,且服从两点分布.P(X=0)=12P(X=1)=12∴E(X)=0×14+1×3D(X)=9165.0.40.10.5由题意知,-p16.28随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(Y)=2E(X)+b=4+b.所以E(X)=2.D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,所以D(X)=8.7.解(1)由12+13+p=1,又E(X)=0×12+1×13+16x=2D(X)=0-232×12+(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.8.CE(X)=(-1)×12+0×13+1×16=-13,D(X)=-1+132×由分布列知③正确.9.A由题意可知E(X1)=E(X2),又由题意可知,X1的波动性较大,从而有D(X1)>D(X2).10.BD设取球次数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=310,A选项错误对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+3对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1×35+2×310+3×110对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-322×35+2-322×310+3-322×110=92011.D由题意得X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=C3133=19,P(X=2)=C32×A3233=23,P(X=3)=A3333=29,所以E(X)=1×19+2×23+3×29=199,DY的可能取值为0,1,2,则P(Y=0)=A3333=29,P(Y=1)=C3所以E(Y)=0×29+1×23+2×19=89,D(Y)=0-892×29+1-892×23+2-8故E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选D.12.3由已知得x即2解得x又x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以13.1214由分布列的性质得m+n2所以E(ξ)=m·m+n2+n·m+n2=(m+n)22=12,D(ξ)=m-122×12+n-122×12=m-122×12+1-m-122×12=14.解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.15.解(1)X的所有可能取值为6,9,12.P(X=6)=C83C103=715P(X=12)=C8∴X的分布列为X6912P771∴E(X)=6×715+9×715+12×115=7.8,D(X)=(6-7.8)2×715+(9-7.8)2×715+(12-7.8)2×1(2)由(1),可知D(ξ)=D(aX+2)=a2D(X)=3.36a2=33.6,解得a=±10.16.解(1)X的所有可能取值为1,3,4,6,当X=1时,直接从1号通道走出,则P(X=1)=13当X=3时,先走2号通道,再走1号通道,则P